【数学】2020届一轮复习（理）通用版4-7正弦定理和余弦定理作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版4-7正弦定理和余弦定理作业

课时跟踪检测(二十六)　正弦定理和余弦定理 一、题点全面练 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin A a ＝cos B b ，则 B 的大小为 (　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：选 B　由正弦定理知，sin A sin A＝cos B sin B， ∴sin B＝cos B，∴B＝45°. 2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝π 3，3sin2C cos C ＝2sin Asin B， 且 b＝6，则 c＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选 C　由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc×1 2＝b2＋c2－bc，又3sin2C cos C ＝2sin Asin B， 由正弦定理可得3c2 2ab＝a2＋b2－c2 2ab ，即 a2＋b2－4c2＝0，则 b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0. 又 b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得 c＝4(负值舍去)，故选 C. 3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b2 ＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则 c bsin B的值为(　　) A.1 2 B. 3 2 C．2 D.2 3 3 解析：选 D　由 b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得 b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2， 则 sin A＝ 3 2 . 由 b2＝ac，得 sin2B＝sin Asin C，∴sin C sin2B＝ 1 sin A， ∴ c bsin B＝ sin C sin Bsin B＝ 1 sin A＝2 3 3 . 4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin A sin B＝a c，(b＋c＋a)(b＋c－a) ＝3bc，则△ABC 的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：选 C　∵sin A sin B＝a c， ∴a b＝a c，∴b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝ bc 2bc＝1 2. ∵A∈(0，π)，∴A＝π 3，∴△ABC 是等边三角形． 5．(2019·四平质检)在△ABC 中，已知 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边且∠A＝60°， 若 S△ABC＝3 3 2 且 2sin B＝3sin C，则△ABC 的周长等于(　　) A．5＋ 7 B．12 C．10＋ 7 D．5＋2 7 解析：选 A　在△ABC 中，∠A＝60°.∵2sin B＝3sin C，∴由正弦定理可得 2b＝3c，再 由 S△ABC＝3 3 2 ＝1 2bc·sin A，可得 bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得 a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，∴a＝ 7，故△ABC 的周长为 a＋b＋c＝5＋ 7，故选 A. 6．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝90°，点 D 在 AB 上，点 E 在 CD 上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则 CD＝________. 解析：设 BD＝x，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF ＝2θ，DE＝x，∵tan θ＝ 2 3，∴tan 2θ＝12 5 ，∴在 Rt△EFD 中，EF＝xsin 2θ，DF＝xcos 2θ，∵EF AC＝DF AD，∴xsin 2θ 3 ＝xcos 2θ 2－x ，∴tan 2θ＝ 3 2－x＝12 5 ，解得 x＝3 4，∴AD＝5 4，∴CD＝ 13 4 . 答案：13 4 7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cos C＝1 4，c＝3，且 a cos A＝ b cos B，则△ABC 的面积等于________． 解析：∵ a cos A＝ b cos B，由正弦定理可知sin A cos A＝sin B cos B⇒tan A＝tan B，则 A＝B，∴△ABC 为等腰三角形，∴A＋B＋C＝2B＋C＝π，得 2B＝π－C，则 cos 2B＝－cos C＝－1 4＝1－2sin2B， 解得 sin B＝ 10 4 ，cos B＝ 6 4 ，tan B＝ 15 3 . ∵AB＝c＝3，∴C 到 AB 的距离 h＝AB 2 ×tan B＝3 2× 15 3 ＝ 15 2 ，∴△ABC 的面积为1 2 ×AB×h＝3 15 4 . 答案：3 15 4 8．(2019·菏泽模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acos B－c－ b 2＝0，a2＝7 2bc，b＞c，则b c＝________. 解析：由 acos B－c－ b 2＝0 及正弦定理可得 sin Acos B－sin C－ sin B 2 ＝0.因为 sin C＝ sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－sin B 2 －cos Asin B＝0，因为 sin B≠0，所以 cos A ＝－1 2，即 A＝2π 3 .由余弦定理得 a2＝7 2bc＝b2＋c2＋bc，即 2b2－5bc＋2c2＝0，又 b＞c，所以 b c＝2. 答案：2 9．(2019·惠州调研)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0. (1)求角 C 的大小； (2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0， ∴由正弦定理可得 2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0， ∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即 2cos Csin B＋sin B＝0， 又 0°＜B＜180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－1 2， 又 0°＜C＜180°，∴C＝120°. (2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4， 又 a＞0，∴解得 a＝2，∴S△ABC＝1 2absin C＝ 3， ∴△ABC 的面积为 3. 10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积 为 a2 3sin A. (1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得 1 2acsin B＝ a2 3sin A， 即 1 2csin B＝ a 3sin A. 由正弦定理得 1 2sin Csin B＝ sin A 3sin A， 故 sin Bsin C＝2 3. (2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－1 2， 即 cos(B＋C)＝－1 2. 所以 B＋C＝2π 3 ，故 A＝π 3. 由题设得 1 2bcsin A＝ a2 3sin A，即 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9， 解得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33. 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分 1．在△ABC 中， 若bcos C ccos B＝1＋cos 2C 1＋cos 2B，则△ABC 的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选 D　由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B＝2cos2C 2cos2B＝cos2C cos2B＝bcos C ccos B，得cos C cos B＝b c或cos C cos B＝0，即cos C cos B ＝b c或 C＝90°.当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形．当 cos C cos B＝b c时，由正弦定理，得b c＝ sin B sin C，∴cos C cos B＝sin B sin C，即 sin Ccos C＝sin Bcos B，即 sin 2C＝sin 2B.∵B，C 均为△ABC 的内角，∴2C＝2B 或 2C＋2B＝180°，∴B＝C 或 B＋C＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直 角三角形，故选 D. 2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b＝a(cos C＋ 3 3 sin C)，a ＝2，c＝2 6 3 ，则 C＝(　　) A.3π 4 B.π 4或3π 4 C.π 6 D.π 4 解析：选 D　∵b＝a(cos C＋ 3 3 sin C)，∴由正弦定理可得 sin B＝sin Acos C＋ 3 3 sin Asin C．又 sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，∴cos Asin C＝ 3 3 sin Asin C．由 sin C≠0，可得 sin A＝ 3cos A，∴tan A＝ 3.由 A 为三角形内角，可得 A＝π 3.∵a＝2，c＝ 2 6 3 ，∴由正弦定理可得 sin C＝c·sin A a ＝ 2 2 ，∴由 c＜a，可得 C＝π 4，故选 D. (二)交汇专练——融会巧迁移 3．[与数列交汇]在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 依次成等差数列，且 a＝1，b＝ 3，则 S△ABC＝(　　) A. 2 B. 3 C. 3 2 D．2 解析：选 C　∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝60°， 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，得 c＝2， ∴S△ABC＝1 2acsin B＝ 3 2 ，故选 C. 4．[与三角函数交汇]已知函数 f(x)＝cos2x＋ 3sin(π－x)·cos(π＋x)－1 2. (1)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间； (2)在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC 的面积． 解：(1)f(x)＝cos2x－ 3sin xcos x－1 2 ＝1＋cos 2x 2 － 3 2 sin 2x－1 2 ＝－sin(2x－π 6)， ∴2kπ－π 2≤2x－π 6≤2kπ＋π 2，k∈Z， ∴kπ－π 6≤x≤kπ＋π 3，k∈Z，又 x∈[0，π]， ∴函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间为[0，π 3 ]和[5π 6 ，π]. (2)由(1)知 f(x)＝－sin(2x－π 6)， ∴f(A)＝－sin(2A－π 6)＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0＜A＜π 2， ∴－π 6＜2A－π 6＜5π 6 ， ∴2A－π 6＝π 2，即 A＝π 3. 又 bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4， ∴S△ABC＝1 2bcsin A＝ 3. (三)素养专练——学会更学通 5．[数学运算]已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bcos∠BCA＝ a，点 M 在线段 AB 上，且∠ACM＝∠BCM.若 b＝6CM＝6，则 cos∠BCM＝(　　) A. 10 4 B.3 4 C. 7 4 D. 6 4 解析：选 B　设∠ACM＝∠BCM＝θ，则∠BCA＝2θ.又 a＝bcos∠BCA，b＝6CM＝6，∴ a＝6cos 2θ，CM＝1.则由面积关系 S△ACM＋S△BCM＝S△ABC，得1 2×6×1×sin θ＋1 2×1×6cos 2θ×sin θ＝1 2×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0.∵0＜θ＜π 2，∴cos θ＝3 4，故选 B. 6．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点 C 在线段 AB 上，且满足 AC2＝BC·AB， 则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB＝AC，A＝36°，若角 B 的平分线交 边 AC 于点 D，则点 D 为边 AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出 cos 36°＝(　　) A. 5－1 4 B. 5＋1 4 C. 5－1 2 D. 5＋1 2 解析：选 B　设 AB＝2，AD＝x，又 AB＝AC，所以 CD＝2－x.由黄金分割点的定义可 得 AD2＝AC·CD，即 x2＝2·(2－x)，解得 AD＝ 5－1.在△ABD 中，由余弦定理得 cos 36°＝ AD2＋AB2－BD2 2·AD·AB ＝ ( 5－1)2＋22－( 5－1)2 2 × ( 5－1) × 2 ＝ 5＋1 4 .故选 B. 7.[直观想象、数学运算]如图，在△ABC 中，点 P 在 BC 边上， ∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4. (1)求∠ACP； (2)若△APB 的面积是3 3 2 ，求 sin∠BAP. 解：(1)在△APC 中，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4， 由余弦定理得 PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos∠PAC， 所以 22＝AP2＋(4－AP)2－2·AP·(4－AP)·cos 60°， 整理得 AP2－4AP＋4＝0， 解得 AP＝2， 所以 AC＝2， 所以△APC 是等边三角形， 所以∠ACP＝60°. (2)由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB＝120°， 因为△APB 的面积是3 3 2 ， 所以1 2·AP·PB·sin∠APB＝ 3 3 2 ， 所以 PB＝3. 在△APB 中，AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·cos∠APB＝2 2＋32－2×2×3×cos 120°＝19， 所以 AB＝ 19. 在△APB 中，由正弦定理得 AB sin∠APB＝ PB sin∠BAP， 所以 sin∠BAP＝3sin 120° 19 ＝3 57 38 .