常州市数学中考试卷及答案

常州市数学中考试卷及答案

常州市2007年初中毕业、升学统一考试 一、填空题（本大题每个空格1分，共18分．把答案填在题中横线上）‎ ‎1．的相反数是 ，的绝对值是 ，立方等于的数是 ．‎ ‎2．点关于轴对称的点的坐标是 ；点关于原点对称的点的坐标是 ．‎ ‎3．若，则的余角是 °， ．‎ ‎4．在校园歌手大赛中，七位评委对某位歌手的打分如下：9.8，9.5，9.7，9.6，9.5，9.5，9.6，则这组数据的平均数是 ，极差是 ．‎ ‎5．已知扇形的半径为‎2cm，面积是，则扇形的弧长是 cm，扇形的圆心角为 ° ．‎ ‎（第7题）‎ ‎6．已知一次函数的图象经过点，，则 ， ．‎ ‎7．如图，已知，，，，，‎ 则 °， ， ．‎ ‎8．二次函数的部分对应值如下表：‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 二次函数图象的对称轴为 ，对应的函数值 ．‎ 二、选择题（下列各题都给出代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在题后（ ）内，每小题2分，共18分）‎ ‎9．在下列实数中，无理数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在函数中，自变量的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（ ）‎ A．圆 B．正六边形 C．正方形 D．等边三角形 ‎12．袋中有3个红球，2个白球，若从袋中任意摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ）‎ ‎（第13题）‎ 速度/（千米/时）‎ 时间/分 ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ A． B． C． D．‎ ‎13．如图，图象（折线）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）‎ A．第3分时汽车的速度是40千米/时 B．第12分时汽车的速度是0千米/时 C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 ‎14．下面各个图形是由6个大小相同的正方形组成的，其中能沿正方形的边折叠成一个正方体的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎15．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ）‎ A．15号 B．16号 C．17号 D．18号 ‎16．若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（ ）‎ ‎（第16题）‎ A． B． C． D．‎ ‎（第17题）‎ ‎17．如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 三、解答题（本大题共2小题，共18分．解答应写出演算步骤）‎ ‎18．（本小题满分10分）化简：‎ ‎（1）； （2）．‎ ‎19．（本小题满分8分）解方程：‎ ‎（1）； （2）．‎ 四、解答题（本大题共2小题，共12分．解答应写出证明过程）‎ ‎20．（本小题满分5分）‎ 已知，如图，在中，的平分线交边于点．‎ ‎（第20题）‎ 求证：．‎ ‎21．（本小题满分7分）‎ ‎（第21题）‎ 已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）为等边三角形．‎ 五、解答题（本大题共2小题，共15分．解答应写出文字说明或演算步骤）‎ ‎22．（本小题满分7分）‎ 图1是某市‎2007年2月5日至14日每天最低气温的折线统计图．‎ 图1‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 日期（日）‎ 温度（℃）‎ 图2‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 温度（℃）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 天数 ‎（第22题）‎ ‎（1）图2是该市‎2007年2月5日至14日每天最高气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；‎ ‎（2）在这10天中，最低气温的众数是 ，中位数是 ，方差是 ．‎ ‎23．（本小题满分8分）‎ 口袋中装有2个小球，它们分别标有数字和；口袋中装有3个小球，它们分别标有数字，和．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏，从两个口袋中随机地各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．‎ 六、探究与画图（本大题共2小题，共13分）‎ ‎24．（本小题满分6分）‎ 如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．‎ ‎（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形．‎ ‎①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于 ；‎ ‎②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．‎ ‎（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．‎ 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．‎ ‎25．（本小题满分7分）‎ 已知经过，，，四点，一次函数的图象是直线，直线与轴交于点．‎ ‎（1）在右边的平面直角坐标系中画出，直线与的交点坐标为 ；‎ ‎（2）若上存在整点（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得为等腰三角形，所有满足条件的点坐标为 ；‎ ‎（3）将沿轴向右平移 个单位时，与相切．‎ 七、解答题（本大题共3小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎26．（本小题满分7分）‎ 学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：‎ 一等奖 二等奖 三等奖 ‎1盒福娃和1枚徽章 ‎1盒福娃 ‎1枚徽章 用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和微章前，了解到如下信息：‎ ‎（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？‎ ‎（2）若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？‎ ‎27．（本小题满分9分）‎ ‎（第27题）‎ 已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．‎ ‎（1）当时，求的面积；‎ ‎（2）设，用含的代数式表示的面积；‎ ‎（3）判断的面积能否等于，并说明理由．‎ ‎28．（本小题满分10分）‎ 已知与是反比例函数图象上的两个点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（第28题）‎ 常州市2007年初中毕业、升学统一考试 数学试题参考答案及评分标准 一、填空题（每个空格1分，共18分）‎ ‎1．，，； 2．，； 3．，； 4．9.6，0.3；‎ ‎5．，； 6．，； 7．，，； 8．，．‎ 二、选择题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ 答案 B C D B C C D D B 三、解答题（本大题共2题，第18题10分，第19题8分，共18分．解答应写出演算步骤）‎ ‎18．解：（1）原式 3分 ‎ ． 5分 ‎（2）原式 2分 ‎ 3分 ‎ 4分 ‎ ． 5分 ‎19．解：（1）去分母，得． 1分 解得，． 2分 经检验，是原方程的根．‎ 原方程的根是． 4分 ‎（2）， 2分 ‎． 3分 ‎，． 4分 四、解答题（本大题共2小题，第20题5分，第21题7分，共12分．解答应写出证明过程）‎ ‎21．证明：四边形是平行四边形，，．‎ ‎． 1分 平分，． 2分 ‎． 3分 ‎． 4分 又，． 5分 ‎21．证明：（1），，． 1分 是等边三角形，． 2分 又，． 4分 ‎（2）由，得，‎ ‎，是等边三角形，‎ ‎，‎ ‎，同理可得． 5分 中，． 6分 是等边三角形． 7分 五、解答题（第22题7分，第23题8分，共15分）‎ ‎22．（1）画图正确． 2分 ‎（2）‎7℃‎，‎7.5℃‎，2.49（℃）2（众数1分，中位数2分，方差2分）． 7分 ‎23．解：画树状图： 或列表：‎ 开始 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 和 袋 袋 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（1，3）‎ 和为4‎ ‎（1，4）‎ 和为5‎ ‎（1，5）‎ 和为6‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ 和为5‎ ‎（2，4）‎ 和为6‎ ‎（2，5）‎ 和为7‎ ‎ 4分 数字之和共有6种可能情况，其中和为偶数的情况有3种，和为奇数的情况有3种．‎ ‎，， 6分 游戏对甲、乙双方是公平的． 8分 六、探究与画图（第24题6分，第25题7分，共13分）‎ ‎24．解：（1）①40． 2分 ‎②0． 4分 ‎（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形． 6分 ‎25．解：（1）画图，，． 3分 ‎（2），． 5分 ‎（3）． 7分 七、解答题（第26题7分，第27题9分，第28题10分，共26分）‎ ‎26．解：（1）设一盒“福娃”元，一枚徽章元，根据题意得 ‎ 2分 解得 3分 答：一盒“福娃”150元，一枚徽章15元．‎ ‎（2）设二等奖名，则三等奖名，‎ ‎ 5分 解得． 6分 是整数，，． 7分 答：二等奖4名，三等奖6名．‎ ‎27．解：（1）正方形中，，．‎ 又，因此，即菱形的边长为．‎ 在和中，，‎ ‎，，‎ ‎．．‎ ‎，，‎ ‎，即菱形是正方形．‎ 同理可以证明．‎ 因此，即点在边上，同时可得，‎ 从而． 2分 ‎（2）作，为垂足，连结，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 在和中，，，‎ ‎．‎ ‎，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2．‎ 因此． 6分 ‎（3）若，由，得，此时，在中，．‎ 相应地，在中，，即点已经不在边上．‎ 故不可能有． 9分 另法：由于点在边上，因此菱形的边长至少为，‎ 当菱形的边长为4时，点在边上且满足，此时，当点逐渐向右运动至点时，的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为．‎ 此时，，故．‎ 而函数的值随着的增大而减小，‎ 因此，当时，取得最小值为．‎ 又因为，所以，的面积不可能等于1． 9分 ‎28．解：（1）由，得，因此． 2分 ‎（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．‎ 由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．‎ 当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，‎ 故不符题意． 3分 当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，‎ 过点分别作轴，轴的平行线，交于点．‎ 由于，设，则，，‎ 由点，得点．‎ 因此，‎ 解之得（舍去），因此点．‎ 图2‎ 图1‎ 此时，与的长度不等，故四边形是梯形． 5分 如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．‎ 由于，因此，从而．作轴，为垂足，‎ 则，设，则，‎ 由点，得点，‎ 因此．‎ 解之得（舍去），因此点．‎ 此时，与的长度不相等，故四边形是梯形． 7分 如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，‎ 同理可得，点，四边形是梯形． 9分 图3‎ 综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或． 10分