【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第六章30数列求和作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第六章30数列求和作业

‎【课时训练】第30节　数列求和 一、选择题 ‎1．(2018阳泉质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝(　　)‎ A．7　　　 B．12　　 ‎ C．14 D．21‎ ‎【答案】C ‎【解析】由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.‎ ‎2．(2018辽宁五校联考)已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为(　　)‎ A. B．　‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】在等差数列{an}中，a5＋a7＝‎2a6＝26⇒a6＝13.又数列{an}的公差d＝＝＝2，所以an＝a3＋(n－3)·d＝7＋(n－3)×2＝2n＋1，那么bn＝＝＝，故Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝⇒S100＝＝.‎ ‎3．(2018河南郑州模拟)已知在等差数列{an}中，a1＝120，公差d＝－4.若Sn≤an(n≥2)，其中Sn为该数列的前n项和，则n的最小值为(　　)‎ A．60　　 B．62　　　‎ C．70 D．72‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得an＝120－4(n－1)＝124－4n，Sn＝120n＋×(－4)＝122n－2n2.由Sn≤an，得122n－2n2≤124－4n，即n2－63n＋62≥0，解得n≥62或n≤1(舍去)．故选B.‎ ‎4．(2018嘉兴调研)已知an＝(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为(　　)‎ A．99　　　 B．100　　　 ‎ C．101 D．102‎ ‎【答案】C ‎【解析】由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝＞0.故选C.‎ ‎5．(2018广东肇庆二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且4Sn＝(an＋1)2，则下列说法正确的是(　　)‎ A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等差或等比数列 C．数列{an}为等比数列 D．数列{an}既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】∵4Sn＝(an＋1)2，∴4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，∴4Sn＋1－4Sn＝4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∴an＋1＝an＋2，或an＋1＋an＝0，∵‎4a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1.故选B.‎ ‎6．(2019山西太原五中调考)在数列{an}中，an＞0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是(　　)‎ A. B． C．　 D．　‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得a＝⇒(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0⇒an＋1＝⇒an＋1－1＝⇒＝－1，∴数列为以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－2－(n－1)＝－n－1⇒an＝⇒＝＝－.∴a1＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.‎ ‎7．(2018湖南衡阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2 017项的和S2 017＝(　　)‎ A．1 345　　 B．671　　 ‎ C．1 342 D．1 341‎ ‎【答案】A ‎【解析】由a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，得a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，则数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＝2.又2 017＝672×3＋1，所以S2 017＝672×2＋1＝1 345.‎ 二、填空题 ‎8．(2018河北冀州中学月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设{an}的公比为q，由题意易知q＞0且q≠1.因为S1，S3，S4成等差数列，所以2S3＝S1＋S4，即＝a1＋，解得q＝.‎ ‎9．(2018泰安模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n·(an ‎＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 017＝________.‎ ‎【答案】－1 007 ‎ ‎【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.‎ ‎10．(2018山东枣庄质检)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.‎ ‎【答案】 2n＋1－2 ‎ ‎【解析】 ∵an＋1－an＝2n, ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.‎ ‎∴Sn＝＝2n＋1－2.‎ 三、解答题 ‎11．(2018湖北稳派教育联考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，Sn＝n2＋n(a1－1)(n∈N*)，且a1，a3－1，a5＋7成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】(1)∵Sn＝n2＋n(a1－1)，‎ 又Sn＝na1＋d＝n2＋n，‎ ‎∴d＝2.‎ 又a1，a3－1，a5＋7成等比数列．‎ ‎∴a1(a5＋7)＝(a3－1)2，即a1(a1＋15)＝(a1＋3)2，解得a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝＝＝，‎ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＝.‎ ‎12．(2018辽宁五校联考)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋＜.‎ ‎(1)【解】∵Sn＝－an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，∴an＝an－1.‎ 又∵S1＝a1＝－a1，∴a1＝，‎ ‎∴an是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴an＝n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)【证明】由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，‎ 得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)，∴＝＝，‎ ‎∴＋＋＋…＋ ‎＝× ‎＝＝－＜.‎ 又∵＋＋＋…＋≥＝，‎ ‎∴原式得证．‎