吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二下学期验收考试数学（理）试题

吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二下学期验收考试数学（理）试题

理科数学 时间： 120 分钟 分值： 150 分 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.函数的导数为( )‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2.用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（　　）‎ ‎ A．，都能被5整除 B．，都不能被5整除 ‎ C．不能被5整除 D．，有1个不能被5整除 ‎ ‎3.定积分的值为（ ）‎ ‎ A．1 B.ln‎2 C. D..‎ ‎4.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )‎ ‎ A．当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立 ‎ C.当时，该命题成立 D.当时，该命题不成立 ‎5.有一段“三段论”推理是这样的： ‎ 对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ） ‎ ‎ A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎6. 已知三次函数在上是 增函数，则的取值范围为（　　）‎ ‎ A．或 B． C． D．以上皆不正确 ‎ ‎7．设，若，则的值分别为（　　）‎ ‎ A．1，1，0，0 B．1，0，1，‎0 ‎C．0，1，0，1 D．1，0，0，1‎ ‎8．已知抛物线通过点，且在点处的切线平行于直线，则抛物线方程为（　　）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．下列说法正确的是（　　）‎ ‎ A．函数有极大值，但无极小值 B．函数有极小值，但无极大值 ‎ C．函数既有极大值又有极小值 D．函数无极值 ‎ ‎10.函数（ ）‎ ‎ A．在上单调递减 B．在和上单调递增 ‎ ‎ C．在上单调递增 D．在和上单调递减 ‎11. 已知则a，b，c的大小关系为（ ）‎ ‎ A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a ‎ ‎12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若， ‎ ‎，则 的大小关系是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在相应横线上）‎ ‎13.由与直线所围成图形的面积为　　　　　． ‎ ‎14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●‎ 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为　　　　　． ‎ ‎15．函数在区间上的最大值为3，最小值为-29，则，的值分别为　　　　　　． ‎ ‎16. 函数在区间内单调递减，则的取值范 围是________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（10分）一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?‎ ‎18.（12分）已知曲线 在点处的切线平行直线，且点在第三象限,‎ ‎（1）求的坐标；（2）若直线 , 且直线也过切点 ,求直线的方程.‎ ‎19.（12分）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少?‎ ‎20.（12分）已知数列，首项，前n项和满足.‎ ‎(1)求出，并猜想的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎21.（12分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为，，则当为多少时，银行可获得最大收益？‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若在[1，e](e＝2.71828…)上存在一点，使得≤0成立，求的取值范围.‎ ‎1-12选择题ABBDA CDABB CC ‎13. 9 14. 61 15. 2,3 16.‎ ‎17.解:∵当时,; 当时,.‎ ‎∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程 ‎=(米)‎ ‎18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，‎ 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.‎ 又∵点P0在第三象限,‎ ‎∴切点P0的坐标为 (－1,－4).‎ ‎⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,‎ ‎∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)‎ ‎∴直线l的方程为即.‎ ‎19.‎ ‎20.‎ ‎21.解：由题意，存款量，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即时，；由，得，那么，银行应支付的利息，‎ 设银行可获收益为，则，‎ 由于，则，即，得或．‎ 因为，时，，此时，函数递增；‎ 时，，此时，函数递减；‎ 故当时，有最大值，其值约为0.164亿．‎ ‎22.解：(1)函数f(x)＝x－aln x＋，x∈(0，＋∞)，‎ 所以f′(x)＝1－－＝＝，x∈(0，＋∞)，‎ ‎①当1＋a≤0，即a≤－1时，‎ 在(0，＋∞)上总有f ′(x)≥0，‎ 所以，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.‎ ‎②当1＋a>0时，即a>－1时，在区间(0,1＋a)上f′(x)<0，在区间(1＋a，＋∞)上f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(0,1＋a)单调递减，在(1＋a，＋∞)单调递增.‎ ‎(2)在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)≤0成立，‎ 即函数f(x)＝x－aln x＋在[1，e]上的最小值不大于0，‎ 由(1)知，当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)的最小值是f(1)，有f(1)＝1＋1＋a≤0，得a≤－2.‎ 当a>－1时：‎ ‎①当1＋a≥e，即a≥e－1时，f(x)在[1，e]上单调递减，‎ 所以f(x)的最小值是f(e)，‎ 由f(e)＝e＋－a≤0可得a≥，‎ 因为>e－1，所以a≥.‎ ‎②当1＋a≤1，即a≤0时，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)的最小值是f(1)，有f(1)＝1＋1＋a≤0，得a≤－2，这与a>－1矛盾，‎ ‎③当1<1＋a2，此时f(1＋a)≤0不成立.‎ 综上所述，所求a的取值范围是a≤－2或a≥.‎