江苏省泰州中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省泰州中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省泰州中学2019—2020学年度第一学期期中考试 高二数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接将分式不等式转化将为一元二次不等式，求解即可．‎ ‎【详解】不等式等价于，解得，‎ 所以不等式的解集为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的求法，考查转化思想与计算能力，属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中，，则等于()‎ A. 2 B. 18 C. 4 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列性质得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】等差数列中，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎3.若双曲线E：的左、右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且则（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值．‎ ‎【详解】解：双曲线E：可得， 由双曲线的定义可得， 由，可得， 解得（−2舍去）． 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差数列公式和等比中项公式得到答案.‎ ‎【详解】是与的等比中项，故 ‎ 即 解得： ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型.‎ ‎5.已知椭圆的离心率为，则的值为（　　）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对椭圆的焦点位置进行分类讨论，利用离心率公式可求出实数的值.‎ ‎【详解】当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，‎ 此时，椭圆的离心率为，解得；‎ 当椭圆焦点在轴上时，则，则，，则，‎ 此时，椭圆的离心率为，解得.‎ 因此，或.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎6.若函数的图像恒在轴的上方，则实数的取值范围是( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 二次项系数含参数，要讨论二次项系数是否为零，然后再利用二次函数的图像的位置对开口方向、判别式限制即可求解．‎ ‎【详解】当时：则，此直线图像不是恒在轴上方，即 ；‎ 当时：若图像恒在轴上方，则 解不等式组可得 故选A ‎【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，注意当二次项含有参数数时，需对二次项系数讨论．‎ ‎7.已知数列中，，，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变形为，利用累加法和裂项求和计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用.‎ ‎8.设是等比数列，有下列四个命题：‎ ‎①是等比数列； ②是等比数列；‎ ‎③等比数列； ④是等差数列．‎ 其中正确命题的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，得到，，，再利用举反例的方式排除③‎ ‎【详解】设，则：‎ ‎，故是首项为，公比为的等比数列，①正确 ‎，故是首项为，公比为的等比数列，②正确 取，则，不是等比数列，③错误.‎ ‎，故是首项为，公差为的等差数列，④正确 故选C ‎【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.‎ ‎9.已知正实数满足,则的最小值为( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件得，，利用基本不等式求出最值．‎ ‎【详解】由已知，，所以 当且仅当时等号成立，又，所以时取最小值．‎ 故选A ‎【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值．‎ ‎10.已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）‎ A. B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长．‎ ‎【详解】解：双曲线，则，所以右焦点， 根据题意易得过的直线斜率存在，设为， 联立，‎ 化简得， 所以， 因为中点横坐标为4，所以，‎ 解得，所以， 则， 则． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．‎ ‎11.将数列中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的倍，且从第二行起每-行均构成公比为的等比数列，‎ 记数阵中的第列数构成的数列为，为数列的前项和，若，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定为第11行第2个数，由可得，最后根据从第二行起每一行均构成公比为的等比数列即可得出结论．‎ ‎【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的倍，第一行有一个数，‎ 前10行共计个数，即为第11行第2个数，‎ 又∵第列数构成的数列为，，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴第11行第1个数为108，‎ ‎∴，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是为第11行第2个数，属于中档题．‎ ‎12.在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线与椭圆交于两点，当到直线的距离为时，则面积的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当轴时，易求三角形面积，当与轴不垂直时，设直线方程为，由坐标原点到直线的距离为1可得，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求得，结合二次函数的性质求其最大值，则面积的最大值可求．‎ ‎【详解】当轴时，，；‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 则有，得，‎ 联立，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，最大，此时，‎ 此时面积的最大值为：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了函数最值的求法，属于难题．‎ 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用及可计算，从而可计算的值.‎ ‎【详解】因，故，‎ 因为，故，故，‎ 故填16.‎ ‎【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线的渐近线交于两点，且三角形为等腰直角三角形，若双曲线的顶点到它的渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形为等腰直角三角形，可得，可得，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，进而可得到所求双曲线的方程．‎ ‎【详解】解：设双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为， 由三角形为等腰直角三角形， 可得，‎ 则，即， 则双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为， 则，可得， 所以双曲线的方程为． 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎15.若正实数满足关系式，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，运用即可得到最大值.‎ ‎【详解】设，，‎ 则，‎ 则，‎ 当且仅当，‎ 又，即有，，取得最大值4，‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题主要考查运用向量的数量积的性质，求最值的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，椭圆上有三点，满足，，则直线的斜率之积为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，推导出点坐标，根据将，用和表示，代入椭圆方程，结合点满足椭圆方程可得，代入斜率计算公式即可得结果．‎ ‎【详解】如图所示：‎ 设，，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，代入椭圆，‎ 得，‎ 即③‎ ‎∵，在椭圆上，∴，④‎ ‎∴，‎ ‎∵直线，的斜率之积为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于难题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程为，且经过点，直线交双曲线于两点，连结.‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程；‎ ‎（2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可．‎ ‎【详解】解：（1）由双曲线的渐近线方程为，‎ 设双曲线的方程为：，‎ 将点代入双曲线方程得，‎ 所以双曲线的方程为：‎ ‎（2）联立得 设，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以为渐进线的双曲线系方程可设为，为参数且不为0．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）若对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分离参数思想将原不等式等价转化为在内恒成立，求出右端的最小值即可得出的取值范围；（2）分为，和三种情形，解出一元二次不等式即可.‎ ‎【详解】（1）对任意的，恒成立 即恒成立 因为当时，‎ ‎(当且仅当时取等号)‎ 所以即 ‎（2）不等式即 ‎①当即时，不等式无解；‎ ‎②即时，；‎ ‎③ 当即时，. ‎ 综上:当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在给定区间内恒成立问题，含有参数的一元二次不等式的解法，属于中档题.‎ ‎19.设数列是公差为等差数列，数列满足，‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）且，时，解得，利用等差数列的通项公式可得，利用等比数列的通项公式可得；（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】（1）∵且，‎ ‎∴时，，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴数列是等比数列，公比为2． ∴．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ 两式相减可得，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知分别是椭圆的左、右焦点，过且不与轴垂直的动直线与椭圆交于两点，点是椭圆右准线上一点，连结，当点为右准线与轴交点时，有.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）当点的坐标为时，求直线与直线的斜率之和.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，建立关于的关系式，变形即可求出离心率；‎ ‎（2）先根据点的坐标求出椭圆方程，设出直线与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算，整理可得结果．‎ ‎【详解】解（1）由已知当为右准线与轴交点时，有 ‎∴∴∴‎ 又，∴.‎ ‎（2）∵，∴‎ 又，∴，∴‎ ‎∴椭圆.‎ 设直线：，‎ 联立，得 则，‎ ‎∴‎ 将代入得 ‎.‎ ‎∴直线与直线的斜率之和为2.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．‎ ‎21.某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%．‎ ‎（1）求第n年该设备的维修费的表达式；‎ ‎（2）设，若万元，则该设备继续使用，否则须在第n年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？‎ ‎【答案】(1) (2) 第9年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将数列分为两部分，分别利用等差数列和等比数列公式得到答案.‎ ‎（2）当时，恒成立，当时，，判断是递增数列，计算,得到答案.‎ ‎【详解】（1）当时，数列是首项为20，公差为4的等差数列，‎ ‎；‎ 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又 所以.‎ 因此第n年该设备的维修费的表达式因此为 ‎ ‎(2)设数列的前项和为，由等差及等比的求和公式得：‎ 当时，，‎ 此时恒成立，即该设备继续使用； ‎ 当时， ，‎ 此时 ‎ 因为，即 所以是递增数列，又,‎ 故在第9年必须对该设备进行更新.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生利用数列知识解决问题的能力和应用能力.‎ ‎22.已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）证明:直线恒过定点.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结设 ‎，由椭圆的性质可得出，故而可得，当斜率不存在时，设，解出，当直线斜率存在时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出，得出与的关系，代入直线方程即可得定点.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，即椭圆的方程为 ‎（2）连结设则 因点在椭圆上，所以 因为，所以 当斜率不存在时，设，不妨设在轴上方，‎ 因为，所以 ‎（ii）当斜率存在时，设，‎ 即，所以 因为 所以，即或 当时，，恒过定点，当斜率不存在亦符合:当，，过点与点重合，舍去.‎ 所以直线恒过定点 ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎