2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：算法初步、统计与统计案例第2节抽样方法

2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：算法初步、统计与统计案例第2节抽样方法

第二节　抽样方法 ‎[最新考纲]　1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法．‎ ‎1．抽样调查 ‎(1)抽样调查 通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．‎ ‎(2)总体和样本 调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．‎ ‎(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：‎ ‎①迅速、及时；‎ ‎②节约人力、物力和财力．‎ ‎2．简单随机抽样 ‎(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同．‎ ‎(2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．‎ ‎(2)分层抽样的应用范围：‎ 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．‎ ‎4．系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样．‎ ‎1．无论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．‎ ‎2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．‎ ‎3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． (　　)‎ ‎(2)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体． (　　)‎ ‎(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关． (　　)‎ ‎(4)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取． (　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)‎ A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 A　[从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．]‎ ‎2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(　　)‎ A．10　　　B．11　　　C．12　　　D．16‎ D　[分段间隔为k＝＝13，则还有一个学生的学号为16.]‎ ‎3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)‎ A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43‎ C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32‎ B　[分段间隔为k＝＝10，故选B.]‎ ‎4．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)‎ A．33,34,33 B．25,56,19‎ C．20,40,30 D．30,50,20‎ B　[因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.]‎ ‎⊙考点1　简单随机抽样 ‎　抽签法与随机数法的适用情况 ‎(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．‎ ‎(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：‎ 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎　1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)‎ A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 B　[因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．]‎ ‎2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08　　　B．07　　　C．02　　　D．01‎ D　[从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.]‎ ‎　随机数表中每一列数是由每一行的一个数字组成的，而不是4个数字组成的．‎ ‎⊙考点2　系统抽样 ‎　系统抽样中所抽取编号的特点 系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．‎ ‎ (1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)‎ A．8号学生　　　 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 ‎(2)采用系统抽样方法从960人中 抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为009，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9　　　　‎ C．10　　　　 D．15‎ ‎(1)C　(2)C　[(1)根据题意，系统抽样是等距抽样，‎ 所以抽样间隔为＝10.‎ 因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.‎ 故选C.‎ ‎(2)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则将整体分成32组，每组30人，因为第一组抽到的号码为009，则第二组抽到的号码为039，第n组抽到的号码为an＝9＋30·(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝016,017，…，025，共有25－16＋1＝10(人)．]‎ ‎[母题探究]‎ 若本例(2)中条件变为“若第5组抽到的号码为129”，求第1组抽到的号码．‎ ‎[解]　设第1组抽到的号码为x，则第5组抽到的号码为x＋(5－1)×30，由x＋(5－1)×30＝129，解得x＝9，因此第1组抽到的号码为009.‎ ‎　系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．‎ ‎　1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一个产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为(　　)‎ A．73 B．78 ‎ C．77 D．76‎ B　[分段间隔为k＝＝5，则抽出的产品最小编号为3，从而抽到产品的最大编号为3＋15×5＝78，故选B.]‎ ‎2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按001,002，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 (　　)‎ A．11 B．12 ‎ C．13 D．14‎ B　[由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为＝12，故选B.]‎ ‎⊙考点3　分层抽样 ‎　分层抽样问题类型及解题思路 ‎(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．‎ ‎(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．其中抽样比＝＝.‎ ‎(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．‎ ‎ (1)(2019·洛阳模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)‎ 甲　　　　　　　　　乙 A．100,10 B．100,20‎ C．200,10 D．200,20‎ ‎(2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)‎ A．9 B．10 ‎ C．12 D．13‎ ‎(1)D　(2)D　[(1)由题得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200，‎ 抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，则近视人数为40×0.5＝20，故选D.‎ ‎(2)抽样比为＝，则n＝(120＋80＋60)＝13，故选D.]‎ ‎　分层抽样中每一层的抽样比相同．‎ ‎[教师备选例题]‎ 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：‎ 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 ‎4 800‎ ‎7 200‎ ‎6 400‎ ‎1 600‎ 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为(　　)‎ A．25,25,25,25　 B．48,72,64,16‎ C．20,40,30,10 D．24,36,32,8‎ D　[法一：因为抽样比为＝，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×＝24,7 200×＝36,6 400×＝32,1 600×＝8.‎ 法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8.]‎ ‎　1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于(　　)‎ A．54　　　　 B．90‎ C．45 D．126‎ B　[依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.]‎ ‎2．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．‎ ‎18　[∵＝＝，‎ ‎∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．]‎