人教版高中数学选修2-3练习：第三章3-1第2课时残差分析word版含解析

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第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 第 2 课时 残差分析 A 级 基础巩固 一、选择题 1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A，B 两变量的线性相关性做 实验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表 所示： 分类 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性 ( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：r 越接近 1，相关性越强，残差平方和 m 越小，相关性越强， 所以选 D 正确． 答案：D 2．为了表示 n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的 表示法为( ) 解析：由回归直线方程 可知，为一个量的估计值，而 yi 为它的实际值，在最小二乘估计中（yi－a－bxi）2，即（yi－ ）2. 答案：C 3.甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A，B 两变量进行回归分析，分 别得到散点图与残差平方和 如下表所示： 分类 甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 哪位同学的试验结果体现拟合 A，B 两变量关系的模型拟合精度 高（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀， 同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据，R2 的表达式中 为确定的数，则残差平方和越小，R2 越大)，由回归分 析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些． 答案：D 4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确 的是( ) A．第四个 B．第五个 C．第六个 D．第八个 解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不 准确． 答案：C 5．如图所示，5 个(x，y)数据，去掉 D(3，10)后，下列说法错误 的是( ) A．相关系数 r 变大 B．残差平方和变大 C．相关指数 R2 变大 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 解析：由散点图知，去掉 D 后，x 与 y 的相关性变强，且为正相 关，所以 r 变大，R2 变大，残差平方和变小． 答案：B 二、填空题 6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足 yi＝bxi ＋a＋ei(i＝1，2，…， n)，且 ei 恒为 0，则 R2 为________． 解析：由 ei 恒为 0，知 yi＝y ^ i，即 yi－y ^ i＝0， 答案：1 7．x，y 满足如下表的关系： x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5 3.2 3.98 4.82 则 x，y 之间符合的函数模型为________． 解析：通过数据发现 y 的值与 x 的平方值比较接近，所以 x，y 之 间的函数模型为 y＝x2. 答案：y＝x2 8．关于 x 与 y，有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 有如下的两个模型：(1)y ^＝6.5x＋17.5；(2)y ^＝7x＋17.通过残差分 析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则 R21________R22， Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q 分别是相关指数和残差平 方和)． 解析：根据相关指数和残差平方和的意义知 R21＞R22，Q1＜Q2. 答案：＞ ＜ 三、解答题 9．在实验中得到变量 y 与 x 的数据如下表所示： x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 由经验知，y 与1 x 之间具有线性相关关系，试求 y 与 x 之间的回归 曲线方程，并预测 x0＝0.038 时，y0 的值． 解：令 u＝1 x ，由题目所给数据可得下表所示的数据： 序号 ui yi u2i uiyi 1 15.0 39.4 225 591 2 25.8 42.9 665.64 1 106.82 3 30.0 41.0 900 1 230 4 36.6 43.1 1 339.56 1 577.46 5 44.4 49.2 1 971.36 2 184.48 合计 151.8 215.6 5 101.56 6 689.76 计算得b ^＝0.29，a ^＝34.32. 所以y ^＝34.32＋0.29u. 所以试求回归曲线方程为y ^＝34.32＋0.29 x . 当 x0＝0.038 时，y0＝34.32＋0.29 0.38 ≈41.95. 10．关于 x 与 y 有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知 x 与 y 线性相关，由最小二乘法得b ^＝6.5. (1)求 y 与 x 的线性回归方程； (2)现有第二个线性模型：y ^＝7x＋17，且 R2＝0.82.若与(1)的线性 模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． 解：(1)依题意设 y 与 x 的线性回归方程为y ^＝6.5x＋a ^ . — x ＝2＋4＋5＋6＋8 5 ＝5，— y ＝30＋40＋60＋50＋70 5 ＝50，因为y ^ ＝6.5x＋a ^经过(— x ，— y )，所以 y 与 x 的线性回归方程为y ^＝6.5x＋17.5 . 所以 50＝6.5×5＋a ^ .所以a ^＝17.5. (2)由(1)的线性模型得 yi－yi 与 yi－— y 的关系如下表所示： yi－yi －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－— y －20 －10 10 0 20 由于 R21＝0.845，R2＝0.82 知 R21＞R2，所以(1)的线性模型拟合效 果比较好． B 级 能力提升 1．在研究身高和体重的关系时，得到的结论是“身高解释了 64% 的体重变化，而随机误差贡献了剩余的 36%，所以身高对体重的效应 比随机误差的效应大得多”，则求得的相关指数 R2≈( ) A．0.36 B．0.64 C．0.32 D．0.18 解析：根据相关指数的意义知 R2≈0.64. 答案：B 2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为 89，其相关指数为 0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________． 解析：因为 R2＝1－ 残差平方和 总偏差平方和， 0．95＝1－ 89 总偏差平方和，所以总偏差平方和为 1 780；回归平方 和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691. 答案：1 780 1 691 3．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下： 次数 x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩 y 30 34 37 39 42 46 48 51 (1)作出散点图； (2)求出回归方程； (3)作出残差图； (4)计算相关指数 R2； (5)试预测该运动员训练 47 次及 55 次的成绩． 解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所 示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． (2)— x ＝39.25，— y ＝40.875, ＝ 13 180， a ^＝— y －b ^— x ＝－0.003 88. 所以回归方程为y ^＝1.0415x－0.003 88. (3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平 带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)计算得相关指数 R2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有 98.55%是由训练次数引起的． (5)由上述分析可知，我们可用回归方程y ^＝1.041 5x－0.003 88 作 为该运动员成绩的预报值． 将 x＝47 和 x＝55 分别代入该方程可得 y≈49 和 y≈57. 故预测该运动员训练 47 次和 55 次的成绩分别为 49 和 57.