【数学】湖北省荆州中学2019-2020学年高二7月双周考试题

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【数学】湖北省荆州中学2019-2020学年高二7月双周考试题

湖北省荆州中学2019-2020学年高二7月双周考试题 一、单选题 ‎1.已知为虚数单位,,则复数的虚部为( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎2.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有(  )‎ A.36种 B.30种 C.42种 D.60种 ‎3.已知学生贾天才考试中每一道简单题做对的概率为,每一道中等题做对的概率为,每一道难题有三个选项,其中正确答案有且只有一项,贾天才面对难题时,他极有自知之明,答案完全凭感觉随机蒙一个。在贾天才参加的某次考试中,简单题有8道题,做对一题得5分,做错或不做得0分;中等题有有6道题,做对一题得10分,做错或不做得0分;难题有3道题,做对一题得15分,做错或不做得0分.则贾天才在本次考试中所得分数的数学期望为( )‎ A.70分 B.145分 C.95分 D.85分 ‎ ‎4.已知圆上存在不同两点关于直线对称,则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知椭圆与抛物线有一个公共焦点,椭圆的离心率是0和1的等差中项,则椭圆的长轴长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:‎ 收入(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ m ‎8.5‎ ‎9.3‎ 根据表中数据可得回归直线方程,据此估计,该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为15万元,则m的值为( )‎ A.8.0 B.8.5 C.9.6 D.8.8‎ ‎7.已知抛物线上一点到该抛物线焦点距离为, 为已知抛物线上任意一点,则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若焦点在轴上的双曲线的离心率为,则该双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知是单位向量,点的坐标为 ,则点的坐标为 ( )‎ A.或 B.或 C.或 D.选项A、B、C都不对 ‎10.如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,事件A:甲的平均成绩超过乙的平均成绩;事件B:乙在4次考试中成绩的中位数不高于90分,则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知是函数的一个极值点,直线与函数的图象恰有两个不同交点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则实数n的取值范围是(  )‎ A.(-1,3) B.(-1,) C. D.‎ 二、填空题 ‎13. 已知函数,则函数的图象在点处的切线方程为_______.‎ ‎14.的展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项,则该展开式的常数项是__________.(用数字作答)‎ ‎15.已知某批零件的长度误差(单位)服从正态分布,若,,现从中随机取一件,其长度误差落在区间内的概率_____________.‎ ‎16.在三棱锥中,若,则该三棱锥外接球的体积为_________.‎ 三、解答题 ‎17. (本小题满分10分)已知数列的前项和满足 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求数列的前项和。‎ ‎18.(本小题满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.‎ ‎(1)完成2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎(2)现从该校一年级全体学生中,随机抽取了12名学生,发现12名学生中对冰球有兴趣的学生频率恰好等于之前抽取的100名学生中对冰球有兴趣的学生频率,再从被抽取的12名学生中随机抽取3名学生,求抽取的3名学生中至少含有一名对冰球没兴趣的学生的概率。‎ 附表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎,‎ ‎19.(本小题满分12分)在多面体中,四边形为菱形,∥,⊥,且平面⊥平面 ‎(1)求证:⊥;‎ ‎(2)若求二面角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数 ‎(1)当时,判断在定义域上的单调性;‎ ‎(2)若在上的最小值为,求实数的值.‎ ‎21. (本小题满分12分)已知曲线 与x轴交于两点,且点在点左侧,点P为x轴上方的一个动点,是线段的中点,直线 (为坐标原点)的斜率与直线的斜率之积为-4.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点的直线与分别交于点 (均异于点),在三角形中,为锐角,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函数 ‎(1)当时,若函数恰有一个零点,求的取值范围;‎ ‎(2)当时,恒成立,求的取值范围.‎ 参考答案 一、单选题 题号 ‎01‎ ‎02‎ ‎03‎ ‎04‎ ‎05‎ ‎06‎ ‎07‎ ‎08‎ ‎09‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D C D B C A A D C D 二、填空题 ‎13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17.解: 首项未考虑的学生,扣除2分,全对得5分,只有首项正确,给1分 ‎ 第二问只要错位相减法基本过程到位,结果不正确这一问给3分,完全正确(包括化简非最简形式)这一问给5分 ‎18解 (1)根据已知数据得到如下列联表:‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据,得到 K2==≈3.030.‎ K2≈3.030>2.706,所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.5分 ‎(2)由列联表中数据可知,对冰球有兴趣的学生频率是 7分 故抽取的12名学生中对冰球有兴趣的学生人数为,没有兴趣的人数3人 所以概率为 算式正确,结果不对扣2分 ‎19解 (1)证明:连接AC,由四边形ABCD为菱形可知AC⊥BD,1分 ‎∵平面BED⊥平面ABCD,且交线为BD,‎ ‎∴AC⊥平面BED,∴AC⊥ED,‎ 又AF∥DE,∴AF⊥AC,3分 ‎∵AF⊥AD,AC∩AD=A,∴AF⊥平面ABCD,‎ ‎∵CD⊂平面ABCD,∴AF⊥CD. 4分 ‎(2)设AC∩BD=O,过点O作DE的平行线OG,‎ 由(1)可知OA,OB,OG两两互相垂直,‎ 则可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 6分 设AF=AD=ED=2a(a>0),则A(a,0,0),B(0,a,0),F(a,0,2a),E(0,-a,4a),‎ 所以=(-a,a,0),=(0,0,2a),=(0,-2a,4a),‎ =(a,-a,2a), 8分 设平面ABF的法向量为m=(x,y,z),‎ 则即 取y=,则m=(1,,0)为平面ABF的一个法向量,‎ 同理可得n=(0,2,1)为平面FBE的一个法向量. 10分 则cos〈m,n〉==,‎ 又二面角A-FB-E的平面角为钝角,则其余弦值为-. 12分 ‎20. 解:(1)由题得f(x)的定义域为(0,+∞),且 f ′(x)=+=.‎ ‎∵a>0,∴f ′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.‎ ‎(2)由(1)可知:f ′(x)=,‎ ‎①若a≥-1,则x+a≥0,即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,‎ ‎∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=- (舍去). ‎ ‎②若a≤-e,则x+a≤0,即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,‎ ‎∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).‎ ‎③若-e0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,‎ ‎∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-.‎ 综上可知:a=-.‎ ‎21解:(1)易知A(-1,0),B(1,0),设P(x,y)(y>0),因为DO∥PA,所以kDOkPB=kPAkPB,‎ 则kAPkBP=·=-4,整理,得+x2=1(y>0),‎ 所以动点P的轨迹C2的方程为+x2=1(y>0). 5分 ‎(没有y的范围扣1分)‎ ‎(2)由(1)知,上半椭圆C2的方程为+x2=1(y>0).‎ 易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),‎ 代入C2的方程整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)‎ 设点M的坐标为(xM,yM),‎ ‎∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根,‎ 由求根公式得xM=,从而yM=,‎ ‎∴点M的坐标为, 7分 同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k), 8分 =,=(-k,-k2-2k).‎ 由题意可知·>0,‎ 即[k-4(k+2)]>0,‎ ‎∴k-4(k+2)<0,解得k>-, 10分 因为y′=(-2x)|x=1=-2,即直线l与抛物线在B处相切时,切线的斜率为-2.‎ 而直线l与两曲线有交点,必须k<-2.‎ 所以直线l的斜率的取值范围为-0时无零点, 2分 ‎②当a>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 因为g(1)=1,所以g(x0)·g(1)<0,此时函数g(x)恰有一个零点, 4分 ‎③当a<0时,令g′(x)=0,解得x=,‎ 当0时,g′(x)>0,所以g(x)在上单调递增.‎ 要使函数g(x)恰有一个零点,‎ 则g=aln -=0即a=-2e,‎ 综上所述,若函数g(x)恰有一个零点,则a=-2e或a>0. 6分 ‎(2)令h(x)=f(x)-(1-m)x2=mx2-(2m+1)x+ln x,根据题意,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0恒成立,又h′(x)=2mx-(2m+1)+=, 7分 ‎①若00恒成立,所以h(x)在上是增函数,且h(x)∈,所以不符合题意. 8分 ‎②若m≥,则x∈(1,+∞)时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,且h(x)∈(h(1),+∞),所以不符合题意. 9分 ‎③若m≤0,则x∈(1,+∞)时,恒有h′(x)<0,故h(x)在(1,+∞)上是减函数,于是“h(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0,即m-(2m+1)≤0,解得m≥-1,故-1≤m≤0. 11分 综上,m的取值范围是[-1,0]. 12分
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