【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题27数列的通项公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题27数列的通项公式学案

专题二十七 数列通项公式 ‎【一般数列的通项公式】‎ 一般数列的定义：果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。‎ ‎【通项公式的求法】‎ ‎（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式； （2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列； （3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。 已知递推公式求通项常见方法： ①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1 +λ=q(an+λ)进而得到λ。②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。‎ ‎【等差数列的通项公式】‎ an=a1+（n-1）d，n∈N*。  an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；  an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 ‎ ‎【等差数列的前n项和的公式】‎ ‎【数列求和的常用方法】‎ ‎1.裂项相加； 2、错位相减； 3、倒序相加法。4、分组转化法。5、公式法求和 等差数列的前n项和的公式：‎ ‎【等比数列的通项公式】‎ an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。‎ ‎【等比数列的前n项和公式】‎ ‎ ‎ 等比数列前n项和公式的变形 ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文17】‎ 设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由题意得时，，再作差得，验证时也满足；（2）由于，所以利用裂项相消法求和. ‎ ‎（2）记{}的前n项和为，‎ 由（1）知 = = - .‎ 则 = - + - +…+ - = .‎ ‎【考点】数列的通项公式，裂项相消法求和 ‎【点拨】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如或.‎ 答题思路 ‎【命题意图】 数列是历年高考重点考查的一个知识点，而数列的通项是数列的核心内容，是我们进一步研究数列的基础。数列的通项公式是高考考查的热点内容。同时也考查了化归和转化思想在数学中的应用。‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有三种：一种是直接考查等差数列和等比数列；一种是由递推公式求数列的通项公式，类型较多，主要考查利用an和Sn的关系求通项an，以选择、填空题为主，较为简单，若涉及递推公式常为解答题，属中等难度题目；一种是数列求和，数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高．题型上以解答题为主.‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步 利用满足条件，写出当时，的表达式；‎ 第二步 利用，求出或者转化为的递推公式的形式；‎ 第三步 根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求数列的通项公式，常见的有六种类型：‎ ‎（1）已知数列的前几项，求其通项公式.‎ 常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等.‎ 根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力.‎ ‎（2）已知数列前n项和，或前n项和与的关系求通项.‎ 利用虽然已知求时，方法千差万别，但已知求时，方法却相对固定.‎ ‎（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.‎ ‎（4）对于型，求，其关键是确定待定系数，使 ‎（5）对于型，求，可用的方法.‎ ‎（6）对于型，求，可用的方法.‎ ‎2.数列求和的常用方法 ‎（1）公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 ‎①等差数列的前n项和公式：；‎ ‎②等比数列的前n项和公式：‎ ‎（2）倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．‎ ‎(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．‎ ‎(4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎(5)分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．‎ ‎(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ ‎1.【2017年高考全国Ⅰ卷，文17】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析．‎ ‎（2）由（1）可得．‎ 由于，‎ 故，，成等差数列．‎ ‎【考点】等比数列 ‎【点拨】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎2.【2017年高考全国Ⅱ卷，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，．‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）当 时，．当时，．‎ 试题解析：设的公差为d，的公比为q，则，．由得 d+q=3．①‎ ‎（1）由得②‎ 联立①和②解得（舍去），‎ 因此的通项公式为．‎ ‎（2）由得．‎ 解得．‎ 当时，由①得，则．‎ 当时，由①得，则．‎ ‎【考点】等差、等比数列通项与求和 ‎【点拨】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎3.【2017年高考北京卷，文15】已知等差数列和等比数列满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.‎ ‎【点拨】‎ ‎4.【2017年高考天津卷，文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.‎ 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.‎ ‎【点拨】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，‎ ‎,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎5．【2017衡水中学押题III卷】数列满足， （），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎6．【2017安庆一中三模】设数列的前项和为，且，则通项_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,可得,即,数列从第二项起是公比为3的等比数列, , ‎ ‎7．【2017唐山三模】数列的前项和为，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，两式相减得，两边乘以得， 是等差数列, 又令 ‎8．【2017湖南考前演练（三）】已知数列的前项和为满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据前项和与通项的递推关系，构造，两式相减得，即可利用等比数列求其通项；（2）将代入化简，利用裂项求和即可． ‎ 试题解析：（1）由得，由，做差得，又成等差数列，所以 即，解得，所以数列是以3为首项公比为3的等比数列，即 ‎（2）由，得 于是 ‎【点拨】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎ ‎9．【2017石家庄二模】已知数列满足， ．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求证：对任意的， .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎（Ⅱ）因为， .‎ 因此 ，‎ 所以 .‎ ‎10．【2017赣中南五校联合】设为数列的前项和，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 利用通项与和的关系， ，求出数列的首项，推出数列的等比数列，求解通项公式；(2)，是等差数列乘以等比数列，利用错位相减法求解数列的和即可.‎ 试题解析：(1)当时，，易得.‎ 当时，，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列构成以首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴数列的通项公式.‎ ‎【点拨 ‎】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎11．【2017泸州四诊】已知数列的前项和满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由递推关系结合题意可知该数列是首项为2，公比为2的等比数列，则数列的通项公式.‎ ‎(2)整理数列的通项公式，然后裂项可得前n项和.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点拨】‎ 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎12．【2017福建三明5月考】已知数列的前项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ 当时， ，则，‎ 当时， ， ，‎ 两式相减，得，所以．‎ 所以是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，即得 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，所以．‎ ‎13．【2017日照二模】已知数列的前n项和为，且满足，数列为等差数列，且．‎ ‎(I)求数列与的通项公式；‎ ‎(II)令，求数列的前2n项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，故, ‎ 当时, , ‎ 又把代人中得,所以 ． ‎ 由, 解得（负值舍去），所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），所以 ‎．‎ 故 ‎ ‎14．【2017山东实验中学一模】已知数列满足（），其中为的前项和，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记数列的前项和为是否存在无限集合，使得当时，总有成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）满足条件的存在，集合,‎ 试题解析：‎ 解:（1）由得（），二式相减得 ‎ ‎ ‎（）；…；；；‎ 叠乘得 ‎（2） ‎ ‎ ‎ 令 得 故满足条件的存在，集合,‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅰ卷，文17】已知是公差为3的等差数列，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【点拨】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅱ卷，文17】等差数列{}中，.‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.‎ 试题解析：（Ⅰ)设数列的公差为d，由题意有.‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 ‎【点拨】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错.‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅲ卷，文17】已知各项都为正数的数列满足，.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的通项公式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式 ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．‎ ‎18.【2016年高考北京卷，文15】（13分）‎ 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.‎ ‎（I）求{an}的通项公式；‎ ‎（II）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【答案】（I）（，，，）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.‎ ‎【点拨】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.‎ ‎19.【2016年高考山东卷，文19】（12分）‎ 已知数列的前n项和，是等差数列，且.‎ ‎（I）求数列的通项公式； ‎ ‎（II）令.求数列的前n项和. ‎ ‎【答案】（I）;（II）‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，等比数列的求和，错位相减法 ‎【点拨】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎20．【2016年高考浙江卷，文17】（15分）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1， .‎ ‎（Ⅰ）求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{||}的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 当时，，‎ 所以，‎ ‎【考点】等差、等比数列的基础知识.‎ ‎【点拨】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．中/华-资*源%库 ‎21．【2016年高考四川卷，文19】（12分）‎ 已知数列{an}的首项为1， Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q﹥0，n∈N*.‎ ‎（I）若a2，a3，a2+ a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）设双曲线的离心率为，且，求.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和等基础知识，考查学生的分析问题和解决问题的能力、计算能力.第（I）问，利用得到数列为等比数列，再结合a2，a3，a2+ a3成等差数列求出的公比q，从而利用等比数列的通项公式求解；第（II）问，先利用双曲线的离心率得到的表达式，再解出q的值，最后利用等比数列的求和公式求解.‎ 试题解析：（I）由已知， 两式相减得到.‎ 又由得到，故对所有都成立.    ‎ 所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等差数列，可得，所以，故.‎ 所以.‎ ‎【考点】数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和 ‎【点拨】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力及计算能力.在第（I）问中，已知的是的递推式，在与的关系式中，经常用代换，然后两式相减，可得的递推式；在第（II）问中，按题意步步为营，认真计算，不需要多少解题技巧，符合文科生的特点．‎