- 2021-05-09 发布 |
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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式选讲 学案
【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法 例1、【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数. (I)在答题卡第(24)题图中画出的图像; (II)求不等式的解集. 【答案】(I)见解析(II) ,当,,解得或, 当,,解得或 或 当,,解得或,或 综上,或或,,解集为 【变式探究】已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|. (1)当a=1时,解不等式f(x)<3; (2)若f(x)的最小值为1,求a的值. 【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后,转化为几个不等式组的解,最后求并集得出原不等式的解集. 【变式探究】 已知函数f(x)=2|x+2|-|x-a|(a∈R). (1)当a=4时,求不等式f(x)≤0的解集; (2)当a>-2时,若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54,求a的最大值. 【解析】:(1)当a=4时,f(x)≤0,即2|x+2|-|x-4|≤0,即2|x+2|≤|x-4|,两边平方得4x2+16x+16≤x2-8x+16,即x2+8x≤0,解得-8≤x≤0,即不等式f(x)≤0的解集为[-8,0].(或者分段去绝对值求解) (2)当a>-2时,f(x)= 令f(x)=0,解得x1=-4-a,x2=,f(x)的图像与x轴的交点为A(-4-a,0),B(,0), f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-2)=-(a+2).记C(-2,-(a+2)). f(x)的图像与x轴围成以A,B,C为顶点的三角形,其面积为×[-(-4-a)]×|-(a+2)|=,根据已知得≤54,解得-11≤a≤7,又a>-2,所以-2cd,则+>+; (2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具,要特别注意柯西不等式的应用. 【变式探究】 (1)已知a,b都是正实数,求证:+≥2 -2. (2)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的取值范围. 【解析】:(1)证明:方法一:(代数换元法)设a+2b=x,a+b=y,则a=2y-x,b=x-y,且x,y为正实数. +=+=+-2≥2 -2,当且仅当x=y时取等号. 方法二:(配凑法)+=+1++1-2=+-2≥2 -2,当且仅当a+2b=(a+b)时取等号. (2)由柯西不等式得(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的取值范围是[1,2]. 【命题热点突破三】 绝对值不等式与不等式证明的综合 例3 、【2016高考新课标2理数】选修4—5:不等式选讲 已知函数,为不等式的解集. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:当时,. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 【变式探究】已知函数f(x)=的定义域为R. (1)求实数m的取值范围; (2)若m的最大值为n,当正数a,b满足+=n时,求7a+4b的最小值. 【解析】:(1)因为该函数的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立. 设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值, 又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,所以m≤4.[ :学 XX ] (2)由(1)知n=4, 所以7a+4b== = ≥=,当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=时,等号成立. 所以7a+4b的最小值为.学 【特别提醒】使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时,注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件. 【变式探究】 已知函数f(x)=|x|-2|x-3|. (1)求不等式f(x)≥-10的解集; (2)记f(x)的最大值为m,且a,b,c为正实数,求证:当a+b+c=m时,ab+bc+ca≤m≤a2+b2+c2. 所以a2+b2+c2≥(a+b+c)2=3=m. 所以ab+bc+ca≤m≤a2+b2+c2. 【高考真题解读】 1.【2016高考新课标1卷】(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数. (I)在答题卡第(24)题图中画出的图像; (II)求不等式的解集. 【答案】(I)见解析(II) 2.【2016高考新课标2理数】选修4—5:不等式选讲 已知函数,为不等式的解集. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:当时,. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 【解析】(I) 当时,由得解得; 当时, ; 当时,由得解得. 所以的解集. (II)由(I)知,当时,, 从而, 因此 3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5:不等式选讲 已知函数. (I)当时,求不等式的解集; (II)设函数.当时,,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 1.(2015·陕西,24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数a,b的值; (2)求+的最大值.[ :学 XX ] 【解析】 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 则解得a=-3,b=1. (2)+ =+≤[ : xx ] =2=4, 当且仅当=, 即t=1时等号成立, 故(+)max=4. 学 2.(2015·新课标全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3,则实数的值为( ) A.5或8 B.或5 C.或 D.或8[ :学 ] 【答案】D 【解析】由题意,①当时,即,,则当时,,解得或(舍);②当时,即,,则当时,,解得(舍)或;③当时,即,,此时,不满足题意,所以或,故选D. 2. 【2014陕西高考理第15题】设,且,则的最小值为 【答案】 3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 . 【答案】. 【解析】令,则, (1)当时,由得,解得,此时有; (2)当时,,此时不等式无解; (3)当时,由得,解得,此时有; 综上所述,不等式的解集为. 4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为,则________. 【答案】-3 【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根, 即,故填. 5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】令,其图象如下所示(图中的实线部分) 由图可知: 由题意得:,解这得: 所以答案应填: 7. 【2014高考福建理第21(3)题】已知定义在R上的函数的最小值为. (I)求的值; (II)若为正实数,且,求证:. 【答案】(I);(II)参考解析 9. 【2014高考江苏第21题】已知,证明 【答案】证明见解析. 【解析】 ∵,∴,, ∴. 10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵,向量,是实数,若,求的值. 【答案】 【解析】 由题意得,解得.∴. 11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数,,记的解集为M,的解集为N. (Ⅰ)求M; (Ⅱ)当时,证明:. 【答案】(1);(2)详见解析. 【解析】 . 12. 【2014高考全国1第24题】若,且. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在. 【解析】(I)由,得,且当时取等号.故,且当时取等号.所以的最小值为. (II)由(I)知,.由于,从而不存在,使得. 13. 【2014高考全国2第24题】设函数= (Ⅰ)证明:2; (Ⅱ)若,求的取值范围. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】(2013·新课标I理)(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 【答案】 当时,令,,做出函数图像可知,当时,,故原不等式的解集为; (2)依题意,原不等式化为,故对都成立,故,故,故的取值范围是. 【解析】 查看更多