高考数学考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件

高考数学考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件

1 考点 02 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲原文 （1）理解命题的概念. （2）了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. （3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 知识整合 一、命题及其关系 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题， 判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 若 q，则 p 否命题 若 ，则 逆否命题 若 ，则 (2)四种命题间的关系 (3)常见的否定词语 正面词语 = >(<) 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有 1(n)个 至少有 1 个 p q q p 2 否定词 ( ) 不是 不都是 某个 某两个 至少有 2(n+1)个 1 个也没有 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念 (1)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； (2)若 p⇒q 且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件； (3)若 p q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件； (4) 若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； (5) 若 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 2．必记结论 (1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ①p 是 q 的充分不必要条件 是 的充分不必要条件； ②p 是 q 的必要不充分条件 是 的必要不充分条件； ③p 是 q 的充要条件 是 的充要条件； ④p 是 q 的既不充分也不必要条件 是 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则 ①若 ，则 p 是 q 的充分条件； ②若 ，则 p 是 q 的必要条件； ③若 ，则 p 是 q 的充分不必要条件； ④若 ，则 p 是 q 的必要不充分条件； ⑤若 ，则 p 是 q 的充要条件； ⑥若 且 ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.    / / / /  q p  q p  q p  q p A B B A A B B A A B A B B A 3 重点考向 考向一 四种命题的关系及其真假的判断 四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往 会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法 ①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条 件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法 ①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例 即可． ②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. 典例引领 典例 1 命题 若 ，则 ； 是 的逆命题，则 A． 真， 真 B． 真， 假 C． 假， 真 D． 假， 假 【答案】C 变式拓展 1．已知命题 “若 为任意的正数，则 ”，则能够说明 是假命题的一组正数 的值依次为 :p 0x   ln 1 0x   q p p q p q p q p q 4 __________． 典例引领 典例 2 命题“若 ，则 ”的逆否命题是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【解析】命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”，故命题“若 ，则 ”的逆否命题是 若 ，则 ，故选 C． 【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题 及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆 否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定． 变式拓展 2．下列说法正确的是 A．“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B．“若 ，则 ”的逆命题为真命题 C． ，使 成立 D．“若 ，则 ”是真命题 考向二 充分、必要条件的判断 充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常 与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法 设“若 p，则 q”为原命题，那么： (1)原命题为真，逆命题为假时，则 p 是 q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则 p 是 q 的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则 p 是 q 的充要条件； π 2  sin 1  π 2  sin 1  π 2  sin 1  sin 1  π 2  sin 1  π 2  p q q p π 2  sin 1  sin 1  π 2  1a  2 1a  1a  2 1a  2 2am bm a b  0 0,x   0 03 4x x 1sin 2  π 6  5 (4)当原命题与逆命题都为假时，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论） 变式拓展 典例 3 设 是两条不同的直线， 是平面， 则 是 成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若 ，则 是 的充分条件，若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件；从集合的角度看，若 ，则 是 的充分条件， 若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 的充要条件，若 是 的真子集，则 是 的充 分而不必要条件，若 是 的真子集，则 是 的必要而不充分条件． 变式拓展 3．“ ”是“ ”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 典例引领 典例 4 若条件 ，且 是 的充分不必要条件，则 可以是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若 是 的充分不必要条件，则区间 是 q 的真子集，本题选 B. p q p q q p p q p q p q A B A B B A A B A B A B A B A B B A A B : 1p x  p q q 1x  0x  2x  1 0x   p q  1, 6 【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项； 其次，利用以小推大的技巧，即可得结论． 变式拓展 4．若 ，则“ ”的一个充分不必要条件是 A． B． C． 且 D． 或 考向三 充分、必要条件的应用 充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下： 1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式（组）求解. 2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取 值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 典例引领 典例 5 设 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范 围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 对应的集合为 ， 对应的集合为 ， ∵ 是 的必要不充分条件，∴ 或 ，解得 或 ，故选 D． 变式拓展 5．已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是 A． B． C． D． 考点冲关 3 4: 02 x xp x   7 1．命题 ：“若 ，则 且 ”的逆否命题是 A．若 且 ，则 B．若 且 ，则 C．若 或 ，则 D．若 或 ，则 2．若 ， 都是正整数，则 成立的充要条件是 A． B． ， 至少有一个为 1 C． D． 且 3．设 ，则使 成立的必要不充分条件是 A． B． C． D． 4．下列关于命题的说法正确的是 A．命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B．命题“若 ，则 互为相反数”的逆命题是真命题 C．命题“ ”的否定是“ ” D．命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题 5．已知命题 : “关于 的方程 有实根”,若非 为真命题的充分不必要条件为 ,则 实数 的取值范围是 A． B． C． D． 6．若原命题为：“若 为共轭复数，则 ”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断 依次为 A．真真真 B．真真假 C．假假真 D．假假假 7．设 都是非零向量，下列四个条件，使 成立的充要条件是 A． B． C． 且 D． 且方向相同 p a b 2012a b  a b  2012a b  a b  a b 2012a b  a b  a b 2012a b  a b  a b 2012a b  a b  a b p x 2 4 0x x a   p 3 1a m  m  1,  1,  ,1  ,1 1 2,z z 1 2z z ,a b a b a b a b 2a b ∥a b a b ∥a b 8 8 ． 已 知 函 数 ， 且 给 定 条 件 “ ” ， 条 件 “ ”，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 9．命题:若 ，则 ，其否命题是___________.@网 10．命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 恒成立.若 的逆命题、 的 逆否命题都是真命题，则实数 的取值范围是__________． 直通高考 1．（2018 浙江）已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2018 天津理科）设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2017 北京理科）设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2016 上海理科）设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2018 北京理科）能说明“若 f（x）>f（0）对任意的 x∈（0，2］都成立，则 f（x）在［0，2］上是增函 数”为假命题的一个函数是__________． 参考答案 变式拓展 1．【答案】 （只要填出 ， 的一组正数即可）   2 π4sin 2 3 cos2 14f x x x       :p π π 4 2x  :q   2f x m  p q m  3,5  3,5  2,4  2,4 p 0x  x a q 2m a   sinm x x R p q a   xR 1 1| |2 2x   3 1x   m n 0<m n aR 1a 12 a 9 【解析】由 可得 ，能够说明 是假命题的一组 正数 的值，只需不满足不等式 的一组正数 的值即可，故答案不唯一，可取 1,2,3. 2．【答案】D 3．【答案】C 【解析】 . . 则“ ”是“ ”的充分不必要条件．故选 C． 4．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号. 故“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.选 C. 5．【答案】B 【解析】由条件 ,解得 或 ;因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必 要条件，有 ，故选 B. 考点通关 1．【答案】C 【解析】根据逆否命题的写法可得命题 ：“若 ，则 且 ”的逆否命题是“若 或 ，则 ”.故选 C. 2．【答案】B 【解析】 ,当 时,不等式成立,故排除 A,C,D 三个选项,所以选 B. p a b 2012a b  a b  2012a b  a b  a b 10 4．【答案】B 【解析】逐一分析所给命题的真假： 对于 A，命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，题中说法错误； 对于 B，命题“若 ，则 互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确； 对于 C，命题“ ”的否定是“ ”，题中说法错误； 对于 D，命题“若 ，则 ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误. 故选 B. 5．【答案】A 【解析】由命题 ：“关于 的方程 有实根”，得 ，则 ，所以非 为真命题时， .又 是 的充分不必要条件，所以 ，即 ，则 m 的取值 范围为 .所以选 A. 6．【答案】C 【解析】设 ，则 ，则 ，所以原命题为真命题，故其 逆否命题为真命题.原命题的否命题为“若 不互为共轭复数，则 ”，因为 和 不互为共轭复数，但 ，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题.故 选 C. 7．【答案】D 【解析】 表示与 方向相同的单位向量，因此 成立的充要条件是 与 同向即可，故选 D． p x 2 4 0x x a   16 4 0a    4a  p 4a  3 1a m  4a  3 1 4m   1m   1, 1 i( , )z a b a b  R 2 iz a b  2 2 1 2z z a b   1 2,z z 1 2z z 1 1 2 2iz   2 2 5iz   1 2 3z z  a a a a b a b a b 11 9．【答案】若 ，则 【解析】根据否命题的定义，原命题为：若 ，则 ，则否命题为：若 ，则 . 10．【答案】 【解析】命题 的逆命题：若 ，则 ，该命题是真命题，则 ．命题 的逆否命题为真 命题，故原命题为真命题，则 ， .故实数 的取值范围是 . 直通高考 1．【答案】A 【解析】因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .由 不能得出 与 内任一直 线平行，所以 是 的充分不必要条件，故选 A. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的 充分条件． （2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是 否定式的命题，一般运用等价法． （3）集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件． 2．【答案】A 【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知 是 的充分而不必要条件.故选 A. 【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化  0,1 p x a 0x  0a  q 2 1a    1a  a [0 1， 12 能力和计算求解能力. 3．【答案】A 【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么 ；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向， 即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选 A.=网 0  m n ,m n 180 cos180 0     m n m n m n 0 m n  90 ,180   m n