中山一中2014届高考数学热身试题目文新人民教育出版

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‎2014年七校普通高中毕业班模拟测试数学（文科）‎ ‎ ‎ 本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.‎ ‎ 参考公式： 锥体的体积公式是, 其中是锥体的底面积, 是锥体的高.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．复数是纯虚数，则的值为（ ）‎ A．0 B． C． D． ‎ ‎2. 已知全集，，，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生 参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分分）的 茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是， 乙班学生成绩的中位数是，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．“”是“函数存在零点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6. 已知变量x、y，满足条件，则目标函数z=x+y的最大值是（ ）‎ A. 2 B. ‎5 ‎‎ C. 6 D. 7‎ ‎7. 设l，m是两条不同直线，, 是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ ‎ A. 若，∩＝m，则lm 　　 B. 若l⊥，l，则⊥‎ ‎ C. 若l，m，则l m 　　　D. 若l，m⊥l，则m⊥‎ ‎8．在中，, ，则=（ ）‎ A. B． ‎ C． D． ‎ ‎9. 己知双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，若对于任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11 . 设正项等比数列已前n项积为, 若，则的值为__________.‎ 开始 a =3 =1‎ i >5‎ i=i+1‎ 结束 输出a ‎ 是 否 ‎12．执行如图所示的程序框图，输出的a值为___________．‎ ‎ ‎ ‎13．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于 .‎ ‎（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线 为参数）相交于A和B两点，则= ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，已知P是圆O外一点，PA为 圆O的切线, A为切点．割线PBC经过圆心O，若PA＝3，PC = 9，则∠ACP = .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 设函数 其中向量，.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象沿轴向右平移, 则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称？‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋. 游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两个不同的点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋．‎ ‎（Ⅰ）写出数量积X的所有可能取值；‎ ‎（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ ‎18．（本小题满分14分） 已知数列中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ) 若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值. ‎ ‎19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．‎ ‎ （Ⅰ）求证：AD平面PBE；‎ ‎ （Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;‎ ‎ （Ⅲ）若，试求的值．‎ ‎20.（本小题满分14分）如图，已知点为椭圆的右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.‎ ‎（Ⅰ）求的值及椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设动点满足，‎ 其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM 与ON的斜率之积为，求证：为定值. ‎ ‎21．（本小题满分14分）已知函数的图象在点处的切线斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）判断方程根的个数，证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）探究：是否存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎2014年中山市普通高中毕业班模拟测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．‎ ‎ 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B D D B A C B A D B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．‎ ‎11. 3 12. 13. 8＋ 14. 15. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16. 解：（Ⅰ） ……3分 ‎. …………..4分 故函数的最小值为，此时，于是,‎ 故使取得最小值的的集合为. ……………..7分 ‎（Ⅱ）由条件可得， ………………8分 因为其图象关于轴对称，所以，，………10分 又，故当时，取得最小值， ………………11分 于是至少向右平移个单位长度，才能使得到的函数的图象关于轴对称. ………………12分 ‎17．解: (Ⅰ) X的所有可能取值为, , 0, 1 ………………2分 ‎(Ⅱ) 数量积为的只有一种, ………………3分 数量积为的有, , , , ,六种 ………………5分 数量积为0的有, , , 四种 ………7分 数量积为1的有, , , 四种 ‎ 故所有可能的情况共有15种. ………………8分 因此满足X<0的是数量积分别为和的7种, ………………9分 所以小波去下棋的概率为 ………………10分 ‎ 因为去唱歌的概率为, 所以小波不去唱歌的概率.‎ ‎ ………………12分 ‎18. 解:（Ⅰ）由题意知, 即 ‎ ……………3分 ‎ ………………5分 ‎ ………7分 检验知n=1, 2时，结论也成立，故an=2n+1． …………………………8分 ‎(Ⅱ) 由 …………10分 法一: 当时，；当时，；当时， ………………12分 故时，达最大值，. ……………………14分 ‎（法二：可利用等差数列的求和公式求解）‎ ‎19. （Ⅰ） 证明：由E是AD的中点， PA=PD，所以AD⊥PE； ………2分 又底面ABCD是菱形，∠BAD=60‎ 所以AB=BD，又因为E是AD的中点 ，‎ 所以AD⊥BE， ………4分 又PE∩BE=E　所以AD⊥平面PBE. ……………… 5分 ‎（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，‎ Q是PC的中点，所以OQ//PA， ………………8分 又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA//平面BDQ. ……………… 9分 ‎（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为.‎ 所以， , ………………10分 又因为，且底面积， ………………12分 所以. ……… 14分 ‎20. 解：（Ⅰ）由题意可知，又. 又. ……..2分 在中，， ‎ 故椭圆的标准方程为： ………..6分 ‎（Ⅱ）设, , ‎ ‎ ………………8分 ‎∵M、N在椭圆上， ∴ ………………9分 又直线OM与ON的斜率之积为， ∴， ………………10分 于是 ………………12分 ‎. 故为定值. ……..14分 ‎21．解:（Ⅰ）因为，所以， ………………………1分 函数的图象在点处的切线斜率． ………………2分 由得：． ………………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．‎ 因为，，所以在定义域上至少有一个根． ………………………5分 又因为，所以在上递增，‎ 所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根． …………………7分 ‎（Ⅲ）证明如下：‎ 由，，可求得曲线在点处的切线方程为， ‎ 即． ………………… 8分 记 ‎， ………………………9分 则． ………………… 10分 ‎（1）当，即时，对一切成立，‎ 所以在上递增．又，所以当时，当 时，即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 11分 ‎（2）当，即时，时，；时，；‎ 时，．故在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，所以当时，；当时，，‎ 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． ……12分 ‎(3) 当，即时，时，；时，；‎ 时，．故在上单调递增,在上单调递减.‎ 又，所以当时，；当时，，‎ 即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．……13分 综上所述, 存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………………………14分