2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§10-1　计数原理与排列、组合（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§10-1　计数原理与排列、组合（试题部分）

专题十　计数原理 ‎【考情探究】‎ 课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、计数原理、排列、组合 ‎1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理 ‎(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.‎ ‎2.排列与组合 ‎(1)理解排列、组合的概念.‎ ‎(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.‎ ‎(3)能解决简单的实际问题.‎ 从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查.‎ ‎1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项.‎ ‎2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.‎ ‎1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.‎ ‎2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项Tr+1=Cnran-rbr,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.‎ 二、二项式定理 ‎1.能用计数原理证明二项式定理.‎ ‎2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.‎ ‎【真题探秘】‎ ‎§10.1　计数原理与排列、组合 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点　计数原理、排列、组合 ‎1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为(　　)‎ A.60　　　B.96　　　C.48　　　D.72‎ 答案　C ‎2.在我国第一艘航空母舰“辽宁舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为(　　)‎ A.24　　　B.36　　　C.48　　　D.96‎ 答案　C ‎3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有(　　)‎ A.34种　　　B.48种　　　C.96种　　　D.144种 答案　C ‎4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有(　　)‎ A.72种　　　B.36种　　　C.24种　　　D.18种 答案　B ‎5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(　　)‎ A.480种　　　B.360种　　　C.240种　　　D.120种 答案　C ‎6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有(　　)‎ A.A‎6‎‎2‎×A‎5‎‎4‎种　　　　　B.A‎6‎‎2‎×54种 C.C‎6‎‎2‎×A‎5‎‎4‎种　　　　　D.C‎6‎‎2‎×54种 答案　D ‎7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有　　　　种. ‎ 答案　180‎ ‎8.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为　　　　. ‎ 答案　12‎ 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　排列、组合问题的解题方法 ‎1.(2019重庆万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有(　　)‎ A.42种　　　B.14种　　　C.12种　　　D.24种 答案　D ‎2.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有(　　)‎ A.250个　　　　　B.249个　　　‎ C.48个　　　　　D.24个 答案　C ‎3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(　　)‎ A.18种　　　B.24种　　　C.48种　　　D.36种 答案　B ‎4.(2019甘肃嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为　　　　. ‎ 答案　60‎ ‎5.(2020届广东广州执信中学10月月考,14)有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有　　　　个. ‎ 答案　14‎ 考法二　分组分配问题的解题方法 ‎6.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有(　　)‎ A.90种　　　B.180种　　　C.270种　　　D.360种 答案　B ‎7.(2019广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有(　　)‎ A.72种　　　B.108种　　　C.180种　　　D.360种 答案　C ‎8.(2018甘肃张掖一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有(　　)‎ A.60种　　　　　B.90种 C.150种　　　　　D.120种 答案　B ‎9.(2020届福建厦门一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到厦门“两日游”,若他们不同一天出现在厦门,则他们出游的不同方案共有(　　)‎ A.16种　　　B.18种　　　C.20种　　　D.24种 答案　C ‎【五年高考】‎ 考点　计数原理、排列、组合 ‎1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(　　)‎ A.12种　　　B.18种　　　C.24种　　　D.36种 答案　D ‎2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A.24　　　B.18　　　C.12　　　D.9‎ 答案　B ‎3.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A.144个　　　B.120个　　　C.96个　　　D.72个 答案　B ‎4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A.18个　　　B.16个　　　C.14个　　　D.12个 答案　C ‎5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　种.(用数字填写答案) ‎ 答案　16‎ ‎6.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答) ‎ 答案　1 080‎ ‎7.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有　　　　种不同的选法.(用数字作答) ‎ 答案　660‎ ‎8.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答) ‎ 答案　1 560‎ 教师专用题组 考点　计数原理、排列、组合 ‎1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有(　　)‎ A.60种　　　B.70种　　　C.75种　　　D.150种 答案　C ‎2.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A.72　　　B.120　　　C.144　　　D.168‎ 答案　B ‎3.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A.24对　　　B.30对　　　C.48对　　　D.60对 答案　C ‎4.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为(　　)‎ A.60　　　B.90　　　C.120　　　D.130‎ 答案　D ‎5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A.144　　　B.120　　　C.72　　　D.24‎ 答案　D ‎6.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(　　)‎ A.192种　　　B.216种　　　C.240种　　　D.288种 答案　B ‎7.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有　　　　种(用数字作答). ‎ 答案　60‎ ‎8.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有　　　　种. ‎ 答案　36‎ ‎9.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.‎ ‎(1)求f3(2), f4(2)的值;‎ ‎(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).‎ 解析　本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2.‎ 对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.‎ 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.‎ ‎(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.‎ 为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.‎ 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.‎ 当n≥5时, fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n‎2‎‎-n-2‎‎2‎.‎ 因此,当n≥5时, fn(2)=n‎2‎‎-n-2‎‎2‎.‎ 疑难突破　要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn(2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n≥5)的表达式.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、单项选择题(每题5分,共50分)‎ ‎1.(2020届九师联盟9月质量检测,8)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)‎ A.2 100　　　B.2 200　　　C.2 160　　　D.2 400‎ 答案　C ‎2.(2020届湖南长沙一中第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有(　　)‎ A.50种　　　B.60种　　　C.70种　　　D.90种 答案　C ‎3.(2020届广东深圳七中第二次月考,4)7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有(　　)‎ A.480种　　　B.720种　　　C.960种　　　D.1 200种 答案　C ‎4.(2020届湖北洪湖二中月考,9)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有 ‎“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有(　　)‎ A.192种　　　B.240种　　　C.432种　　　D.528种 答案　C ‎5.(2018全国百所名校冲刺卷(四),8)航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(　　)‎ A.34种　　　B.48种　　　C.96种　　　D.144种 答案　C ‎6.(2019衡水金卷先享题二,8)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭进行问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为(　　)‎ A.36　　　B.72　　　C.24　　　D.48‎ 答案　A ‎7.(2019河南郑州一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有(　　)‎ A.6种　　　B.9种　　　C.12种　　　D.36种 答案　C ‎8.(2018黑龙江哈六中二模,9)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为(　　)‎ A.48　　　B.72　　　C.90　　　D.96‎ 答案　D ‎9.(2019江西南昌模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为(　　)‎ A.12　　　B.24　　　C.36　　　D.48‎ 答案　D 二、多项选择题(共5分)‎ ‎10.(改编题)下列说法正确的是(　　)‎ A.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,不同的放法有A‎8‎‎5‎种 B.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子放球数量不限,不同的放法有85种 C.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,则不同的放法有C‎8‎‎5‎种 D.8个相同的小球,放入5个不同的盒子中,每盒不空的放法有C‎8‎‎4‎种 答案　ABC 三、填空题(每题5分,共15分)‎ ‎11.(2020届山东夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有　　　　种. ‎ 答案　36‎ ‎12.(2020届山东寿光现代中学10月月考,14)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间.每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为　　　　. ‎ 答案　36‎ ‎13.(2019河北衡水中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有　　　　个. ‎ 答案　120‎ ‎14.(2020届浙江东阳中学10月月考,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有　　　　种;其中学生甲被单独安排去金华的概率是　　　　. ‎ 答案　150;‎‎7‎‎75‎