【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案

第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 ‎[深研高考·备考导航]　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 为教师备课、授课提供丰富教学资源 ‎[五年考情]‎ 考点 ‎2016年 ‎2015年 ‎2014年 ‎2013年 ‎2012年 计数原理、排列组合 ‎9,5分(理) ‎ ‎14,4分(理)‎ ‎14,4分(理)‎ ‎6,5分(理)‎ 二项式定理 ‎5,5分(理)‎ ‎11,4分(理)‎ ‎14,4分(理)‎ 随机事件的概率与古典概型 ‎12,4分(理)‎ ‎19(1)，7分(理) ‎ ‎12,4分(文)‎ ‎19(1)，7分(理) ‎ ‎12,4分(文)‎ 条件概率、二项分布、离散型随机变量的分布列、均值与方差 ‎9,5分(理) ‎ ‎12,4分(理)‎ ‎19(2)，7分(理)‎ ‎19(2)，7分(理)‎ ‎[重点关注]‎ 综合近5年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查排列组合，二项式定理、随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差．主要考查对基础知识与基本方法的应用意识，考查转化与化归思想及运算求解能力．‎ 第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)‎ ‎(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)‎ ‎(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)‎ ‎(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　)‎ A．30　　　 B．20　　　‎ C．10　　　 D．6‎ D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]‎ ‎3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)‎ A．30个 B．42个 ‎ C．36个 D．35个 C　[∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，‎ 由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]‎ ‎4．如图911，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ 图911‎ A．24 B．18 ‎ C．12 D．9‎ B　[分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．]‎ ‎5.现有4种不同的颜色要对如图912所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．‎ 图912‎ ‎48　[按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．]‎ 分类加法计数原理 ‎　‎ ‎(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)‎ A．4种　　　 B．6种　　　‎ C．10种　　　 D．16种 ‎(2)(2017·杭州二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)‎ A．14 B．13 ‎ C．12 D．10‎ ‎(1)B　(2)B　[(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，‎ 同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法．‎ 由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．‎ ‎(2)①当a＝0时，有x＝－，b＝－1,0,1,2，有4种可能；‎ ‎②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，‎ ‎(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；‎ ‎(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；‎ ‎(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．‎ ‎∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13个．]‎ ‎[规律方法]　1.第(2)题常见的错误：‎ ‎(1)想当然认为a≠0；‎ ‎(2)误认为a≠b.‎ ‎2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．‎ ‎(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．‎ ‎(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．‎ ‎[变式训练1]　从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)‎ A．3　 B．‎4　‎　　　　‎ C．6　　　　　 D．8‎ D　[以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.‎ 以4为首项的等比数列为4,6,9.‎ 把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，‎ ‎∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个．]‎ 分步乘法计数原理 ‎　(1)(2017·浙江舟山模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有(　　) 【导学号：51062322】‎ A．C·45种　　 B．A·54种 C．C·A种 D．C·54种 ‎(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．‎ ‎(1)D　(2)120　[(1)有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，‎ 故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种．‎ ‎(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120种．]‎ ‎[规律方法]　1.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．‎ ‎2．在第(1)题中，除仅有两个年级选择甲博物馆外，其余4个年级易错误认为有45种选择方法．导致错选A项．‎ ‎[变式训练2]　(1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________．‎ ‎(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________．(用数字作答)‎ ‎(1)10　(2)8　[(1)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，‎ ‎∴x有2种取法，y有5种取法，‎ 由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10个．‎ ‎(2)第1步把甲、乙分到不同班级有A＝2种分法．‎ 第2步分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种分法，②丙、丁分到两个不同的班级有A＝2种分法．‎ 由计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8种．]‎ 两个计数原理的综合应用 ‎　(1)(2017·杭州调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A＝20种，又与相同，与相同，‎ ‎∴lg a－lg b的不同值的个数为A－2＝18.]‎ 二、填空题 ‎7．(2016·杭州模拟)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“‎102”‎，“‎546”‎为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个. 【导学号：51062325】‎ ‎8　[十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．]‎ ‎8．从8名女生，4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种. 【导学号：51062326】‎ ‎112　[从男生中抽1人有4种方法，从女生中抽2人有C＝28种方法，‎ 由分步乘法计数原理，共有28×4＝112种方法．]‎ ‎9．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．‎ ‎75　[由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC＝75种．]‎ ‎10.如图914所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________个．‎ 图914‎ ‎420　[先染顶点S，有5种染法，再染顶点A，有4种染法，染顶点B，有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×‎ ‎3＋5×4×3×2×2＝420(种)染色方法．]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式 ‎(　　)‎ A．24 B．14 ‎ C．10 D．9‎ B　[第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，‎ 第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，‎ 由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式．]‎ ‎2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　)‎ A．32个 B．34个 ‎ C．36个 D．38个 A　[将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．]‎ ‎3．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．‎ ‎12　[当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，‎ 由分类加法计数原理知共有“好数”C＋CC＝12个．]‎ ‎4．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…999.则 ‎(1)4位回文数有________个；‎ ‎(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个. 【导学号：51062327】‎ ‎(1)90　(2)9×10n　[(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．‎ ‎(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有9×10n种填法．]‎