高考数学一二轮复习微专题理科数列通项公式的常用方法

高考数学一二轮复习微专题理科数列通项公式的常用方法

‎2016年高考数学微专题 求数列通项的常用方法 一、 高考考纲要求 ‎（1）数列的概念和简单表示法 ‎①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。‎ ‎②了解数列是自变量为正整数的一类函数。‎ ‎（2）等差数列、等比数列 ‎①理解等差数列、等比数列的概念。‎ ‎②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。‎ ‎③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。‎ ‎④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。‎ 二、 知识点解析 ‎1．数列的定义、分类与通项公式 ‎(1)数列的定义：‎ ‎①数列：按照一定顺序排列的一列数．‎ ‎②数列的项：数列中的每一个数．‎ ‎ (2)数列的通项公式：‎ 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．‎ 3． 求通项的方法 ‎（1）由数列的前几项求数列的通项公式.‎ ‎（2）由an与Sn的关系求通项an，公式法：an＝ ‎（3）由递推关系式求数列的通项公式 三、知识点精讲 方法一：由数列的前几项求数列的通项公式 例一、1.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)‎ A．an＝1　　　　　　　 　B．an＝ C．an＝2－ D．an＝ 解析：选C　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….‎ ‎2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)4,6,8,10，…；‎ ‎(2)－，，－，，…；‎ ‎(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；‎ ‎(4)9,99,999,9 999，….‎ 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×.‎ ‎(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝ ‎(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.‎ 方法二：由an与Sn的关系求通项an 例二、已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：‎ ‎(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.‎ ‎[解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)a1＝S1＝3＋b，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.‎ 当b＝－1时，a1适合此等式．‎ 当b≠－1时，a1不适合此等式．‎ ‎∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；‎ 当b≠－1时，an＝ 训练：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*，求{an}的通项公式．‎ 解：由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，‎ 解得a1＝1或a1＝2，‎ 由已知a1＝S1>1，因此a1＝2.‎ 又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)·(an＋2)，‎ 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.‎ 因为an>0，故an＋1＝－an不成立，舍去．‎ 因此an＋1－an－3＝0.‎ 即an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.‎ 方法三：累乘法 ‎　形如an＋1＝anf(n)，求an 例三．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 即＝.‎ ‎∴an＝a1·····…··· ‎＝1·····…··· ‎＝(n≥2)‎ 当n＝1时，a1＝1.‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎ 方法四：累加法　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 例四．已知a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an.‎ 解：∵an＋1－an＝3n＋2，‎ ‎∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，‎ ‎∴an＝n2＋.‎ 方法五构造法　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 例五．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.‎ 解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，‎ ‎∴an＝2·3n－1－1.‎ 四、 高考试题精练 一、选择题 ‎1.(2016·太原模拟)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)‎ A. B.cos C.cos π D.cos π 解析　令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.‎ 答案　D ‎2.(2016·黄冈模拟)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A. B. C.4 D.0‎ 解析　∵an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.‎ 答案　D ‎3.(2016·黄冈模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A.an＝2n－3 B.an＝2n＋3‎ C.an＝ D.an＝ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C.‎ 答案　C ‎4.数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ 解析　依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.‎ 答案　D ‎5.(2015·石家庄二模)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝(　　)‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ 解析　由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.(2016·上海模拟)在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.‎ 解析　由题意知a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，‎ ‎∴an＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.‎ 答案　 ‎7.(2016·潍坊一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.‎ 解析　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴＝－.‎ ‎∴数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝.‎ 答案　 ‎8.(2015·太原二模)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________.‎ 解析　由已知得－＝n，‎ ‎∴－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，‎ ‎∴－＝，∴＝，∴an＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；‎ ‎(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；‎ ‎(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln.‎ 解　(1)∵an＋1＝3an＋2，‎ ‎∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，‎ ‎∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.‎ ‎(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.‎ ‎∴＝n，＝n－1，‎ ‎……‎ ＝3，＝2，a1＝1.‎ 累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.‎ 故an＝n！.‎ ‎(3)∵an＋1＝an＋ln，‎ ‎∴an＋1－an＝ln＝ln.‎ ‎∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，‎ ‎……‎ a2－a1＝ln，‎ ‎∴an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln n.‎ 又a1＝2，∴an＝ln n＋2.‎ ‎10.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.‎ ‎(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围.‎ 解　(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，‎ 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，‎ 又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，‎ 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，‎ 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，‎ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2‎ ‎＝2n－2，‎ 当n≥2时，an＋1≥an⇔12·＋a－3≥0⇔a≥－9.‎ 又a2＝a1＋3>a1.‎ 综上，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞).‎