【数学】北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题

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【数学】北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题

北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题 本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.设全集,集合,,则集合 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.焦点在轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3. 已知向量,.若,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.设,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎5. 在下列函数中,定义域为实数集的奇函数为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6. 圆截轴所得弦的长度等于 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎7.已知两条不同的直线和两个不同的平面,下列四个命题中错误的为 ‎(A)若,,则 (B)若,,则 ‎(C)若,∥且∥,则∥(D)若,,则 ‎8. 已知函数,则“在上单调递减”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎9.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象的函数解析式为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10.已知函数的定义域为,且满足下列三个条件:‎ ‎ ①对任意的,且,都有;‎ ‎ ②;③是偶函数;‎ ‎ 若,,,则,, 的大小关系正确的是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共110分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.已知复数,则 .‎ ‎12.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 .‎ ‎13.数列中,,,. 若其前项和为,则___ ____.‎ ‎14.在△中,,,,则边上的高等于 .‎ ‎15.已知函数:① 函数的单调递减区间为;‎ ‎② 若函数有且只有一个零点,则;‎ ‎③ 若,则,使得函数恰有2个零点,,恰有一个零点,且,.‎ 其中,所有正确结论的序号是_______.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知是公差为的无穷等差数列,其前项和为. 又,且,是否存在大于的正整数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递减区间;‎ ‎(Ⅱ)若当时,关于的不等式有解,求实数的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分14分)‎ 在天猫进行6.18大促期间,某店铺统计了当日所有消费者的消费金额(单位:元),如图所示:‎ ‎(Ⅰ)将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”,现从所有“消费达 人”中随机抽取3人,求至少有1位消费者,当日的消费金额超过2500元的概率;‎ ‎(Ⅱ)该店铺针对这些消费者举办消费返利活动,预设有如下两种方案:‎ ‎  方案1:按分层抽样从消费金额在不超过1000元,超过1000元且不超过2000元,‎ ‎2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金,每人分别为100元、200元和300元.‎ ‎  方案2:每位会员均可参加线上翻牌游戏,每轮游戏规则如下:有3张牌,背面 都是相同的喜羊羊头像,正面有1张笑脸、 2张哭脸,将3张牌洗匀后背面朝上摆放,每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌,共翻三次. 每翻到一次笑脸可得30元奖励金.如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏;超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏;2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏(每次、每轮翻牌的结果相互独立).‎ 以方案2的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥中,平面,,,,为线段上一点(不是端点),________ . ‎ 从①;②平面;这两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答;注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎(Ⅰ)求证:四边形是直角梯形;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)是否存在点,使得直线平面,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由. ‎ ‎20.(本小题满分15分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,;‎ ‎(Ⅲ)当时,若曲线在曲线的下方,求实数的取值范围.‎ ‎21. (本小题满分14分)‎ 已知椭圆的短轴长为2,离心率为,、分别是椭圆长轴的左右两个端点,P是椭圆上异于点、的点.‎ ‎(Ⅰ)求出椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设点满足:,.求与面积的比值.‎ 参考答案 一、选择题:() 1.A 2.D 3 . C 4.B 5. A 6. A 7. D 8.B 9.D 10. C 二、填空题:()11. 12. ;13. ;14. ;15. ①③.‎ 注:第15题全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共85分.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 解:存在正整数,使得. (此处未写,结论处有,不扣分) …………2分 理由如下:‎ 在等差数列中, …………5分 又,.‎ 所以由 得 …………7分 所以. …………10分 令,即.‎ 整理得.解得或. …………12分 因为,所以. (未写k>1扣一分) …………14分 所以当时,. ‎ ‎ ‎ ‎17. (本小题满分14分) ‎ 解:(Ⅰ)因为= ‎ ‎. …3分 ‎ 所以函数的最小正周期. …4分 因为函数的的单调递减区间为, ‎ 所以, …6分 解得, …7分 所以函数的单调递减区间是. …8分 ‎(一个都没写的扣一分)‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,不等式有解,即. …10分 由(Ⅰ)可知.当时,, …11分 故当,即时, f(x)取得最大值,最大值为. …13分 所以.故实数的取值范围是. …14分 18. (本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)解:记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A. …1分 由图可知,去年消费金额在内的有8人,在内的有4人,‎ 消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12(人), ‎ 从这12人中抽取3人,共有种不同方法, …2分 其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元,共有种不同方法. ‎ 所以,. …4分 ‎ ‎(Ⅱ)解:方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元,超过1000元且不超过2000元,‎ ‎2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”,则“幸运之星”中的人数分别为 ‎,,, …5分 按照方案1奖励的总金额为(元). …6分 ‎ 方案2 设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金,则的可能取值为0,30,60,90.…7分 ‎ 由题意,每翻牌1次,翻到笑脸的概率为, …8分 所以,‎ ‎,.‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ 所以的分布列为:‎ ‎ …10分 数学期望为(元), …12分 ‎ 按照方案2奖励的总金额为 (元), …13分 ‎ 因为由,所以施行方案1投资较少. …14分 ‎19. (本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)选择①,连结,‎ 因为平面, 所以, ……………..1分 因为,,所以 .….2分 因为,,所以,所以. …3分 因为,所以, 所以四边形是直角梯形.….4分 选择②,连结,‎ 因为平面, 所以, ……………..1分 因为,,所以 .….2分 因为,,所以,所以. …3分 因为平面,平面,平面平面,‎ 所以, 所以四边形是直角梯形. …….4分 ‎(Ⅱ)在平面内过作,则平面,由(Ⅰ)知,所以以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,….5分 则,,,,.‎ 则,, …….6分 设平面的一个法向量,则即…7分 令,则,,,则. …8分 设直线与平面所成的角为,‎ 所以. …9分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎(Ⅲ)设,则 .…10分 所以 , …11分 若平面,则, …12分 即,所以.…13分 因为,所以,线段上不存在点使得直线平面. …14分 ‎20. (本小题满分15分)‎ ‎(Ⅰ)因为,定义域R,所以.……2分 令,解得,令,解得……3分 ‎ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为……4分 ‎(Ⅱ)令,……5分 ‎. ……6分 由得, ,于是,故函数在上是增函数. ……7分 所以当时,,即.…… 9分 ‎(Ⅲ)若曲线在曲线的下方,‎ 则 …10分 令,‎ 则. 11分 当时,解法一:因为,‎ 所以 由(Ⅱ)知 ‎.……13分 ‎ 解法二:因为,所以,,,且,则,,所以,在上是增函数. 所以,‎ 符合题意. ……13分 ‎ 当时,若,则,那么,所以,‎ 则在上是减函数. 所以时,,‎ 不合题意. ……15分 综上所述,实数的取值范围是. ‎ ‎21. (本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)由题意,得,. …… 2分; 又因为, …… 3分 ‎ 所以,. …… 4分;故椭圆的方程为. ……… 5分 ‎(Ⅱ)因为两个三角形的底边均为,所以面积之比等于 …6分 ‎    解法一:由P是椭圆上异于点、的点可知, 直线的斜率存在且不为0‎ 设直线的斜率分别为,则直线的方程为 …7分 ‎ 由直线的方程为. …8分 ‎ 将代入,得,‎ ‎ 因为是椭圆上异于点的点,所以. ……9分 ‎ ‎ 所以 …11分 ‎ ‎ 由,所以直线的方程为. ……12分 ‎ 由 ,得. ……13分 ‎ 所以. ……14分 ‎ 解法二:设,则,①, …7分 且,因为, …8分 所以,则直线②, …9分 同理直线③, …10分 ‎③与②联立,解得:, …12分 将①带入,得, …13分 所以. ……14分 ‎
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