4月松江区中考数学二模试卷及答案

4月松江区中考数学二模试卷及答案

2017 年松江区初中毕业生学业模拟考试 初三数学 （满分 150 分，完卷时间 100 分钟） 2017.4 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1． 8 的绝对值是（ ） （A） 8 ； （B）8 ； （C） 8 1 ； （D） 8 1 ． 2．下列运算中，计算结果正确的是（ ） （A）3( 1) 3 1a a   ； （B） 2 2 2( )a b a b   ； （C） 6 3 2a a a  ； （D） 3 2 6(3 ) 9a a ． 3．一组数据 2，4，5，2，3 的众数和中位数分别是（ ） （A）2，5； （B）2，2； （C）2，3； （D）3，2． 4．对于二次函数   31 2  xy ,下列说法正确的是（ ） （A）图像开口方向向下； （B）图像与 y 轴的交点坐标是（0，-3）； （C）图像的顶点坐标为（1，-3）； （D）抛物线在 x＞-1 的部分是上升的． 5．一个正多边形内角和等于 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） （A）72°； （B）60°； （C）108°； （D）90°. 6．下列说法中正确的是（ ） （A）有一组邻边相等的梯形是等腰梯形； （B）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； （C）有一组对角互补的梯形是等腰梯形； （D）有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算： 12 =________． 8．函数 3 1  xy 的定义域是 ． 9．方程 213 x 的根是 ． 10．关于 x 的方程 022  kxx 有两个相等的实数根，那么 k 的值为 ． 11．在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的 2 个红球、3 个白球和 4 个黑球，从中随机 摸出一个球，摸到的球是红球的概率是_________． 12．已知双曲线 x my  1 ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为_________． 13．不等式组 3 0 1 0 x x      的解集是 ． 14．为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中 35 名学生，测试 1 分钟仰卧起坐的 次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在 40～45 的频率 是 ． 15．某山路坡面坡度 i=1︰3，沿此山路向上前进了 100 米，升高了_________米． 16．如图，在□ABCD 中，E 是 AD 上一点，且 3AD AE ，设 aAB  ， bBC  ， BE =______________．（结果用 a 、 b  表示） 17．已知一个三角形各边的比为 2︰3︰4，联结各边中点所得的三角形的周长为 18cm，那么 原三角形最短的边的长为_______cm． 18．如图，已知在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=8，将△ABC 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 E 处，联结 DE，则 DE 的长为______________． D CB A （第 18 题图）（第 16 题图） E D CB A9 4 2 30 35 40 45 50 次数（次） 人数（人） （每组可含最小值，不含最大值） （第14题图） （第 22 题图） B D O C EA 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 先化简，再求值： 121 21 2 2        xx xx x ，其中 12 x . 20．（本题满分 10 分） 解方程组：      023 62 22 yxyx yx 21．(本题满分 10 分，每小题各 5 分) 如图，直线 1 22y x  与双曲线相交于点 A(2，m)， 与 x 轴交于点 C. （1）求双曲线解析式； （2）点 P 在 x 轴上，如果 PA=PC，求点 P 的坐标. 22．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架 CD 与水平面 AE 垂直，AB＝110 厘米， ∠BAC＝37°，垂直支架 CD=57 厘米，DE 是另一根辅助支架，且∠CED＝60°. （1）求辅助支架 DE 长度；(结果保留根号) （2）求水箱半径 OD 的长度．(结果精确到 1 厘米，参考数据：sin37°≈0.6， cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 23.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分） 如图，点 D、E 分别是△ABC 边 BC、AB 上的 点，AD、CE 相交于点 G，过点 E 作 EF∥AD 交 BC 于点 F，且 CBCDCF 2 ，联结 FG. （1）求证：GF∥AB； （2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形 AEFG 是菱形. ② ① （第 21 题图） C A y xO （第 23 题图） F E G D CB A 24．（本题满分 12 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分） 已知抛物线 cbxxy  2 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0， 3），P 是线段 BC 上一点，过点 P 作 PN∥ y 轴交 x 轴于点 N，交抛物线于点 M． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果点 P 的横坐标为 2，点 Q 是第一象限抛物线上的一点，且△QMC 和△PMC 的面积相等，求点 Q 的坐标； （3）如果 PNPM 2 3 ，求 tan∠CMN 的值． 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，cosB= 3 5 ，BC=3，P 是射线 AB 上的一个 动点，以 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D，直线 PD 交直线 BC 于点 E． （1）当 PA=1 时，求 CE 的长； （2）如果点 P 在边 AB 的上，当⊙P 与以点 C 为圆心，CE 为半径的⊙C 内切时， 求⊙P 的半径； （3）设线段 BE 的中点为 Q，射线 PQ 与⊙P 相交于点 F，点 P 在运动过程中，当 PE∥CF 时，求 AP 的长． （第 24 题图） A B x y C O （第 25 题图） E A D B C P A B C （备用图 1） A B C （备用图 2） 2017 年松江区初中毕业生学业模拟考试 数学参考答案及评分标准 2017.4 一、选择题 1．B； 2．D； 3．C； 4．D； 5.A； 6．C． 二、填空题 7． 2 1 ； 8． 3x ； 9． 3 5x ； 10． 1 ； 11． 9 2 ； 12． 1m ； 13． 31  x ；14． 7 4 ；15． 1010 ；16． ba 3 1 ； 17．8；18． 55 12 ． 三、解答题 19．解：原式= )1( )1( 1 1 2    xx x x x ………………………………………………………………（4 分） =  x x 1 …………………………………………………………………………（2 分） 当 12 x 时，原式＝ 22)12(2 12 2   ………………………………（4 分） 20．解：由②得， 02  yx ， 2 yx ………………………………………………（2 分） 原方程组化为      02 62 yx yx ，      0 62 yx yx ………………………………………（2 分） 得      2 3 3 2 2 y x      2 2 1 1 y x …………………………………………………………………（6 分） ∴原方程组的解是      2 3 3 1 1 y x      2 2 2 2 y x 21．解：（1）把 myx  ,2 代入直线 22 1  xy 解得 3m …………………………（1 分） ∴点 A 的坐标为（2，3）……………………………………………………………………（1 分） 设双曲线的函数关系式为 )0(  kx ky …………………………………………………（1 分） 把 3,2  yx 代入解得 6k ……………………………………………………………（1 分） ∴双曲线的解析式为 xy 6 …………………………………………………………………（1 分） （2）设点 P 的坐标为 )0,(x …………………………………………………………………（1 分） ∵C（-4，0），PA=PC…………………………………………………………………………（1 分） ∴ 49)2( 2  xx ，解得 4 1x …………………………………………………（2 分） 经检验： 4 1x 是原方程的根，∴点 P 的坐标为      0,4 1 ……………………………（1 分） 22．解：（1）在 Rt△ DCE 中，sin∠E= DE DC ……………………………………………（2 分） ∴DE= E DC sin = 33860sin 57 0  （厘米）…………………………………………………（2 分） 答：辅助支架 DE 长度 338 厘米 （2）设圆 O 的半径为 x 厘米，在 Rt△AOC 中 sin∠A= OA OC ，即 sin37 0 = x x   110 57 ……（2 分） ∴ 5 3 110 57   x x ，解得 x=22.5≈23（厘米）………………………………………………（4 分） 答：水箱半径 OD 的长度为 23 厘米． 23．（1）证明：∵ CBCDCF 2 ，∴ CB CF CF CD  ………………………………………（1 分） ∵EF∥AD，∴ CF CD CE CG  ………………………………………………………………（1 分） ∴ CE CG CB CF  ………………………………………………………………………………（1 分） ∴GF∥AB …………………………………………………………………………………（1 分） （2） 联结 AF ，∵GF∥AB ∴ BCFG  ∵ CFGCAG  ，∴ BCAG  …………………………………………………（1 分） ∵ ACBACD  ，∴ CAD ∽ CBA …………………………………………………（1 分） ∴ CA CD CB CA  ，即 CBCDCA 2 ………………………………………………………（1 分） ∵ CBCDCF 2 ，∴ CFCA  …………………………………………………………（1 分） ∴ CFACAF  …………………………………………………………………………（1 分） ∵ CFGCAG  ，∴ GFAGAF  ，∴ GFGA  ………………………………（1 分） ∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形 AEFG 是平行四边形…………………………………（1 分） ∴四边形 AEFG 是菱形……………………………………………………………………（1 分） 24．解：（1）将 )0,3(B ， )30( ，C 代入 cbxxy  2 ，得      3 039 c cb 解得      3 2 c b ………………………………………………………（2 分） ∴抛物线的表达式为 322  xxy …………………………………………………（1 分） （2）设直线 BC 的解析式为 )0(  kbkxy ，把点 C(0，3)，B(3，0)代入得      03 3 bk b ，解得      3 1 b k ∴直线 BC 的解析式为 3 xy …………………………（1 分） ∴P（2，1），M（2，3） …………………………………………………………………（1 分） ∴ 2PCMS ，设△QCM 的边 CM 上的高为 h，则 222 1  hS QCM ∴ 2h ………………………………………………………………………………………（1 分） ∴Q 点的纵坐标为 1，∴ 1322  xx 解得 舍）(31,31 21  xx ∴点 Q 的坐标为（ ）1,31 …………………………………………………………………（1 分） （3）过点 C 作 MNCH  ，垂足为 H 设 M )32,( 2  mmm ，则 P )3,( mm ………………………………………………（1 分） ∵ PNPM 2 3 ，∴ MNPN 5 2 ，∴ )32(5 23 2  mmm …………………（1 分） 解得 2 3m ，∴点 P 的坐标为（ )2 3,2 3 ……………………………………………………（1 分） ∴M )4 15,2 3( …………………………………………………………………………………（1 分） ∴ 4 3MH ，∴ 2tan  MH CHCMN …………………………………………………（1 分） 25．解：（1）作 PH⊥AC，垂足为 H，∵PH 过圆心，∴AH=DH………………………（1 分） ∵∠ACB=90°，∴PH∥BC， ∵cosB= 5 3 ，BC=3，∴AB=5，AC=4 ∵PH∥BC，∴ AB PA BC PH  ， ∴ 5 1 3 PH ， ∴ 5 3PH …………………………………（1 分） ∴ 5 4 DHAH ……………………………………………………………………………（1 分） ∴DC= 5 12 ，又∵ DC DH CE PH  ， ∴ 5 12 5 4 5 3  CE ， ∴ 5 9CE ……………………………（1 分） （2）当⊙P 与⊙C 内切时，点 C 在⊙P 内，∴点 D 在 AC 的延长线上 过点 P 作 PG⊥AC，垂足为 G，设 PA= x ，则 xPG 5 3 ， xDGAG 5 4 …………（1 分） 45 8  xCD ， xCG 5 44  ，∵ DG DC PG CE  ， x x x CE 5 4 45 8 5 3   ， 35 6  xCE …（1 分） ∵⊙P 与⊙C 内切,∴ PCCEPA  ………………………………………………………（1 分） ∴ 22 )5 44()5 3()35 6( xxxx  ……………………………………………………（1 分） ∴ 017513024 2  xx ,∴ 12 35 1 x ， 2 5 2 x （舍去）………………………………（1 分） ∴当⊙P 与⊙C 内切时，⊙P 的半径为 12 35 ． （3）∵∠ABC+∠A=90 ゜，∠PEC+∠CDE=90 ゜，∵∠A=∠PDA，∴∠ABC=∠PEC ∵∠ABC=∠EBP，∴∠PEC=∠EBP，∴PB=PE…………………………………………（1 分） ∵点 Q 为线段 BE 的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC ∴当 PE∥CF 时，四边形 PDCF 是平行四边形，∴PF=CD………………………………（1 分） 当点 P 在边 AB 的上时， xx 5 84  ， 13 20x …………………………………………（1 分） 当点 P 在边 AB 的延长线上时， 45 8  xx ， 3 20x …………………………………（2 分） 综上所述，当 PE∥CF 时，AP 的长为 13 20 或 3 20 ．