【数学】2019届一轮复习人教A版线段之和（折线段）定值问题探究学案

【数学】2019届一轮复习人教A版线段之和（折线段）定值问题探究学案

线段之和（折线段）定值问题探究 ‎2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出与的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出点的轨迹方程，再判断点的轨迹为椭圆，然后直接求出是定值．‎ 一、题目：‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆 的左、右焦点分别为，．‎ 已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ 二、命题组解法：‎ ‎（1）椭圆的方程为．‎ ‎（2）（ii）由（1）得，，又所以∥， 所以设、的方程分别为，．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以 ‎．①‎ 同理，．②‎ 所以∥，所以，即．‎ 所以．‎ ‎ 由点在椭圆上知，，所以．‎ 同理，．‎ 所以 ‎ 由①②得，，，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以是定值．‎ ‎ ‎ 三、轨迹解法：‎ ‎ （1）椭圆的方程为．‎ ‎（2）（ii）如右图，设的延长线交椭圆于，‎ 设，，，‎ 由对称性，，其中，‎ 由（1）得，. ‎ 设的方程分别为，‎ 由，‎ 显然，，，‎ 因为共线，且所在直线有斜率，所以 ①，‎ 因为共线，且所在直线有斜率，所以 ②，‎ 首先由①②得，，‎ 即 ‎，‎ 再把①、②式取倒数，然后相减得，‎ 即，，‎ 所以，‎ 由以上计算得：，即 ，‎ 消去得：，这表明在椭圆上，‎ 此椭圆的焦点恰好为，，故. ‎ 所以是定值.‎ 显然，轨迹解法很容易列出 的方程组，难点是在消去参数上技巧比较强，但是这个方法显然是转化为最常规的直线与圆锥曲线位置关系问题（利用根与系数关系问题），体现了解析几何最为基本的转化，整个解题过程体现了转化为通性通法的基本解题思路.‎