江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年 高一下学期期中考试数学试卷 一、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）‎ 1. 的内角的对边分别为，若 ‎ A． B． C． D．‎ 2. 为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，‎ 其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为( )‎ A．900 B．1200 C．1500 D．1800 ‎ 3. 某人在打靶中，连续射击次，至多有一次中靶的对立事件是( )‎ A．至少有一次中靶 B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．恰有一次中靶 4. 已知两个变量、之间具有线性相关关系，次试验的观测数据如下：‎ 经计算得回归方程的系数，则( )‎ A． B． C． D．‎ 5. 直线与直线平行，则两直线间的距离为( )‎ A． B．或 C． D．‎ 6. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记 录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( ) ‎ A． B． ‎ C． D．‎ 7. P是直线上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小 值为( )‎ A． B． C．2 D．‎ 8. 已知的三个内角的对边分别为，若则的最 小值等于( ) ‎ A． B． C． D．‎ 二、 多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，选错或漏选不得分）‎ 9. 下列说法正确的是( )‎ A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为 C．直线的倾斜角为60°‎ D．过点且垂直于直线的直线方程为 1. 在中，给出下列个命题，其中正确的命题是( )‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )‎ A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是 B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为 C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是 D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 3. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距 离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．设点 所构成的曲线为，下列结论正确的是( )‎ A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为 ‎ C．在上存在点，使得 D．在上存在点，使得 一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 4. 某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品．若生产中出现二级品的概率为，出现三级 品的概率为，则出现正品的概率为______．‎ 5. 已知为正实数且，则的最小值为______．‎ 6. 在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线 上，则圆的标准方程为______．‎ 7. 在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交 圆于两点，若的面积的最大值为20，则实数的取值范围是_____．‎ 二、 解答题（本题共6小题，共70分）‎ 8. ‎（本小题满分10分）‎ 已知直线．‎ （1） 求直线关于直线对称的直线的方程；‎ （2） 求直线关于点对称的直线方程．‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，且．‎ （1） 求的大小；‎ （2） 若，，求的面积．‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：‎ ‎．其中成等差数列且．‎ 物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）‎ 分组 频数 ‎6‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ （1） 根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；‎ （2） 若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一 个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率．‎ 3. ‎（本小题满分12分）‎ （1） 已知，求的最大值及取最大值时的值；‎ （2） 若对一切，均有成立，求实数的取值范围．‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线与圆相切．‎ （1） 直线过点且截圆所得的弦长为，求直线的方程； ‎ （2） 已知直线与圆交于两点，是圆上异于的任意一点，且直线与轴 相交于点，判断点、的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ ‎“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮 的半径为6（单位：），游客在乘坐舱升到上半空鸟瞰伦敦建筑，伦敦眼与建筑之间的距离为12（单位：），游客在乘坐舱看建筑的视角为．‎ （1） 当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，视角，求建筑的高度；‎ （2） 当游客在乘坐舱看建筑的视角为时，拍摄效果最好．若在伦敦眼上可以拍摄到效 果最好的照片，求建筑的最低高度．‎ ‎（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为）‎ 答案 一、 单项选择题 ‎1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C 二、 多项选择题 ‎9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.BD 三、 填空题 ‎13. 0.97 14.9 15. 16. ‎ 四、 解答题（本大题共6题，共70分）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由解得交点P(2，0)．………………………………………1分 在l1上取点M(0，－2)，‎ M关于l的对称点设为N(a，b)，‎ 则，‎ 解得．………………………………………………………………………………4分 则，‎ 又直线l2过点P(2，0)，‎ 所以直线l2的方程为7x－y－14＝0．…………………………………………………………5分 ‎（2）直线l关于点A(1，1)对称的直线和直线l平行，‎ 所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0．……………………………………………………7分 在l上取点B(0，1)，则点B(0，1)关于点A(1，1)的对称点C(2，1)必在所求的直线上，‎ 所以，所以m＝－4，‎ 即所求的直线方程为x＋2y－4＝0．……………………………………………...………… 10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，‎ 由正弦定理可得，，‎ 由三角形内角和定理和诱导公式可得，‎ ‎，‎ 代入上式可得，，‎ 所以．………………………………………………………………4分 因为，所以，即．…………………………………5分 由于，所以．……………………………………………………………6分 ‎（2）因为，，所以由余弦定理，‎ 得，‎ 解得或（舍）. ……………………………………………….………………10分 所以.……………………….………………… 12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由于，‎ 解得，…………………………..…………………………3分 故数学成绩的平均分 ‎ （分）………………………………………………………………….………………6分 ‎（2）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，‎ 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………...8分 设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，‎ 则从4人中随机抽取2人的所有情况有：‎ ‎，‎ 符合题意的情况有：，‎ 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率.…………………….……………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以，当且仅当，即 时等号成立．所以当时，取最大值是．…………..……………5分 ‎（2）不等式可等价转化为对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 设，则……………………………………...………7分 ‎，………..…9分 因为，所以，所以 ‎（当且仅当等号成立），所以................................................................... 11分 所以，所以实数的取值范围是．…………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切，‎ ‎∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．………………….……………1分 ‎（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d=．……………………………..………2分 当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；…………………………...……3分 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．‎ ‎∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．………………5分 综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；………………………………………………6分 ‎（2）点M、N的纵坐标之积为定值10．…………………………………………………… 7分 设P（x1，y1），‎ ‎∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），‎ ‎∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．‎ 令x=0，得M（0，），N（0，）， ………………………………………9分 则（*）．‎ ‎∵点P（x1，y1）在圆C上，∴，即，‎ 代入（*）式，得为定值．………………………………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当乘坐舱在伦敦眼的最高点时，，此时，即，所以．在等腰三角形中，．…….…1分 由正弦定理得，所以 ‎．‎ 所以建筑的高度为（单位：）．……………………………………… 5分 ‎（2）设建筑的高度为（单位：），建立如图所示的直角坐标系，‎ 圆，‎ 由正弦定理可知，所以，即的外接圆的半径为．‎ 由图可知的外接圆的圆心坐标为，……………………………………7分 所以点在圆上，‎ 而点又在圆上，‎ 所以，解得．.............................................................................................11分 答：建筑的最低高度为（单位：）时，可以拍摄到效果最好的照片．‎ ‎…………………………………………………………………………………………………12分