【数学】2020届一轮复习北师大版直接证明与间接证明课时作业
直接证明与间接证明
(30 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证:
< a.索的因应是( )
A.a-b>0 B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
【解析】选 C.要证 < a,只需证 b2-ac<3a2,只需证 b2-a(-b-a)<3a2,只
需证 2a2-ab-b2>0,只需证(2a+b)(a-b)>0,只需证(a-c)(a-b)>0.
2.设 a= ,b= - ,c= - ,那么 a,b,c 的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
【解析】选 B.由已知,a= ,b= ,
c= ,因为 + > + >2 ,
所以 b
x,0lg x>(lg
x)2,
lg x2>(lg x)2>lg(lg x).
4.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要
做的假设是 ( )
A.方程 x3+ax+b=0 没有实根
B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根
C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根
D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根
【解析】选 A.依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出
命题的否定.方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根的反面是方程 x3+ax+b=0 没有实根.
5.已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若 α∥β,
则 l⊥m;②若 l⊥m,则 α∥β;③若 α⊥β,则 l⊥m;④若 l∥m,则 α⊥β.
其中正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 B.若 l⊥α,m⊂β,α∥β,则 l⊥β,所以 l⊥m,①正确;若 l⊥α,m⊂
β,l⊥m,α 与 β 可能相交,②不正确;若 l⊥α,m⊂β,α⊥β,l 与 m 可能平行
或异面,③不正确;若 l⊥α,m⊂β,l∥m,则 m⊥α,所以 α⊥β,④正确.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.等式“ = ”的证明过程:“等式两边同时乘以 得,左边=
· = = =1,右边=1,左边=右边,所以原不等式成立”,应
用了________的证明方法.(填“综合法”或“分析法”)
【解析】由综合法的特点可知,此题的证明用的是综合法.
答案:综合法
7.设 n∈N*,则 - ______ - (填“>”“<”或
“=”).
【解析】要比较 - 与 - 的大小,即判断( -
)-( - )
=( + )-( + )的符号,
因为( + )2-( + )2
=2[ - ]
=2( - )<0,
所以 - < - .
答案:<
8.用反证法证明“若函数 f(x)=x2+px+q,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个
不小于 ”时,假设内容是________.
【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 ”的反面是
“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 ”.
答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.求证抛物线 y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与 x=- 相切. 导学号
【证明】如图,作 AA′、BB′垂直于准线,取 AB 的中点 M,作 MM′垂直于准线.
要证明以 AB 为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|= |AB|,
由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,
所以|AB|=|AA′|+|BB′|,
所以只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|)
由梯形的中位线定理知上式是成立的.
所以,以过焦点的弦为直径的圆必与 x=- 相切.
10.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c 均为整数,且 f(0),f(1)均为奇数.求
证:f(x)=0 无整数根. 导学号
【解析】假设 f(x)=0 有整数根 n,则
an2+bn+c=0,
由 f(0)为奇数,知 c 为奇数,
f(1)为奇数,知 a+b+c 为奇数,
所以 a+b 为偶数,又 an2+bn=-c 为奇数,
所以 n 与 an+b 均为奇数,又 a+b 为偶数,
所以 an-a 为奇数,即(n-1)a 为奇数,
所以 n-1 为奇数,这与 n 为奇数矛盾.
所以 f(x)=0 无整数根.
(20 分钟 40 分)
1.(5 分)证明命题“f(x)=ex+ 在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如
下:
因为 f(x)=ex+ ,
所以 f′(x)=ex- ,又因为 x>0,
所以 ex>1,0< <1,
所以 ex- >0,即 f′(x)>0,
所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
他使用的证明方法是 ( )
A.综合法 B.分析法
C.反证法 D.以上都不是
【解析】选 A.该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.
2.(5 分)若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ac=1,则下列不等式成立的是 ( )
A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3
C. + + ≥2 D.abc(a+b+c)≤
【解析】选 B.因为 a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,将三式相加得 2(a2+b2+c2)
≥2ab+2bc+2ac,即 a2+b2+c2≥1,又因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,
所以(a+b+c)2≥1+2×1=3.
3.(5 分)在△ABC 中,若 sin Asin B0,所以 cos
C<0, 即△ABC 一定是钝角三角形.
4.(12 分)已知 a>0,函数 f(x)=x3-a,x∈[0,+∞),设 x1>0.记曲线 y=f(x)在点
M(x1,f(x1))处的切线为 l. 导学号
(1)求 l 的方程.
(2)设 l 与 x 轴的交点为(x2,0),求证:x2≥ .
【解析】(1)f′(x)=3x2,
所以 l 的方程为 y-( -a)=3 (x-x1),
即 y=3 x-2 -a.
(2)令 y=3 x-2 -a=0,得 x= ,
所以 x2= ,
要证 x2≥ ,只需证 2 +a≥3 · ,
即证(x1- )2(2x1+ )≥0,显然成立,
所以原不等式成立.
5.(13 分)设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差数列. 导学号
(1)证明: , , , 依次构成等比数列.
(2)是否存在 a1,d,使得 a1, , , 依次构成等比数列.并说明理由.
【解析】(1)由已知, = =2d 是常数(n=1,2,3),
所以 , , , 依次构成等比数列.
(2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4 分别为 a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存
在 a1,d,使得 a1, , , 依次构成等比数列,则 =a1 ,且 = ,即
a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
令 t= ,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(- 0,a1+3d>0, =a1 ,且 = ,
所以 =a1 ,①
且 = ,即 =(a1+d) ,②
联立①②,得 =a1(a1+d) ,即 =a1 ,化简
得
d3-6a1d2-3 d=0,即 d(d2-6a1d-3 )=0,
所以 d=0(舍),d=(3±2 )a1,
但 d=(3±2 )a1 不是①②的解,
所以不存在 a1,d,使得 a1, , , 依次构成等比数列.
