【数学】2021届一轮复习人教A版数列热点问题学案

【数学】2021届一轮复习人教A版数列热点问题学案

‎2021届一轮复习人教A版 数列热点问题 学案 三年考情分析 热点预测 真题印证 核心素养 等比(差)数列的判定与证明 ‎2018·全国Ⅰ，17；2017·全国Ⅰ，17；2016·全国Ⅲ，17‎ ‎ 逻辑推理、‎ 数学运算 通项与求和 ‎2018·全国Ⅱ，17；2018·全国Ⅲ，17；2016·全国Ⅱ，17；2016·全国Ⅲ，17‎ ‎ 数学运算、‎ 数学建模 等差与等比数列的综合问题 ‎2017·全国Ⅱ，17；2018·天津，18；2018·全国Ⅰ，17；2018·浙江，20‎ ‎ 数学运算、‎ 逻辑推理 审题答题指引 ‎1.教材与高考对接——等比(差)数列的判定与证明 ‎【题根与题源】1.(必修5P50例2)根据图2.4－2中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？‎ ‎2.(必修5P69B6)已知数列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？‎ ‎【试题评析】‎ ‎(1)题目以程序框图为载体给出递推数列{an}，其中a1＝1，an＝‎ an－1(n>1).进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列{an}是等比数列.‎ ‎(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bn＝an＋an－1(n≥2)，cn＝an－3an－1(n≥2)，利用等比数列定义不难得到{bn}，{cn}是等比数列，进而求出数列{an}的通项公式.‎ 两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.‎ ‎【教材拓展】 (2019·郑州模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 解：(1)证明　因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ 所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).‎ 因为a1＝5，a2＝5，‎ 所以a2＋2a1＝15，‎ 所以an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ 所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列.‎ ‎(2)解　由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，‎ 所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).‎ 又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，‎ 所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列.‎ 所以an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 故an＝2×(－2)n－1＋3n.‎ ‎【链接高考】 (2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解　(1)由条件可得an＋1＝an.‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.‎ ‎2.教你如何审题——等差与等比数列的综合问题 ‎【例题】 (2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.‎ ‎(1)求Sn和Tn；‎ ‎(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.‎ ‎【审题路线】‎ ‎ ‎ ‎【自主解答】‎ 解　(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0).‎ 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.‎ 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.‎ 所以Tn＝＝2n－1.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.‎ 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，‎ 故an＝n.‎ 所以Sn＝.‎ ‎(2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n ‎＝－n＝2n＋1－n－2.‎ 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn 可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，‎ 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.‎ 所以n的值为4.‎ ‎【探究提高】　‎ ‎1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.‎ ‎2.利用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.‎ ‎3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.‎ ‎【尝试训练】 (2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ 解　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，‎ 则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.‎ 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①‎ ‎(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②‎ 联立①和②解得(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.‎ ‎3.满分答题示范——数列的通项与求和 ‎【例题】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【规范解答】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.高考状元满分心得 ‎❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.‎ ‎❷得关键分：(1)an－1满足的关系式，(2)验证n＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分.‎ ‎❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).‎ ‎【构建模板】‎ ‎ ‎ ‎【规范训练】 (2019·芜湖调研)已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q，‎ 因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.‎ 因为a3＋2是a2和a4的等差中项，‎ 所以2(a3＋2)＝a2＋a4.‎ 即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.‎ 因为公比q≠0，所以q＝2.‎ 所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).‎ ‎(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，‎ 所以anbn＝(2n－1)2n，‎ 则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①‎ ‎2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②‎ 由①－②得，‎ ‎－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，‎ 所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.‎ 所以Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－.‎