陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测文科数学试题 Word版含解析

陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测文科数学试题 Word版含解析

西安市2020届高三年级第三次质量检测 文科数学 注意事项：‎ ‎1．本卷考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，‎ ‎1. 已知集合，，则的子集个数为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得，进而求得的子集个数.‎ ‎【详解】由得，故，其子集个数为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.‎ ‎2. 已知复数 （其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 复数 的共轭复数是.‎ - 18 -‎ 故选A.‎ ‎3. 已知向量，向量，则的值为（ ）‎ A. 17 B. 5 C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，再由向量模的坐标公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为向量，向量，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标公式即可，属于基础题型.‎ ‎4. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．‎ B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90‎ 众数分别为88，90，不相等，A错．‎ 平均数86，88不相等，B错．‎ 中位数分别为86，88，不相等，C错 A样本方差=4，标准差S=2，‎ B样本方差=4，标准差S=2，D正确 考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 ‎5. ‎ - 18 -‎ 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）‎ A. 7 B. 13 C. 16 D. 22‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎，，，,‎ 所以解下5个环所需的最少移动次数为16.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型.‎ ‎6. 已知，则下列关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.‎ ‎【详解】因为，，，所以，综上可得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数值为切线斜率，求得倾斜角，得到答案.‎ ‎【详解】，则，则倾斜角为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，导数的乘法运算，属于基础题.‎ ‎8. 函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先借用函数奇偶性排除两个选项，再利用某点处的函数值得到答案即可.‎ ‎【详解】解：函数是偶函数，排除选项B、C；‎ - 18 -‎ 当时，，对应点在第四象限，排除A．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图像与性质，是简单题.‎ ‎9. 已知直线，平面，给出下列命题：‎ ‎①若，且，则②若，且，则 ‎③若，且，则④若，且，则 其中正确的命题是（）‎ A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①②‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直，面面平行的判定定理判断即可得出答案．‎ ‎【详解】①若，则平面内必有一条直线使，又即，则，故正确．‎ ‎②若，且，与可平行可相交，故错误 ‎③若，即又，则，故正确 ‎④若，且，与可平行可相交，故错误 所以①③正确，②④错误 故选A ‎【点睛】本题考查面面垂直，面面平行的判定，属于基础题．‎ ‎10. 已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）‎ A. 5 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对 称，就是时，函数取得最值，求出a即可．‎ ‎【详解】函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，‎ 其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，‎ 故答案为D ‎【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．‎ ‎11. 已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.‎ ‎【详解】设点，则①．‎ 又，‎ ‎②．‎ 由①②得，‎ 即，‎ ‎，‎ 故选B．‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．‎ ‎12. 定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，方程g[f（x）]＝0解得个数不可能的是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象知有一个上的正根，结合图象可知根的个数.‎ ‎【详解】因为时，有唯一解，‎ 不妨设唯一解为，由图象可知，‎ 则由g[f（x）]＝0可得，‎ 因为，由图象可知，可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，数形结合思想，属于中档题.‎ 二、填空题（本题共4小题）‎ ‎13. 甲乙丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 求出甲乙丙总的站法，再求出甲站在中间的站法，利用古典概型求解即可.‎ ‎【详解】甲乙丙三名同学站成一排共有种不同的站法，‎ 其中甲站在中间共有种不同的站法，‎ 根据古典概型可得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列的应用，古典概型求概率，属于容易题.‎ ‎14. 设等差数列的前项和为，若，则_____．‎ ‎【答案】65‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出，再求即可.‎ ‎【详解】解：设的公差为，‎ ‎，即；‎ ‎.‎ 故答案为：65.‎ ‎【点睛】考查等差数列的性质和求前项和，基础题.‎ ‎15. 已知函数，的最小正周期是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 故答案为 - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎16. 如图，圆锥形容器的高为2圆锥内水面的高为1．若将圆锥形容器倒置，水面高为h．则h等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据水的体积不变列出方程解出h.‎ ‎【详解】设圆锥形容器的底面积为S,则未倒置前液面的面积为，水的体积，‎ 设倒置后液面面积为S',则，‎ ‎，‎ 水的体积为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥的平行底面的截面的性质，以及圆锥的体积计算问题，属于中档题.‎ - 18 -‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；‎ ‎（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数；‎ ‎（2）求高一参赛学生平均成绩．‎ ‎【答案】（1）众数：65；中位数：65；（2）67.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；‎ ‎（2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值．‎ ‎【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65，‎ 又因为第一个小矩形的面积为0.3，‎ 第二个小矩形的面积是0.4， ，所以中位数在第二组，‎ 设中位数为，则，解得：，‎ 所以中位数为65.‎ ‎（2）依题意，利用平均数的计算公式，‎ 可得平均成绩为：‎ ‎，‎ 所以参赛学生的平均成绩为67分．‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题．‎ ‎18. 在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设△ABC外接圆半径为R，且，求b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值．‎ ‎（2）由（1）可求，又由正弦定理得，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围．‎ ‎【详解】（1）因为，所以，即，‎ 所以，因为，所以 又因为，解得：.‎ ‎（2）因为，由正弦定理得，可得，‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎∵，∴，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ - 18 -‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．‎ ‎19. 如图，菱形边长为4，，为中点，将沿折起使得平面平面，与相交于点，是棱上的一点且满足.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设条件，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；‎ ‎（2）由平面与平面垂直的性质定理，得到平面，进而证得平面，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，可得，，所以.‎ 又因为，所以，‎ 又由平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由平面平面，平面平面，在菱形中，，所以，都是等边三角形，又为中点，所以 ‎，所以平面，‎ 因为，所以平面，‎ ‎ ‎ 所以四面体的体积：.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及三棱锥的体积的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，严密推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.‎ ‎20. 已知函数f（x）＝．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）令h（x）＝x2f（x），若对∀x≥1都有h（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值，无极小值（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，利用导数求函数单调区间，即可确定函数极值；‎ ‎（2）由题意，不等式可转化为对∀x≥1都成立，利用导数判定的单调性，求出的最小值即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）f（x）＝的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上有极大值 ‎（2），‎ 由对∀x≥1，都有h（x）≥ax﹣1可得：对∀x≥1，都有，‎ 即对∀x≥1都成立，‎ 令，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 18 -‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间、极值、最值，利用导数解决不等式恒成立问题，分离参数法，转化思想，属于中档题.‎ ‎21. 已知椭圆：（）的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆左焦点为，已知．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线（，）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆对称性得，可得的值，在根据离心率和椭圆的性质即可求出的值，进而求出椭圆方程；‎ ‎（2）直线与椭圆方程联立得，由于直线与椭圆有两个交点，可得；由于，设中点为，可得，根据垂直斜率的关系，由此可推导出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）∵设椭圆右焦点为，由椭圆对称性得，‎ ‎∴．‎ 又，∴，‎ ‎∴，‎ - 18 -‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由消去整理得：，‎ ‎∵直线与椭圆交于不同的两点，，‎ ‎∴，‎ 整理得．‎ 设，，‎ 则，‎ 又设中点的坐标为，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴实数的取值范围．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ - 18 -‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，设M（2，0），若|MP|+|MQ|＝4，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）曲线C的直角坐标方程：；直线l的参数方程为（为参数）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出直线l过定点，得出线l的的倾斜角，可得出其参数方程，直接应用极坐标方程化直角坐标方程的公式,可得出答案. （2）将直线l的参数方程代入圆的方程得：,利用直线参数方程中的几何意义可得出答案.‎ ‎【详解】（1）由，即，得.‎ 由直线l的方程为，‎ 则,又，所以直线l的的倾斜角为，‎ 又直线l过定点，则直线l的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）设P，Q两点在直线l的参数方程中的对应参数分别为.‎ 将直线l的参数方程代入圆的方程得：‎ 所以 则 - 18 -‎ 即，由，则 所以，即，所以直线l的斜率为 ‎【点睛】本题考查直线的普通方程化为参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数，，且．‎ ‎（1）若函数的最小值为，试证明点在定直线上；‎ ‎（2）若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）点在定直线上，证明过程见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据绝对值三角不等式，得到，根据题意，得到，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，化不等式为，求解，得到，推出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，‎ ‎，‎ 当且仅当时，取等号；‎ 又函数的最小值为，，所以，‎ 即点在定直线；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 当时，不等式可化为，‎ 整理得：，解得：，‎ - 18 -‎ 由题意，可得：，‎ 则，解得：，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.‎ - 18 -‎