2018届二轮复习四 函数、不等式、导数学案（全国通用）
专题四 函数、不等式、导数
[高考领航]—————————摸清规律 预测考情
全国卷
考情
预测
2014
2015
2016
2017
2018
(Ⅰ卷)
T3(奇偶性)
T9(线性规划)
T11(函数零点)
T21(导数、不等式)
(Ⅱ卷)
T1(二次不等式)
T8(导数)
T9(线性规划)
T12(导数、极值)
T15(函数图象)
T21(导数、不等式)
(Ⅰ卷)
T12(函数性质)
T13(奇偶性)
T15(线性规划)
T21(导数性质)
(Ⅱ卷)
T1(二次不等式)
T5(分段函数)
T10(图象)
T12(导数)
T14(线性规划)
T21(导数性质)
(Ⅰ卷)
T1(二次不等式)
T7(导数、图象)
T8(函数性质)
T16(线性规划)
T21(导数、不等式)
(Ⅱ卷)
T2(二次不等式)
T12(对称性)
T16(导数意义)
T21(导数、不等式)
(Ⅲ卷)
T1(二次不等式)
T6(幂函数性质)
T13(线性规划)
(Ⅰ卷)
T1(指数不等式)
T5(函数性质)
T14(线性规划)
T21(导数、单调性、零点)
(Ⅱ卷)
T5(线性规划)
T11(导数、极值)
T21(导数与极值、不等式)
分值：22～37分.
题型：选择、填空、解答
题量：4或5个.
难度：中等以上.
T15(导数几何意义)
T21(导数、不等式)
(Ⅲ卷)
T11(函数、零点)
T13(线性规划)
T15(分段函数、不等式)
T21(导数、不等式)
考点：函数的基本性质，图象的应用、函数零点，导数的意义、导数与图象性质，二次不等式与集合，基本不等式，导数与不等式证明.
通过对近5年全国高考试题分析，可以预测：2018年高考重点考查函数的奇偶性、单调性、值域、最值、零点，结合导数求参数范围，证明不等式，线性规划，不等式性质等
考点一 函数的图象与性质
1．有关函数的奇偶性问题
(1)若f(x)是奇函数，且x＝0有意义时，则f(0)＝0；
(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶．
2．有关函数的对称性问题
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
(3)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x
＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．
3．有关函数的周期性问题
(1)若函数y＝f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数y＝f(x)的图象有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；
(3)如果函数y＝f(x)的图象有一个对称中心A(a，c)和一条对称轴x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝4|a－b|；
(4)若函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；
(5)若f(x＋a)＝(a≠0)恒成立，则T＝2a；
(6)若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.
类型一 函数的概念及表示
[典例1] (1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：通解：(讨论a的取值，计算f(a)，并求a)
当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，即2a－1＝－1，不成立，舍去；
当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，即log2(a＋1)＝3，得a
＋1＝23＝8，∴a＝7，此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.故选A.
优解：(根据分段函数值域，确定a的范围)
∵2x－1＞0，∴当x≤1时，2x－1－2＞－2，故a＞1.
∴－log2(a＋1)＝－3，∴a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.
答案：A
(2)设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是( )
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：优解：(数形结合法)
因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，
所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的图象如图所示，由于函数g(x)是二次函数，值域不会是选项A，B，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞)时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．故选C.
答案：C
[母题变式]
在本例(2)中，函数y＝f(x2＋1)的值域如何求？
解析：设t＝x2＋1，∴t≥1，∴f(t)＝t2≥1.
所以函数y＝f(x2＋1)的值域为[1，＋∞)，选D.
1．(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法．
2．求函数值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函数解析式的范围，得到函数的值域；(2)配方法，转化为二次函数的最值求解；(3)分离常数法，对于探求形如y＝(c≠0)的值域，常把其分子分离成不含自变量x的形式；(4)换元法，通过换元转化成熟悉的函数；(5)单调性法，此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集上)的单调性；(6)图象法，若函数解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数形结合的方法求其值域；(7)基本不等式法，对于探求形如y＝x＋(k＞0)的值域，常用基本不等式求解；(8)导数法，先利用导数判断其单调性，再求其值域．
[自我挑战]
1．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
解析：选B.由已知得－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，所以函数
f(2x＋1)的定义域为，故选B.
2．设函数f(x)＝f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：通解：选C.∵－2＜1，∴f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝3；
∵log212＞1，∴f(log212)＝2＝2＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝9.
优解：由f(－2)＝3，∴f(－2)＋f(log212)＞3排除A.
由于log212＞1，要用f(x)＝2x－1计算，则f(log212)为偶数，∴f(－2)＋f(log212)为奇数，只能选C.
类型二 函数的图象及应用
[典例2] (1)(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：(利用图象的对称性求解)
因为f(－x)＝2－f(x)，
所以f(－x)＋f(x)＝2.
因为＝0，＝1，
所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．
函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．
所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，
…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，
所以i＝0，i＝2×＝m，
所以(xi＋＋yi)＝m.故选B.
答案：B
(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
解析：利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．
∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)<0，g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
答案：D
识别函数图象的方法
基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点)；(3)性质验证法．
[自我挑战]
1．已知函数f(x)＝若存在实数a、b、c、d，满足f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是( )
A．(21,25) B．(21,24)
C．(20,24) D．(20,25)
解析：选B.画出f(x)的图象，如图．由图象知0＜a＜1，1＜b＜3，则f(a)＝|log3a|＝－log3a，
f(b)＝|log3b|＝log3b，∵f(a)＝f(b)，
∴－log3a＝log3b，∴ab＝1.又由图象知，3＜c＜4，d＞6，点(c，f(c))和点(d，f(d))均在二次函数y＝x2－x＋8的图象上，故有＝5，∴d＝10－c，∴abcd＝c(10－c)＝－c2＋10c＝－(c－5)2＋25，
∵3＜c＜4，∴21＜－(c－5)2＋25＜24，
即21＜abcd＜24.故选B.
2．如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex D．y＝
解析：选C.A中，∵y＝2x－x2－1＝2x－(x2＋1)，当x趋向于－∞时，2x的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，
∴当x趋向于－∞时，函数y＝2x－x2－1的值趋向于－∞，∴A中的函数不符合；B中，∵y＝sin x是周期函数，∴函数y＝的图象是在x轴附近的波浪线，
∴B中的函数不符合；D中，y＝的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D中函数不符合．故选C.
类型三 函数性质的应用
[典例3] (1)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：通解：利用函数性质去掉“f”得一般不等式求解．
函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，所以f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)，所以|x|＞|2x－1|，解得＜x＜1，故选A.
优解：(特值验证法)
∵当x＞0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
取x＝，有f＞f适合不等式，再取x＝1有f(1)＞f(2×1－1)不适合不等式，故选A.
答案：A
(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a＞b＞1,0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
解析：通解：利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性求解．
对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，A错．对于选项B，abc＜bac⇔c＜，又y＝是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.
优解：取特殊值验证．令a＝4，b＝2，c＝可逐渐排除．选C.
答案：C
[自我挑战]
1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝( )
A．336 B．339
C．1 678 D．2 018
解析：选B.由题意知函数为周期函数，且周期T＝6，且f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(3－6)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，又2 018＝336×6＋2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)
＝336[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＝336×1＋1＋2＝339，故选B.
2．设函数f(x)＝log(x2＋1)＋，则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2的解集为( )
A．(0,2] B.
C．[2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
解析：选B.∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝log(x2＋1)＋＝f(x)，
∴f(x)为R上的偶函数．
易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，
令t＝log2x，所以logx＝－t，
则不等式f(log2x)＋f(logx)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，
即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，
又∵f(1)＝log2＋＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，∴f(|t|)≥f(1)，∴|t|≤1，
∴－1≤t≤1，即log2x∈[－1,1]，
∴x∈，故选B.
1．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A.因为a＝2＝4，c＝25＝5，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以4＜5，即a＜c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以4＜4，即b＜a，所以b＜a＜c，故选A.
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：选D.∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.故选D.
3．(2015·高考课标卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝
x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B.当点P与C、D重合时，易求得PA＋PB＝1＋；当点P为DC中点时，PA＋PB＝2PA＝2.显然，1＋＞2，故当x＝时，f(x)不取最大值，故C、D选项错误．当x∈时，f(x)＝tan x＋，不是一次函数，排除A.故选B.
4．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：通解：选B.由f(x)＝f(2－x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两个函数的图象的交点也关于直线x＝1对称．不妨设x1＜x2＜…＜xm，则＝1，即x1＋xm＝2，同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2
＝2，…，又i＝xm＋xm－1＋…＋x1，所以2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以i＝m.
优解：取特殊函数f(x)＝0(x∈R)，它与y＝|x2－2x－3|的图象有两个交点(－1,0)，(3,0)，此时m＝2，x1＝－1，x2＝3，故xi＝2＝m，只有B选项符合．
5．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0
三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－1，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2>1，显然成立．
综上可知，x>－.
答案：
6．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：通解：令x>0，则－x<0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
优解：f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.
答案：12
考点二 不等式及线性规划
1．(1)若ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1和x2(x10(a>0)的解为{x|x>x2，或x0)的解为{x|x10(a≠0)恒成立的条件是
(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
2．(1)ab≤(a，b∈R)；
(2) ≥≥≥(a>0，b>0)；
(3)不等关系的倒数性质
⇒<；
(4)真分数的变化性质
若00，则<；
(5)形如y＝ax＋(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝⇒x＝
，即“对号函数”单调变化的分界点；
(6)a>0，b>0，若a＋b＝P，当且仅当a＝b时，ab的最大值为；若ab＝S，当且仅当a＝b时，a＋b的最小值为2.
3．不等式y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的区域；yx，即得不等式的解集．
设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝当x>0时，由x2－4x>x得x>5；
当x<0时，由－x2－4x>x得－50)．
令y1＝y2，∴x2－4x＝x，∴x＝0或x＝5.
作y1＝f(x)及y2＝x的图象，
则A(5,5)，由于y1＝f(x)及y2＝x都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则B(－5，－5)，由图象可看出当f(x)>x时，x∈(5，＋∞)及(－5,0)．
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
类型二 基本不等式及应用
[典例2] (1)设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
解析：通解：依题意，由ax＋y＝1得y＝1－ax，代入x＋by＝1得x＋b(1－ax)＝1，即(1－ab)x＝1－b.由原方程组无解得，关于x的方程(1－ab)x＝1－b无解，因此1－ab＝0且1－b≠0，即ab＝1且b≠1.
又a＞0，b＞0，a≠b，ab＝1，因此a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
优解：由题意，关于x，y的方程组无解，则直线ax＋y＝1与x＋by＝1平行且不重合，从而可得ab＝1，且a≠b.
又a＞0，b＞0，故a＋b＞2＝2，即a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
(2)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：通解：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
优解：如图a，b分别是直线＋＝1在x，y轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当a→1时，b→＋∞，当b→1时，a→＋∞
，只有点(1,1)为AB的中点时，a＋b最小，此时a＝2，b＝2，∴a＋b＝4.
答案：C
1．常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”，这是代数式等价变形的基础；(3)利用基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解．
2．拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题．
[自我挑战]
1．若点A(a，b)在第一象限且在直线x＋2y＝4上移动，则log2a＋log2b( )
A．有最大值2 B．有最小值1
C．有最大值1 D．没有最大值和最小值
解析：选C.由题意，知a＋2b＝4(a＞0，b＞0)，则有4＝a＋2b≥2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以0＜ab≤2，所以log2a＋log2b＝log2(ab)≤log22＝1，故选C.
2．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞) ，则a的值是( )
A． B．
C．1 D．2
解析：选C.由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1，故选C.
类型三 求线性规划中线性目标函数的最值
[典例3] (1)(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N*，y∈N*，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
(2)(2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
解析：通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
优解：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.
答案：－5
[母题变式]
在本例(2)中，①求z＝x－2y的最大值是多少？
②求的最大值？③求x2＋y2的最小值？
解：①将A(3,4)，B(1,2)，C(3,0)代入z计算得过C(3,0)时，zmax＝3.
②表示(x，y)与(0,0)连线的斜率．
kOA＝，kOB＝2，kOC＝0，∴的最大值为2.
③x2＋y2表示(x，y)与(0,0)距离的平方由于|OB|2＝5，|OC|2＝9，而(0,0)到x＋y－3＝0的距离d2＝，
∴x2＋y2的最小值为.
求目标函数的最值的方法
1．几何意义法
(1)常见的目标函数
①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
③斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
(2)目标函数z＝xy的几何意义
①由已知得y＝，故可理解为反比例函数y＝的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断．
②设P(x，y)，则|xy|表示以线段OP(O为坐标原点)为对角线的矩形面积．
2．界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值．
[自我挑战]
1．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：通解：选B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A.平移直线x＋ay＝0，可知在点A处，z取得最小值，
因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3，故选B.
优解：由z＝x＋ay得y＝－x＋
当a＜0时，由可行域知，当y＝－x＋过A点时最小，z有最大值，不合题意．
当a＞0时，y＝－x＋过A点时，最小，z也最小，故只能选B.
2．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为( )
A．(0,2) B.
C. D.
解析：选B.约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l
′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－＜－a＜0，即0＜a＜.故选B.
1．(2016·高考全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：约束条件对应的平面区域是以点、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点时，z取得最大值.
答案：
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：
选B.画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：作出可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x－2y，得y＝x－.
作出直线l0：y＝x，并平移l0，知当直线y＝x－过点A时，z取得最小值．
由得A(－1,1)，
∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.
答案：－5
4．(2016·高考山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，
x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A(3，－1)到原点的距离最大，所以x2＋y2的最大值是10，故选C.
考点三 导数的简单应用
1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．
2．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有两个极值点，且x10时，f(x)的图象如图，x1为极大值点，x2为极小值点；
当a<0时，f(x)图象如图，x1为极小值点，x2为极大值点．
3．若函数y＝f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数；
若函数y＝f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数．
4．y＝ex在(0,1)处的切线方程为y＝x＋1；
y＝ln x在(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
5.f(x)dx的几何意义
(1)当f(x)在区间[a，b]上大于0时，f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义；
(2)当f(x)在区间[a，b]上小于0时，f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数；
(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，f(x)dx等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
类型一 导数与定积分的几何意义
[典例1] (1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：令x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，
又f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ln x－3x(x＞0)，
则f′(x)＝－3(x＞0)，
∴f′(1)＝－2，∴y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
答案：y＝－2x－1
(2)曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成的封闭区域的面积为________．
解析：sin xdx＝－cos x|＝－cos π－(－cos 0)＝1－(－1)＝2.
答案：2
(3)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：通解：令f(x)＝x＋ln x，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0或x0＝－，又ax＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，∴x0＝－，此时a＝8.
优解：求出y＝x＋ln x在(1,1)处的切线为y＝2x－1
由得ax2＋ax＋2＝0，
∴Δ＝a2－8a＝0，
∴a＝8或a＝0(显然不成立)．
答案：8
[母题变式]
将本例(3)改为已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：通解：由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f
(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)，
∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.
优解：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率k＝＝5－a，f′(x)＝3ax2＋1，∴5－a＝3a＋1，∴a＝1.
答案：1
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：可先求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；
(2)已知切线的斜率k，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数
已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
3．利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
(1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量．在以y
为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值．
[自我挑战]
1．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析：∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，
∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(x0，y0)(x0＞0)，
∵函数y＝的导函数为y′＝－，
∴曲线y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率k2＝－，
由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，
解得x＝1，又x0＞0，
∴x0＝1.
又∵点P在曲线y＝(x＞0)上，
∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
2．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
解析：由对称性可知S阴影＝S正方形ABCD－4x2dx＝22－4×＝，所以所求概率为＝.
答案：
类型二 利用导数研究函数的单调性
[典例2] (1)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)＜，则不等式f(x2)＞的解集为( )
A．(1,2) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
解析：令g(x)＝f(x)－(x＋1)，∴g′(x)＝f′(x)－＜0，故g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减且g(1)＝0.令g(x)＞0，则x＜1，f(x2)＞⇔f(x2)－＞0⇔g(x2)＞0⇔x2＜1⇔－1＜x＜1.故选C.
答案：C
(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
解析：通解：由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，又f′(x)＝2x＋a－，所以2x＋a－≥0对任意的x∈恒成立，分离参数得a≥－2x，若满足题意，需a≥max.令h(x)＝－2x，x∈.因为h′(x)＝－－2，所以当x∈时，h′(x)＜0，即h(x)在上单调递减，所以h(x)＜h＝3，故a≥3.
优解：当a＝0时，检验f(x)是否为增函数，当a＝0时，
f(x)＝x2＋，f＝＋2＝，f(1)＝1＋1＝2，
f＞f(1)与函数是增函数矛盾．排除A、B、C.故选D.
答案：D
1．若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．
2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
[自我挑战]
3．已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)＝x2＋3x－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x＋3－，令2x＋3－＜0，即2x2＋3x－2＜0，解得x∈
.又x∈(0，＋∞)，所以x∈.所以函数f(x)的单调递减区间为.
答案：
大题规范——学会踩点 规范解答
类型三 含参数的函数的单调性
[典例3] (2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1分
(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.2分
(ⅱ)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).3分
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.4分
②若a＞－，则ln(－2a)＜1，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减.5分
③若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞
，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减.6分
(2)(ⅰ)设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，
所以f(x)有两个零点.8分
(ⅱ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点.9分
(ⅲ)设a＜0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点；若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点.11分
综上，a的取值范围为(0，＋∞).12分
评分细则及说明：
①正确求导，得1分．
②～⑥讨论了四种情况，每种情况有且正确得1分，缺少则扣1分．
⑦～⑨讨论了三种情况，正确者得该步分，缺少或者错误者扣该分．
⑩是结论；缺少者扣1分．
1．求函数的单调区间的“三个”方法
方法一 第1步：确定函数y＝f(x)的定义域；
第2步：求导函数y′＝f′(x)；
第3步：解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调区间．
方法二 第1步：确定函数y＝f(x)的定义域：
第2步：求导函数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
第3步：把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
第4步：确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
方法三 第1步：确定函数y＝f(x)的定义域；
第2步：求导函数y′＝f′(x)，并将其化简表示为某些基本初等函数的和、差、积、商．
第3步：利用相应基本初等函数的图象与性质，确定f′(x)在某些区间的正、负，进而得到单调区间．
2．根据函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增；转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立求解；
(2)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立求解；
(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上单调，转化为f′(x)在(a，b)上不变号，即f′(x)在(a，b)上恒正或恒负；
(4)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，转化为f′(x)＝0在(a，b
)上有解．
[自我挑战]
设f(x)＝ex(ln x－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71 828…)
(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值．
(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)∵f′(x)＝ex(ln x－a)＋ex·＝ex，
所以由题意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e，
解得a＝－1.
所以f(1)＝e(ln 1－a)＝e，
由切点(1，e)在切线y＝2ex＋b上，得e＝2e＋b，b＝－e，故a＝－1，b＝－e.
(2)由题意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立．
因为ex＞0，所以只需ln x＋－a≤0，即a≥ln x＋在上恒成立．令g(x)＝ln x＋.
因为g′(x)＝－＝，
由g′(x)＝0，得x＝1.
x
(1，e)
g′(x)
－
＋
g(x)
g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，因为e－1＞1＋，
所以g(x)max＝g＝e－1.
故a≥e－1.
类型四 利用导数求函数极值
[典例4] (2016·高考山东卷)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，
x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
当a＞0时，
x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
x∈时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增，
可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为a＞.
1．求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
2．若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
3．求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x
)的各极值进行比较得到函数的最值．
[自我挑战]
1．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
从而，解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
答案：(－1,1)
2．已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝a＋－(x＞0)，
由题意可知，f′＝1，解得a＝1.
故f(x)＝x－－3ln x，
∴f′(x)＝，
根据题意由f′(x)＝0，得x＝2.
于是可得下表：
x
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－3ln 2
∴f(x)min＝f(2)＝1－3ln 2.
(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，
由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，
则也可以为
解得0＜a＜.
故a的取值范围为.
1．(2016·高考四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
解析：选D.由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
2．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1
的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：选A.函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1＞0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，
且x＜－2时，f′(x)＞0；－2＜x＜1时，f′(x)＜0；
x＞1时，f′(x)＞0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.故选A.
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线斜率为f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
答案：y＝2x
4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.
②若a＞0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a，
从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0.
③若a＜0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，从而当且仅当a2≥0，即
a≥－2e时，f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[－2e，1]．
