2021高考数学大一轮复习单元质检十二概率B理新人教A版

2021高考数学大一轮复习单元质检十二概率B理新人教A版

单元质检十二　概率(B)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第24页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是(　　)‎ A.‎2‎‎5‎ B.‎‎3‎‎5‎ C.‎6‎‎25‎ D.‎‎19‎‎25‎ 答案:C 解析:∵X~B(100,p),‎ ‎∴E(X)=100p.‎ 又E(X)=24,‎ ‎∴24=100p,‎ 即p=‎24‎‎100‎‎=‎‎6‎‎25‎.‎ ‎2.两名教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为(　　)‎ A.0.44 B.0.56 C.0.41 D.0.39‎ 答案:A 解析:用(x,y)表示两名教师的批改成绩,则(x,y)的所有可能情况为10×10=100(种).‎ 当x=50时,y可取50,51,52,共3种可能;‎ 当x=51时,y可取50,51,52,53,共4种可能;‎ 当x=52,53,54,55,56,57时,y的取法均有5种,共30种可能;‎ 当x=58时,y可取56,57,58,59,共4种可能;‎ 当x=59时,y可取57,58,59,共3种可能.‎ 综上可得,两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种.‎ 8‎ 由古典概型概率公式可得,所求概率P=‎44‎‎100‎=0.44.‎ ‎3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为(　　)‎ A.‎21‎‎44‎ B.‎15‎‎22‎ ‎ C.‎21‎‎50‎ D.‎‎9‎‎25‎ 答案:A 解析:(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,‎ 则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,‎ 得P(A|B)=P(AB)‎P(B)‎‎=P(A)‎P(B)‎=‎0.42‎‎0.88‎=‎‎21‎‎44‎.‎ ‎(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C,‎ 则P(C)=1-P(A)P(B)=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.‎ 故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为‎0.6×0.7‎‎0.88‎‎=‎‎21‎‎44‎.故选A.‎ ‎4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎‎1‎‎8‎ C.‎3‎‎8‎ D.‎‎3‎‎16‎ 答案:B 解析:不妨设小正方形的边长为1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为1,1,‎2‎,左上角的等腰直角三角形的边长为‎2‎‎,‎‎2‎,2,两个最大的等腰直角三角形的边长为2,2,2‎2‎,即大正方形的边长为2‎2‎,所以所求概率 8‎ P=1-‎1‎‎2‎‎×2+1+1+2×2‎‎8‎‎=‎‎1‎‎8‎.‎ ‎5.(2019河北石家庄一模)设X~N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)=0.022 8,那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为(　　)‎ ‎[附:随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4]‎ A.12 076 B.13 174‎ C.14 056 D.7 539‎ 答案:B 解析:由题意,得 P(X≤-1)=P(X≥3)=0.0228;‎ ‎∴P(-1(1-p)2,‎ 8‎ ‎∴p>0.5,‎ ‎∴p=0.6(其中p=0.4舍去).‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.(2019辽宁庄河高级中学一模)若10件产品包含2件次品,今在其中任取两件,则在已知两件中有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率为　　　　　. ‎ 答案:‎‎4‎‎11‎ 解析:设事件A={两件中有一件不是次品},事件B={两件中恰有一件是次品},则P(B|A)=P(AB)‎P(A)‎‎=P(B)‎P(A)‎=C‎2‎‎1‎C‎8‎‎1‎C‎10‎‎2‎C‎8‎‎2‎‎+‎C‎2‎‎1‎C‎8‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎‎4‎‎11‎.‎ ‎8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为　　　　　. ‎ 答案:‎‎5‎‎4‎ 解析:根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有C‎5‎‎2‎A‎4‎‎4‎=240(种),而X=1,2,‎ 则P(X=1)=C‎5‎‎1‎C‎4‎‎2‎A‎3‎‎3‎‎240‎‎=‎180‎‎240‎=‎‎3‎‎4‎,‎ P(X=2)=C‎5‎‎2‎A‎3‎‎3‎‎240‎‎=‎60‎‎240‎=‎‎1‎‎4‎,‎ 故E(X)=1×‎3‎‎4‎+2×‎1‎‎4‎‎=‎‎5‎‎4‎.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:‎ 组别 PM2.5/(微克/立方米)‎ 频数/天 频率 第一组 ‎[0,15)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 8‎ 第二组 ‎[15,30)‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎[30,45)‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第四组 ‎[45,60)‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第五组 ‎[60,75)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第六组 ‎[75,90]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);‎ ‎(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;‎ ‎(3)将频率视为概率,监测去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).‎ 解:(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.‎ ‎(2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).‎ ‎∵40.5>35,‎ ‎∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.‎ ‎(3)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则P(A)=‎9‎‎10‎.‎ 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且ξ~B‎2,‎‎9‎‎10‎.‎ ‎∴P(ξ=k)=C‎2‎k‎9‎‎10‎k‎1-‎‎9‎‎10‎‎2-k(k=0,1,2),即 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎100‎ ‎18‎‎100‎ ‎81‎‎100‎ ‎∴E(ξ)=0×‎1‎‎100‎+1×‎18‎‎100‎+2×‎81‎‎100‎=1.8,‎ 或E(ξ)=np=2×‎9‎‎10‎=1.8,‎ D(ξ)=np(1-p)=2×‎9‎‎10‎‎×‎‎1‎‎10‎=0.18.‎ 8‎ ‎10.(15分)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:‎ 女生统计图 男生统计图 ‎(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;‎ ‎(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X);‎ ‎(3)试比较男生学习时间的方差s‎1‎‎2‎与女生学习时间的方差s‎2‎‎2‎的大小.(只需写出结论)‎ 解:(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.‎ 故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×‎12‎‎20‎=240.‎ ‎(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4,‎ 故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.‎ 由题意可得 P(X=0)=C‎4‎‎4‎C‎8‎‎4‎‎=‎‎1‎‎70‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎1‎C‎4‎‎3‎C‎8‎‎4‎‎=‎16‎‎70‎=‎‎8‎‎35‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎2‎C‎4‎‎2‎C‎8‎‎4‎‎=‎36‎‎70‎=‎‎18‎‎35‎,‎ 8‎ P(X=3)=C‎4‎‎3‎C‎4‎‎1‎C‎8‎‎4‎‎=‎16‎‎70‎=‎‎8‎‎35‎,‎ P(X=4)=C‎4‎‎4‎C‎8‎‎4‎‎=‎‎1‎‎70‎.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎70‎ ‎8‎‎35‎ ‎18‎‎35‎ ‎8‎‎35‎ ‎1‎‎70‎ ‎∴均值E(X)=0×‎1‎‎70‎+1×‎8‎‎35‎+2×‎18‎‎35‎+3×‎8‎‎35‎+4×‎1‎‎70‎=2.‎ ‎(3)由折线图可得s‎1‎‎2‎‎>‎s‎2‎‎2‎.‎ ‎11.(15分)(2019全国Ⅰ,理21)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.‎ ‎①证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;‎ ‎②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.‎ 解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1.‎ P(X=-1)=(1-α)β,‎ P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),‎ P(X=1)=α(1-β).‎ 8‎ 所以X的分布列为 X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎(1-α)β αβ+(1-α)(1-β)‎ α(1-β)‎ ‎(2)①证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.‎ 因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,‎ 故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),‎ 即pi+1-pi=4(pi-pi-1).‎ 又因为p1-p0=p1≠0,‎ 所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.‎ ‎②由①可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0‎ ‎=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)‎ ‎=‎4‎‎8‎‎-1‎‎3‎p1.‎ 由于p8=1,故p1=‎3‎‎4‎‎8‎‎-1‎,‎ 所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=‎4‎‎4‎‎-1‎‎3‎p1=‎1‎‎257‎.‎ p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=‎1‎‎257‎≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.‎ 8‎