2012年初三数学西城一模试题答案

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2012年初三数学西城一模试题答案

北京市西城区2012年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分标准 2012. 5‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C B C B D B C 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ x≥-2‎ ‎(各2分)‎ ‎4,4(各2分)‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.解:原式= …………………………………………………………4分 ‎ ‎ =.…………………………………………………………………… 5分 ‎①②‎ ‎≥2x-4,‎ ‎14.解: ‎ ‎ 由①得.……………………………………………………………………1分 ‎ 由②得x≤. ……………………………………………………………………3分 ‎ ∴ 原不等式组的解集是-2< x≤.………………………………………………4分 ‎ ∴ 它的非负整数解为0,1,2.………………………………………………… 5分 ‎15.(1)证明:如图1.‎ ‎ ∵ ∠ABC=90º,D为AB延长线上一点,‎ ‎ ∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 ‎ 在△ABE和△CBD中,‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △ABE≌△CBD. …………………… 2分 ‎ (2)解:∵ AB=CB,∠ABC=90º,‎ ‎ ∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分 ‎ 又∵ ∠CAE=30º,‎ ‎ ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分 ‎ ∵ △ABE≌△CBD,‎ ‎ ∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分 ‎16. 解:原式= =. ..….….….….….……………………3分 ‎ ∵ ‎2a+b=0, ‎ ‎ ∴ . ……………………………………………………………………… 4分 ‎ ∴ 原式=. ‎ ‎ ∵ a不为0,‎ ‎ ∴ 原式=. ..….….….….……………………………………………………… 5分 ‎17. 解:(1)∵ 反比例函数 的图象经过点,‎ ‎ ∴ ,且m>0.‎ ‎ ∵ AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为1, ‎ ‎ ∴ . ‎ ‎ 解得 . ……………………………………………………………… 1分 ‎ ∴ 点A的坐标为. ………………………………………………… 2分 ‎ ∴ . …………………………………………………………… 3分 ‎ (2)点C的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 ‎18.解:设甲工厂每天能加工件新产品,则乙工厂每天能加工1.5件新产品.‎ ‎ 依题意得 . ……………………………………………………2分 ‎ 解得. …………………………………………………………………… 3分 ‎ 经检验,是原方程的解,并且符合题意. …………………………… 4分 ‎ ∴ .‎ 图2‎ ‎ 捐款户数分组统计图1‎ ‎ 答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题(本题共20分,每小题5分)‎ ‎19.解:(1)2,50;…………………………………2分 ‎ (2),C组的户数为20. … 3分 ‎ 补图见图2. …………………………4分 ‎ (3)∵ ,‎ ‎ ∴ 根据以上信息估计,全社区捐款不少 ‎ 于300元的户数是180.‎ ‎ ……………………………… 5分 ‎20.解:(1)∵ 梯形ABCD中,AD∥BC,,,‎ ‎∴ ,. ‎ 在Rt△ABD中,∵,,‎ 图3‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ .…… 2分 ‎(2)作于点E,于点F.(如图3) ‎ 在Rt△BCE中,∵ BC=2,,‎ ‎∴ ,.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ . …………………………………………… 3分 ‎∵ ,‎ ‎∴ . …………………………… 4分 ‎ ∵ AD∥BC,,,‎ ‎∴ . …………………………………………………… 5分 图4‎ ‎21.解:(1)作于点F,连结OD.(如图4)‎ ‎ ∵ ∠BAD=60°,‎ ‎∴ ∠BOD=2∠BAD =120°.……………1分 又∵OB=OD,‎ ‎ ∴ .……………………… 2分 ‎∵ AC为⊙O的直径,AC=4,‎ ‎∴ OB= OD= 2.‎ 在Rt△BOF中,∵∠OFB=90°, OB=2,,‎ ‎∴ ,‎ ‎ 即点O到BD的距离等于1. ………………………………………… 3分 ‎(2)∵ OB= OD ,于点F,‎ ‎∴ BF=DF.‎ 由DE=2BE,设BE=2x,则DE=4x,BD=6x,EF=x,BF=3x.‎ ‎∵ ,‎ ‎ ∴ , EF=.‎ 在Rt△OEF中,,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ,. …………………………………… 4分 ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎ ∴ . ………………………………………………… 5分 ‎22.解:(1)135°;………………………………………………………………………… 2分 ‎(2)120°;………………………………………………………………………… 3分 ‎ . ……………………………………………………………………… 5分 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)‎ ‎23.解:(1)∵ 关于x的一元二次方程的一个实数根为 2,‎ ‎ ∴ .…………………………………………………… 1分 整理,得 . …………………………………………………… 2分 ‎(2)∵ ,‎ ‎ 无论p取任何实数,都有≥0,‎ ‎∴ 无论p取任何实数,都有 .‎ ‎ ∴ . ………………………………………………………………… 3分 ‎ ∴ 抛物线与x轴有两个交点.………………………… 4分 图5‎ ‎ (3)∵ 抛物线与抛物线 的对称轴相同,都为直线,且开口大小相同,‎ 抛物线可由抛物线 沿y轴方向向上平移一个单位得到,‎ ‎(如图5所示,省略了x轴、y轴)‎ ‎ ∴ EF∥MN,EF=MN=1.‎ ‎ ∴ 四边形FEMN是平行四边形. ………………5分 图6‎ 由题意得 .‎ 解得.………………………………………7分 ‎24.证明:(1)如图6.‎ ‎ ∵ 点B关于直线CH的对称点为D,‎ CH⊥AB于点H,‎ 直线DE交直线CH于点F,‎ ‎∴ BF=DF,DH=BH.…………………1分 ‎∴ ∠1=∠2.‎ 又∵ ∠EDA=∠A,∠EDA=∠1,‎ ‎∴ ∠A=∠2.‎ ‎∴ BF∥AC.……………………………………………………………… 2分 ‎(2)取FD的中点N,连结HM、HN.‎ ‎ ∵ H是BD的中点,N是FD的中点,‎ 图7‎ ‎∴ HN∥BF.‎ 由(1)得BF∥AC,‎ ‎∴ HN∥AC,即HN∥EM.‎ ‎∵ 在Rt△ACH中,∠AHC=90°,‎ AC边的中点为M,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ∠A=∠3.‎ ‎∴ ∠EDA=∠3.‎ ‎∴ NE∥HM.‎ ‎∴ 四边形ENHM是平行四边形.……………………………………… 3分 ‎∴ HN=EM.‎ ‎∵ 在Rt△DFH中,∠DHF=90°,DF的中点为N,‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ . ………………………………………………………… 4分 ‎(3)当AB=BC时,在未添加辅助线和其它字母的条件下,原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE. (只猜想结论不给分)‎ ‎ 证明:连结CD.(如图8)‎ ‎ ∵ 点B关于直线CH的对称点为D,CH⊥AB于点H,‎ 图8‎ ‎∴ BC=CD,∠ABC=∠5.‎ ‎ ∵ AB=BC,‎ ‎∴ ,‎ ‎ AB=CD.①‎ ‎∵ ∠EDA=∠A,‎ ‎∴ ,AE=DE.②‎ ‎∴ ∠ABC=∠6=∠5.‎ ‎∵ ∠BDE是△ADE的外角,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ∠A=∠4.③‎ ‎ 由①,②,③得 △ABE≌△DCE.………………………………………5分 ‎ ∴ BE= CE. ……………………………………………………………… 6分 ‎ 由(1)中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC.‎ ‎ 由(1)中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF.‎ ‎ ∴ ∠CFE=∠ECF.‎ ‎ ∴ EF=CE.‎ ‎ ∴ BE=EF. ……………………………………………………………… 7分 ‎ ∴ BE=EF=CE. ‎ ‎(阅卷说明:在第3问中,若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分)‎ 图9‎ ‎25.解:(1)∵ ,‎ ‎∴ 抛物线的对称轴为直线.‎ ‎∵ 抛物线与x轴交于 ‎ 点A、点B,点A的坐标为,‎ ‎∴ 点B的坐标为,OB=3.…………… 1分 可得该抛物线的解析式为.‎ ‎∵ OB=OC,抛物线与y轴的正半轴交于点C,‎ ‎∴ OC=3,点C的坐标为.‎ 将点C的坐标代入该解析式,解得a=1.……2分 ‎∴ 此抛物线的解析式为.(如图9)…………………… 3分 ‎ (2)作△ABC的外接圆☉E,设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F,设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点,点关于x轴的对称点为点,点、点均为所求点.(如图10)‎ ‎ 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上. ‎ ‎∵ 、都是弧AB所对的圆周角,‎ ‎∴ ,且射线FE上的其它点P都不满足.‎ 由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2.‎ 可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上.‎ ‎ ∴ 点E的坐标为.………………………………………………… 4分 ‎∴ 由勾股定理得 .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为.…………………………………………… 5分 由对称性得点的坐标为. ……………………………… 6分 ‎∴符合题意的点P的坐标为、.‎ ‎(3)∵ 点B、D的坐标分别为、,‎ 可得直线BD的解析式为,直线BD与x轴所夹的锐角为45°.‎ ‎∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为,(如图11)‎ 若设与∠AQB的平分线的交点为M,‎ 则有 ,,,Q,B,三点在一条直线上.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ‎ 作⊥x轴于点N.‎ ‎∵ 点Q在线段BD上, Q,B,三点在一条直线上,‎ ‎∴ ,.‎ ‎∴ 点的坐标为. ‎ ‎∵ 点Q在线段BD上,‎ ‎∴ 设点Q的坐标为,其中.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 由勾股定理得 .‎ 解得.‎ 经检验,在的范围内.‎ ‎∴ 点Q的坐标为. …………………………………………… 7分 图10‎ 图11‎ 此时.… 8分
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