【数学】2018届一轮复习人教A版（理）12-5复数学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）12-5复数学案

‎§12.5　复数 考纲展示►　‎ ‎1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．‎ ‎2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．‎ ‎3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．‎ 考点1　复数的有关概念 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 复数的有关概念 ‎(1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是________，虚部是________．‎ ‎(2)复数的分类 ‎(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ 答案：(1)a　b　(2)＝　≠　＝　≠‎ ‎(3)a＝c且b＝d　(4)a＝c且b＝－d ‎(5)|z|　|a＋bi|‎ ‎[教材习题改编]若复数z＝m＋1＋(m－1)i为虚数，则实数m的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)‎ 解析：当虚部不等于0，即m≠1时，复数z为虚数.‎ 复数有关概念的误区：纯虚数；虚部；共轭复数．‎ ‎(1)已知复数z＝m2－1＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.‎ ‎(2)复数3－2i的虚部为__________．‎ ‎(3)复数2＋3i的共轭复数是__________．‎ 答案：(1)－1　(2)－2　(3)2－3i 解析：(1)由m2－1＝0且m－1≠0，得m＝－1.‎ ‎(2)实部为3，虚部为－2.‎ ‎(3)复数2＋3i的共轭复数是2－3i.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·江西九江模拟]设复数z＝，则z的共轭复数为(　　)‎ A.－i B.＋i C．1－3i D．1＋3i ‎[答案]　B ‎[解析]　∵z＝＝＝－i，∴＝＋i.‎ ‎(2)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 ‎ C．1 D．3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.‎ ‎(3)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为(　　)‎ A．－4 B．－ ‎ C．4 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　(3－4i)z＝|4－3i|＝5，∴z＝＝，∴z的虚部为.‎ ‎(4)[2016·江苏卷]复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z 的实部是________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.‎ ‎[点石成金]　求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．‎ 考点2　复数的几何意义 复数的几何意义 ‎(1)复平面的概念 建立____________来表示复数的平面叫做复平面．‎ ‎(2)实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示________；除原点以外，虚轴上的点都表示________．‎ ‎(3)复数的几何表示 复数z＝a＋bi　　　复平面内的点________　　　平面向量________．‎ 答案：(1)直角坐标系 ‎(2)实轴　虚轴　实数　纯虚数 ‎(3)Z(a，b)　 ‎(1)[教材习题改编]在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点B是点A关于实轴的对称点，点C为点B关于虚轴的对称点，则点C对应的复数是________．‎ 答案：－2－i 解析：点C是点A关于原点的对称点，故其对应的复数是－2－i.‎ ‎(2)[教材习题改编]的共轭复数是z，则|z－3i|＝________.‎ 答案：2 解析：＝＝－2－i，‎ 所以z＝－2＋i，‎ 所以|z－3i|＝|－2－2i|＝2 .‎ ‎[典题2]　(1)[2017·吉林长春质检]复数的共轭复数对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案]　A ‎[解析]　＝－i，所以其共轭复数为＋i.‎ 所以对应的点位于第一象限．‎ ‎(2)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i ‎[答案]　C ‎[解析]　依题意，得复数z＝＝i(1－2i)＝2＋i，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A(－2,1)对应的复数为－2＋i.‎ ‎(3)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　由条件，得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ，得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)‎ ‎＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ ‎[点石成金]　对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ 考点3　复数的代数运算 复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________________.‎ ‎(3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.‎ 答案：(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i ‎(2)z2＋z1　z1＋(z2＋z3)‎ 掌握复数代数运算中常用的几个结论．‎ 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝__________；＝__________；＝__________.‎ ‎(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝__________，‎ n∈N*.‎ 答案：(1)±2i　i　－i　(2)0‎ ‎[典题3]　(1)[2017·吉林实验中学模拟]设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i ‎[答案]　A ‎[解析]　∵＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，故选A.‎ ‎(2)[2016·新课标全国卷Ⅲ]若z＝1＋2i，则＝(　　)‎ A．1 B．－‎1 C．i D．－i ‎[答案]　C ‎[解析]　∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，‎ ‎∴＝＝i，故选C.‎ ‎(3)已知i是虚数单位，2 016＋6＝________.‎ ‎[答案]　0‎ ‎[解析]　原式＝1 008＋6＝1 008＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.‎ ‎[点石成金]　复数代数形式运算问题的解题策略 ‎(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.‎ ‎[方法技巧]　1.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．‎ ‎2．在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．‎ ‎3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．‎ ‎4．常见结论 ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．‎ ‎(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．‎ ‎[易错防范]　1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3,1) B．(－1,3)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)‎ 答案：A 解析：由已知，可得⇒⇒－3

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