2018高考数学（文）复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直线与圆的方程

2018高考数学（文）复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直线与圆的方程

第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程与两条直线的位置关系 题型100 倾斜角与斜率的计算 ‎2014年 ‎（2014辽宁文8）已知点在抛物线：的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 题型101 直线的方程 ‎2014年 ‎1.（2014福建文6）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2015年 ‎1.（2015重庆文12）若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为___________.‎ ‎1. 解析 ,，所以，所以切线方程为化简得．‎ 题型102 两直线的位置关系 ‎2014年 ‎1.（2014四川文9）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 题型103 有关距离的计算及应用 ‎2016年 ‎3.（2016上海文3），，则的距离为 .‎ ‎3. 解析 由题意.‎ 题型104 对称问题——暂无 第二节 圆的方程 题型105 用二元二次方程表示圆的充要条件 ‎2016年 ‎1.（2016浙江文10）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.‎ ‎1.； 解析 由于此方程表示圆的方程，所以，解得或.‎ 当时，带入得方程为，即，所以圆心为，半径为；当时，带入得方程为，即，此方程不表示圆的方程.由上所述，圆心为，半径为.‎ 题型106 求圆的方程 ‎2013年 ‎1. （2013江西文14）若圆经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆的方程是 .‎ ‎2014年 ‎1. （2014山东文14）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为　 　.‎ ‎2015年 ‎1.（2015北京文2）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎1. 解析 由已知得，圆心为，半径为，圆的方程为.故选D.‎ ‎2.（2015江苏文10）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．‎ ‎2. 解析 解法一（几何意义）：动直线整理得，则经过定点，故满足题意的圆与切于时，半径最大，从而，故标准方程为．‎ 解法二（代数法——基本不等式）：由题意 ‎ ，当且仅当时，取“”．‎ 故标准方程为．‎ 解法三（代数法——判别式）：由题意，设，则，因为，所以，解得，即的最大值为．‎ ‎3. （2015湖北文16） 如图所示，已知圆与轴相切于点，‎ 与轴正半轴交于两点，（在的上方），且.‎ ‎（1）圆的标准方程为 .‎ ‎（2）圆在点处切线在轴上的截距为 .‎ ‎4. 解析 (1)由条件可设圆的标准方程为（为半径）.‎ 因为，所以，故圆的标准方程为.‎ ‎(2)在中，令，得.‎ 又，所以，‎ 所以圆在点处的切线斜率为，即圆在点处的切线方程为.‎ 令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为.‎ ‎2016年 ‎1.（2016天津文12）已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为__________.‎ ‎1. 解析 ，则，得，故圆的方程为.‎ ‎2017年 ‎1.（2017天津卷文12）设抛物线的焦点为，准线为.已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点.若，则圆的方程为 .‎ ‎1.解析 如图所示，设坐标原点为，由题意，得，，，.因为，所以，，所以的坐标为，‎ ‎ ，所以圆的方程为.‎ 题型107 点与圆的位置关系的判断 ‎2016年 ‎1.（2016四川文15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ ‎①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；‎ ‎③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎1. ②③ 解析 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；‎ 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；‎ 对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为 与的图像关于轴对称，所以③正确；对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的序号为②③.‎ 题型108 与圆的方程有关的最值或取值范围问题 ‎2013年 ‎1. (2013重庆文4）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. （2013山东文13）过点作圆的弦，其中最短弦的长为 ．‎ ‎2014年 ‎1.（2014北京文7）已知圆和两点，，若圆 上存在点，使得，则的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2. （2014新课标2文12）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3（2014湖北文17）已知圆和点，若定点和常数满足：‎ ‎ 圆上任意一点，都有，则 ‎（Ⅰ） ； ‎ ‎（Ⅱ） .‎ ‎4.（2014辽宁文20）如图所示，圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）焦点在轴上的椭圆过点，且与直线交于，两点，若的面积为，求的标准方程.‎ ‎2017年 ‎1.（2017北京卷文12）已知点在圆上，点的坐标为，为原点，则的最大值为_________．‎ ‎1.解析 解法一：利用坐标法求数量积.设点，则，且，当时，的最大值为6.‎ 解法二：利用数量积的定义..‎ 所以最大值是6.‎ 解法三：利用数量积的几何意义.如图所示，点是单位圆上的动点，当 ‎，，三点共线时，的长度最大，且向量与向量同向，易得.‎ ‎2.（2017江苏卷13）在平面直角坐标系中，点，，点 在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是 ．‎ ‎2. 解析 不妨设，则，且易知．‎ 因为 ‎，故．‎ 所以点在圆上，且在直线的左上方（含直线）.‎ 联立，得，，如图所示，结合图形知． ‎ 评注 也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致．‎ 题型109 与圆的方程有关的轨迹问题 ‎2014年 ‎1.（2014新课标Ⅰ文20）已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.‎ ‎ （1）求的轨迹方程； ‎ ‎ （2）当时，求的方程及的面积.‎ ‎2015年 ‎1.（2015广东文20）已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点，‎ ‎．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎1. 解析 （1）圆的标准方程为，所以圆心坐标为.‎ ‎（2）设线段的中点，由圆的性质可得，，斜率存在，‎ 设直线的方程为，则.‎ 又，所以，‎ 所以，即.‎ 因为动直线与圆相交，所以，得.‎ 所以，即，‎ 解得或，又因为，所以.‎ 所以满足，‎ 即中点的轨迹的方程为.‎ ‎（3）由题意作图，如图所示.由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.‎ 结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在轴下方的圆弧.‎ 设，则.‎ 而当直线与轨迹相切时，，‎ 解得.‎ 在这里暂取，因为，所以.‎ 结合图形，可得对于x轴对称下方的圆弧，当或时，直线与轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知或时，直线与轴上方的圆弧有且只有一个交点.‎ 综上所述，当或时，直线与曲线只有一交点.‎ ‎2016年 ‎1.（2016四川文9）已知正的边长为，平面内的动点，满足，，则的最大值是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.B解析 正三角形的对称中心为，易得.‎ 以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则.‎ 设，由已知，得.又，所以，‎ 所以.因此.‎ 它表示圆上的点与点距离平方的，‎ 所以.故选.‎ 第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型110 直线与圆的位置关系 ‎2013年 ‎1. (2013陕西文8）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）.‎ A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 ‎2.（2013湖北文14）已知圆：，直线：（）．设圆 上到直线的距离等于的点的个数为，则 ．‎ ‎2014年 ‎1. （2014安徽文6）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2015年 ‎1. （2015安徽文8）直线与圆相切，则的值是（ ）.‎ A．或 B．2或 C．或 D．2或 ‎1. 解析 记直线为，圆的圆心为.‎ 由题意可得圆的标准方程为，则.‎ 由直线与圆相切，可得，解得或.故选D.‎ ‎2. （2015湖南文13）若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则_____.‎ ‎2. 解析 如图直线与圆交于两点，为坐标原点，且，则圆心到直线的距离为，，所以.‎ ‎3. （2015山东文13）过点作圆的两条切线，切点分别为则 . ‎ ‎3. 解析 根据题意，作出图形，如图所示.由平面几何知识，得.由切线长定理，得.‎ 在中，，所以.‎ 可得.‎ 所以.‎ ‎2016年 ‎1.（2016北京文5）圆的圆心到直线的距离为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1. C 解析 圆的圆心坐标是，半径长是.由点到直线的距离公式，可求得圆心到直线即的距离是.故选C.‎ ‎2.（2016全国甲文6）圆的圆心到直线的距离为，则 ‎( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.A 解析 将圆化为标准方程得，，则圆心到直线的距离，解得.故选A.‎ 题型111 直线与圆的相交关系及应用 ‎2013年 ‎1. (2013安徽文6）直线被圆截得的弦长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. (2013浙江文13）直线被圆所截得的弦长等于__________.‎ ‎3．(2013福建文20）如图，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛 物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线交于不同的两点 ‎（1）若点的纵坐标为，求；‎ ‎（2）若，求圆的半径.‎ ‎4. (2013四川文20）已知圆的方程为，点是坐标原点.直线与圆交 于两点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设是线段上的点，且.请将表示为的函数.‎ ‎2014年 ‎1.（2014浙江文5）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2014江苏9）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．‎ ‎3.（2014重庆文14）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.‎ ‎2015年 ‎1.（2015全国1文20）文已知过点且斜率为k的直线l与圆C：‎ 交于M，两点.‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若，其中O为坐标原点，求.‎ ‎1. 解析 （1）由与圆交于两点，所以直线的斜率必存在.‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为. ‎ 由圆的方程，可得圆心为，则，即，解得.‎ ‎（2）设，，则，，‎ ‎.‎ 把直线代入到中，‎ 得.‎ 由根与系数的关系，得，. ‎ 则，解得.‎ 所以直线的方程为.‎ 又圆心到直线的距离，即直线过圆心.‎ 所以.‎ ‎2016年 ‎1.（2016全国乙文15）设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为 . ‎ ‎1. 解析 由题意直线即为，圆的标准方程为，‎ 所以圆心到直线的距离，所以，‎ 故，所以.‎ ‎2.（2016全国丙文15）已知直线与圆交于、两点，过、分别作的垂线与轴交于、两点，则_________.‎ ‎2. 解析 由已知条件得圆的圆心到直线的距离为，则.因为的斜率，所以直线与轴的夹角，因此.‎ 题型112 直线与圆的相切关系及应用 ‎2013年 ‎1．（2013广东文7）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2. (2013天津文5）已知过点的直线与圆相切， 且与直线 垂直， 则( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. （2013江苏17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为，圆心在上.‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2014年 ‎1.（2014大纲文16）直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1，3），则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎2. ‎170 m ‎60 m 东 北 O A B M C （2014江苏18）如图所示，为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆．且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于．经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），．‎ ‎ （1）求新桥的长；‎ ‎ （2）当多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎2015年 ‎1. （2015四川文10） 设直线与抛物线相交于两点，与圆：相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有条，‎ 则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1. 解析 设直线的方程为，代入抛物线方程得，‎ 则.又中点，则，即.‎ 代入，可得，即.‎ 又由圆心到直线的距离等于半径，可得.‎ 由，可得.故选D.‎ 题型113 直线与圆的相离关系及应用——暂无 题型114 圆与圆的位置关系 ‎2014年 ‎1.（2014湖南文6）若圆与圆外切，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2016年 ‎1.（2016山东文7）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）.‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 ‎1. B 解析 由得，所以圆的圆心为，半径为.‎ 因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得.圆的圆心为，半径为，所以，，，‎ 因为，所以圆与圆相交. 故选B.‎