吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

长春外国语学校2018-2019学年第二学期期末考试高二年级 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共15小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】B＝{x|x≤2}；‎ ‎∴A∩B＝{1，2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．‎ ‎2.若（为虚数单位），则=（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算，化简得到，再由复数模的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，复数满足，则，所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知函数，则（ ）‎ A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，f（x）＝（）x﹣2x，‎ 有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，‎ 又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．‎ ‎4.角的终边与单位圆交于点,则（ ）‎ A. B. - C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，角的终边与单位圆交于点,则，‎ 由三角函数的定义，可得，则，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知,,,则实数的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．‎ 详解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记单调性是关键，是基础题 ‎6.已知向量||=，且,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量模的运算可得：0，得，求解即可．‎ ‎【详解】因为向量||，‎ 所以0，‎ 又，‎ 所以2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量模的运算，熟记运算性质是 关键，属基础题．‎ ‎7.等差数列中，，为等差数列的前n项和，则( )‎ A. 9 B. 18 C. 27 D. 54‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等差数列的性质求得a5，再由考查等差数列的前n项和公式求S9．‎ ‎【详解】在等差数列{an}中，由a2+a5+a8＝3，得3a5＝3，即a5＝1．‎ ‎∴S9．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．‎ ‎8.的展开式中常数项为( )‎ A. -240 B. -160 C. 240 D. 160‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二项式的通项，令，代入即可求解展开式的常数项，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，二项式展开式的通项为，‎ 当时，，即展开式的常数项为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知四个命题：‎ ‎①如果向量与共线，则或；‎ ‎②是的充分不必要条件；‎ ‎③命题：，的否定是：，；‎ ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.‎ 以上命题正确的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线定理可判断①；由充分必要条件的定义可判断②；由特称命题的否定为全称命题，可判断③；由指数函数的单调性可判断④．‎ ‎【详解】①，如果向量与共线，可得xy，不一定或，故①错误；‎ ‎②，|x|≤3⇔﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，‎ x≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故②错误；‎ ‎③，命题p：∃x0∈（0，2），的否定 是￢p：∀x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③错误；‎ ‎④，“指数函数y＝ax是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 由于a＞1时，y＝ax为增函数，0＜a＜1时，y＝ax为减函数，此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，故④正确．其中正确个数为1．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是向量共线定理和充分必要条件的判断、命题的否定和三段论，考查推理能力，属于基础题．‎ ‎10.已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，‎ 相对于原数据（ ）‎ A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出数据x1，x2，…，x5的方差S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（2﹣2）2]＞1，从而数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．‎ ‎【详解】∵数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，‎ ‎∴[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（2﹣2）2]＝1，‎ 即[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]＝1，‎ 又数据x1，x2，…，x10的平均值为2，‎ ‎∴数据x1，x2，…，x10的方差S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2]＞1，‎ ‎∴数据x1，x2，…，x5相对于原数据变得比较不稳定．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查方差的求法及应用，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎11.《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为、高为,则该容器外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出外接球的半径，进一步利用球的表面积公式的应用求出结果 ‎【详解】根据已知条件，圆锥的底面积为8π，所以π•r2＝8π，解得圆锥的底面半径为 ‎，‎ 由题外接球球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球半径为R,则，解得 ‎ 所以表面积．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：组合体的外接球的半径的求法及应用，球的表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎12.已知为定义在上的奇函数，且满足，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得函数的周期为4，可得f（10）＝f（2+8）＝f（2）＝0．‎ ‎【详解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），‎ 又f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（2+x）＝﹣f（x），‎ 则f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），‎ 即f（4+x）＝f（x），‎ ‎∴f（x）为以4为周期的周期函数，‎ 由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（0）＝0，‎ ‎∴f（10）＝f（2+8）＝f（2）＝0．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎13.已知，若将其图像右移个单位后,图象关于原点对称，则的最小值是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．‎ ‎【详解】∵f（x）＝sinxcosx＝2sin（x） （x∈R），‎ 若将其图象右移φ（φ＞0）个单位后，可得y＝2sin（x﹣φ）的图象；‎ 若所得图象关于原点对称，则﹣φkπ，k∈Z，‎ 故φ的最小值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎14.已知双曲线的离心率为,过其右焦点作斜率为的直线，交双曲线的两条渐近线于两点（点在轴上方），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的离心率可得a＝b，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．‎ 详解】由双曲线的离心率为，可得ca，‎ 即有a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），‎ 由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），‎ 由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），‎ 设λ，即有0﹣2c＝λ（0），‎ 解得λ＝3，即则3．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ ‎15.设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（x）•f（y）＝f（x+y），令x＝n，y＝1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．‎ ‎【详解】∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），‎ ‎∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），‎ 即f（1），‎ ‎∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，‎ ‎∴an＝f（n）＝（）n，‎ ‎∴Sn1﹣（）n∈[，1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎16.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣y对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到z＝x﹣y的最大值．‎ ‎【详解】作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）‎ 将直线l：z＝x﹣y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值；‎ ‎∴z最大值＝2；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．‎ ‎17.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为 _________．‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，求得，由，可得，解得，可得直线的方程，与抛物线方程联立，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，可得，‎ 由，由抛物线的定义，可得，解得，‎ 代入抛物线的方程可得或，‎ 当时，，‎ 则直线的方程为，即，‎ 代入，解得；‎ 同理当时，解得，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档试题.‎ ‎18.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_____．‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ 试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．‎ 考点：逻辑推理．‎ ‎19.若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将有且只有一个零点问题转化成a＝﹣lnx ‎，两函数有一个交点，然后令g（x）＝﹣lnx，对g（x）进行单调性分析，即可得到g（x）的大致图象，即可得到a的值．‎ ‎【详解】由题意，可知：‎ 令0，‎ 即：a＝﹣lnx，x＞0．‎ 可设g（x）＝﹣lnx，x＞0．‎ 则g′（x），x＞0．‎ ‎①当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；‎ ‎②当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；‎ ‎③当x＝1时，g′（x）＝0，g（x）取极大值g（1）＝﹣1．‎ ‎∵函数有且只有一个零点，‎ ‎∴a只能取g（x）的最大值﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点睛】本题主要考查函数零点问题，构造函数的应用，用导数方法研究函数的单调性．属中档题．‎ 三、解答题：本题共6小题，20-24题每题12分，25-26题10分,选一题作答,解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎20.在中，角，，的对边分别是，且.‎ ‎（1）求角大小；‎ ‎（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1）首先利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C的值．（2）利用（1‎ ‎）的结论，进一步利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．‎ 详解】（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosC．‎ 利用正弦定理sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosC，‎ 所以sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosC，‎ 由于0＜C＜π，‎ 解得C．‎ ‎（2）设公差为d的等差数列{an}的公差不为零，若a1cosC＝1，则a1＝2，‎ 且a1，a3，a7成等比数列，所以，解得d＝1．‎ 故an＝2+n﹣1＝n+1．‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，等差数列的性质的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎21.为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中的值及样本的中位数与众数；‎ ‎（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件,求事件发生的概率.‎ ‎（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)；(3)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据小矩形的面积之和等于1，列出方程，求得的值，根据中位数定义估计中位数的范围，在列出方程求解中位数，再根据众数的定义，即可求解.‎ ‎（2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率，即可求解；‎ ‎（3）根据题意，得到随机变量服从二项分布，再利用二项分布的期望公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，‎ 可知样本的中位数在第4组中，不妨设为，‎ 则，解得，‎ 即样本的中位数为，‎ 由频率分布直方图可知，样本的众数为.‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，在与两个分数段的学生人数分别为和，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，‎ 则事件M发生的概率为，即事件M发生的概率为.‎ ‎（3）从考生中随机抽取三名,则随机变量为获得三等奖的人数,则，‎ 由频率分布直方图知，从考升中任抽取1人，此生获得三等奖的概率为，‎ 所以随机变量服从二项分布，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.343‎ ‎0.441‎ ‎0.189‎ ‎0.027‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟练频率分布直方图的性质，正确确定随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎22.如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, ，,，为等边三角形.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)略；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，从而得到平面，由此可证得；‎ ‎（2）推导出，以B为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：在四棱锥中，四边形是直角梯形，，,，为等边三角形，‎ 所以，所以，,‎ 所以，又由，所以平面，‎ 又因为平面，所以；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，得，‎ 由图形可知二面角的平面角是钝角，‎ 设二面角的平面角为，‎ 所以，‎ 即二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎23.已知椭圆的离心率为，点为椭圆上一点. ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知两条互相垂直的直线，经过椭圆的右焦点，与椭圆交于四点，求四边形面积的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l1，l2的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1‎ 故椭圆C的方程为；‎ ‎（2）当直线l1的方程为x＝1时，此时直线l2与x轴重合，‎ 此时|AB|＝3，|MN|＝4，‎ ‎∴四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|＝6．‎ 设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线l1：x＝ky+1，直线l2：xy+1，‎ 由x＝ky+1和椭圆1，可得（3k2+4）y2+6ky﹣9＝0，‎ 判别式显然大于0，y1+y2，y1y2，‎ 则|AB|••，‎ 把上式中的k换为，可得|MN|‎ 则有四边形AMBN面积为S|AB|•|MN|••，‎ 令1+k2＝t，则3+4k2＝4t﹣1，3k2+4＝3t+1，‎ 则S，‎ ‎∴t＞1，‎ ‎∴01，‎ ‎∴y＝﹣（）2，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，‎ ‎∴y∈（12，]，‎ ‎∴S∈[，6）‎ 故四边形PMQN面积的取值范围是 ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于难题．‎ ‎24.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时,对于任意正实数，不等式恒成立，试判断实数的大小关系.‎ ‎【答案】(1)当时增；减；当时减；增；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性；‎ ‎（2）设，求导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化为，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 令，解得，‎ 当时，在上，，函数单调递增；‎ 在上，，函数单调递减.‎ 当时，在上，，函数单调递减；‎ 在上，，函数单调递增.‎ 综上可得：当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）当时，设 则，令，即，解得，‎ 当时，，即单调递增，‎ 当时，，即单调递减，‎ 所以，‎ 要使得不等式恒成立，只需，即，‎ 所以，故实数的大小关系为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 请考生注意:25-26两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎25.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切； ‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4‎ ‎，由此能求出曲线C的极坐标方程．（2）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由2sin（2），由此能求出△MON面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）∵直线l的极坐标方程为，‎ ‎∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，‎ 曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，‎ 可得r2，‎ ‎∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），‎ ‎∴曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，‎ 即．‎ ‎（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），‎ ‎ ‎ ‎4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2 ‎ ‎＝sin2θ2sin（2），‎ 当时，，故 所以△MON面积的最大值为2．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎26.已知函数的定义域为；‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由定义域为R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得实数m的取值范围（2）根据（1）实数t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．‎ ‎【详解】(1)函数的定义域为R，‎ 那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0对任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，‎ 根据绝对值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3‎ ‎∴3﹣m≥0，所以m≤3，‎ 故实数m的取值范围（﹣∞，3]；‎ ‎（2）由（1）可知m的最大值为3，即t＝3，‎ 那么a2+b2+c2＝t2＝9，‎ 则a2+1+b2+1+c2+1＝12，‎ 由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，‎ ‎∴（），当a＝b＝c时取等号，‎ 故得的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数最值的求解，转化思想和柯西不等式的应用．属于中档题 ‎ ‎ ‎ ‎