【数学】2019届一轮复习全国通用版第61讲条件概率、n次独立重复试验与二项分布学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版第61讲条件概率、n次独立重复试验与二项分布学案

第61讲　条件概率、n次独立重复试验与二项分布 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．‎ ‎2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，13‎ ‎2016·四川卷，12‎ 主要考查对事件独立性的辨识能力和根据相关概型运用公式进行计算的能力.‎ 分值：5分 ‎1．条件概率 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝____为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．‎ ‎(2)性质：①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝__P(B|A)＋P(C|A)__．‎ ‎2．事件的相互独立性 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝__P(A)·P(B)__，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝__P(B)__，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__P(A)·P(B)__．‎ ‎②如果事件A与B相互独立，那么__A与__，__与B__，__与__也都相互独立．‎ ‎3．独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 在__相同__条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. Ai (i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A‎1A2A3…An)＝__P(A1)P(A2)…P(An)__．‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作__X～B(n，p)__，并称p为__成功概率__．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝__Cpk(1－p)n－k__(k＝0，1,2，…，n)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)‎ ‎(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．　(　×　)‎ ‎(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)‎ ‎(4)若条件A与B独立，则A与，与B，与不一定相互独立．(　×　)‎ ‎(5)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(　√　)‎ ‎(6)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　√　)‎ ‎(7)在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为Cpk.(　×　)‎ ‎2．一张储蓄卡的密码共有6个数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字但记得是偶数，则不超过2次就按对的概率为____.‎ 解析 由题意知，此人在按最后一位数字时，有“0,2,4,6,‎8”‎5种可能，所以此人按前两次的所有基本事件有n＝A＝20(个)，不超过2次就按对的基本事件为m＝CA＝8(个)，故P＝＝＝.‎ ‎3．由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝____.‎ 解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.‎ ‎4．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是0.6，则至少有一人投中的概率为__0.84__.‎ 解析 由题意可得，甲、乙未投中的概率均为1－0.6＝0.4，故甲、乙两人分别进行一次投篮均未投中的概率＝0.4×0.4＝0.16，故所求概率P＝1－＝0.84.‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝__1.96__.‎ 解析 依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.‎ 一　条件概率 条件概率的两种求解方法 ‎(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)．‎ ‎(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎【例1】 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　A　)‎ A．0.8　　 B．‎0.75　‎　‎ C．0.6　　 D．0.45‎ ‎(2)(2018·湖北黄冈调考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A是“取到的两数之和为偶数”，事件B是“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　B　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． ‎(3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝____.‎ 解析 (1)根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8.‎ ‎(2)P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎(3)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝＝＝，事件AB表示“豆子落在 ‎△EOH内”，则P(AB)＝＝＝.故P(B|A)＝＝＝.‎ 二　事件的独立性 求相互独立事件同时发生的概率的方法：‎ ‎(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．‎ ‎【例2】 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度，不超过‎22千米的地铁票价如下表.‎ 乘坐里程x/km ‎0

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