2018届二轮复习圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题课件（全国通用）
7
.
3
.
3
圆锥曲线中的定点、
定值与存在性问题
-
2
-
圆锥曲线中的定点问题
(
多维探究
)
解题策略一
直接法
(1)
求
C
的方程
;
(2)
设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
,
B
两点
.
若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为
-
1,
证明
:
l
过定点
.
-
3
-
难点突破
(1)
求椭圆方程需要两个条件
,
由椭圆的对称性知
在椭圆上
,
这只能算一个条件
,
将
P
1
(1,1)
代入椭圆方程与
P
3
代入椭圆方程的比较中
P
1
(1,1)
不在椭圆上
,
知两点易求椭圆方程
.
(2)
证明直线
l
过定点可根据条件直接用参数表示出直线方程
,
得到形如
f
(
x
,
y
)
+
λ
g
(
x
,
y
)
=
0
的形式
,
且方程对参数的任意值都成立
,
解方
程组
得定点
.
-
4
-
解
(1)
由于
P
3
,
P
4
两点关于
y
轴对称
,
故由题设知
C
经过
P
3
,
P
4
两点
.
(2)
设直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,
如果
l
与
x
轴垂直
,
设
l
:
x
=t
,
由题设知
t
≠0,
且
|t|<
2,
-
5
-
从而可设
l
:
y
=kx+m
(
m
≠1)
.
所以
l
过定点
(2,
-
1)
.
-
6
-
解题心得
证明直线和曲线过定点
,
如果定点坐标没有给出
,
一般可直接求直线和曲线的方程
,
然后根据方程的形式确定其过哪个定点
;
如果得到的方程形如
f
(
x
,
y
)
+
λ
g
(
x
,
y
)
=
0,
且方程对参数的任意值都
成立
,
则令
解方程组得定点
.
-
7
-
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
若过点
A
作圆
M
:(
x+
1)
2
+y
2
=r
2
(0
b>
0)
的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
过
F
2
的直线
l
交椭圆于
A
,
B
两点
,
△
ABF
1
的周长为
8,
且
△
AF
1
F
2
的面积最大时
,
△
AF
1
F
2
为正三角形
.
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
若
MN
是椭圆
C
经过原点的弦
,
MN
∥
AB
,
求证
:
为定值
.
解
(1)
由已知
A
,
B
在椭圆上
,
可得
|AF
1
|+|AF
2
|=|BF
1
|+|BF
2
|=
2
a
,
又
△
ABF
1
的周长为
8,
所以
|AF
1
|+|AF
2
|+|BF
1
|+|BF
2
|=
4
a=
8,
即
a=
2,
由椭圆的对称性可得
,
△
AF
1
F
2
为正三角形当且仅当
A
为椭圆短轴顶点
,
则
a=
2
c
,
即
c=
1,
b
2
=a
2
-c
2
=
3,
则椭圆
C
的方程为
=
1
.
-
20
-
(2)
证明
:
若直线
l
的斜率不存在
,
即
l
:
x
=
1,
若直线
l
的斜率存在
,
设直线
l
:
y
=k
(
x-
1),
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
-
21
-
圆锥曲线中的存在性问题
解题策略
肯定顺推法
例
4
(2017
黑龙江大庆三模
,
理
20)
已知中心在原点
O
,
焦点在
x
轴上
(1)
求椭圆的方程
;
(2)
椭圆左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
过
F
2
的直线
l
与椭圆交于不同的两点
A
,
B
,
则
△
F
1
AB
的内切圆的面积是否存在最大值
?
若存在
,
求出这个最大值及此时的直线方程
;
若不存在
,
请说明理由
.
-
22
-
难点突破
(1)
设椭圆方程
,
由题意列关于
a
,
b
,
c
的方程组求解
a
,
b
,
c
的值
,
则椭圆方程可求
;
(2)
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
不妨设
y
1
>
0,
y
2
<
0,
设
△
F
1
AB
的内切圆的半径
立
,
从而可表示
△
F
1
AB
的面积
,
利用换元法
,
借助于导数
,
即可求得结论
.
-
23
-
(2)
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
不妨设
y
1
>
0,
y
2
<
0,
设
△
F
1
AB
的内切圆的半径为
R
,
-
24
-
-
25
-
解题心得
存在性问题通常用
“
肯定顺推法
”,
将不确定性问题明朗化
,
其步骤为假设满足条件的元素
(
点、直线、曲线或参数
)
存在
,
用待定系数法设出
,
列出关于待定系数的方程组
,
若方程组有实数解
,
则元素
(
点、直线、曲线或参数
)
存在
;
否则
,
元素
(
点、直线、曲线或参数
)
不存在
.
-
26
-
(1)
求椭圆
E
的方程
;
(2)
设
O
为坐标原点
,
过点
P
的动直线与椭圆交于
A
,
B
两点
,
是否存在常数
λ
,
使得
为定值
?
若存在
,
求
λ
的值
;
若不存在
,
请说明理由
.
-
27
-
解
(1)
由已知
,
点
C
,
D
的坐标分别为
(0,
-b
),(0,
b
)
.
-
28
-
-
29
-
解析几何化简中的换元法
解题策略
换元法
(1)
求椭圆
C
1
与抛物线
C
2
的标准方程
;
(2)
过
(1,0)
的两条相互垂直直线与抛物线
C
2
有四个交点
,
求这四个点围成四边形的面积的最小值
.
-
30
-
∴
p=
4,
∴
抛物线
C
2
的标准方程为
y
2
=
8
x.
(2)
由题意易得两条直线的斜率存在且不为
0,
设其中一条直线
l
1
的斜率为
k
,
直线
l
1
方程为
y=k
(
x-
1),
则另一条直线
l
2
的方程为
同理设直线
l
2
与抛物线
C
2
的交点为
C
,
D
,
-
31
-
∴
当两直线的斜率分别为
1
和
-
1
时
,
四边形的面积最小
,
最小值为
96
.
-
32
-
解题心得
解析几何中常用的化简策略
——
根号内开不出
,
便把根号外的项往根号里面拿
.
使用换元法后
,
注意新变量的取值范围
.
-
33
-
对点训练
5
已知抛物线
E
:
y
2
=
2
px
(
p>
0)
的准线与
x
轴交于点
K
,
过点
K
作圆
C
:(
x-
5)
2
+y
2
=
9
的两条切线
,
切点为
M
,
N
,
|MN|=
3
.
(1)
求抛物线
E
的方程
;
(2)
设
A
,
B
是抛物线
E
上分别位于
x
轴两侧的两个动点
,
且
(
其中
O
为坐标原点
)
.
①
求证
:
直线
AB
必过定点
,
并求出该定点
Q
的坐标
;
②
过点
Q
作
AB
的垂线与抛物线交于
G
,
D
两点
,
求四边形
AGBD
面积的最小值
.
-
34
-
-
35
-
故
S
min
=
88,
当且仅当
m=±
1
时取到最小值
88
.
-
36
-
解析几何化简中的双参数问题
解题策略
参数法
例
6
已知椭圆
C
: (
a>b>
0)
的四个顶点是一边长为
2,
一内角为
60°
的菱形的四个顶点
.
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
如果直线
y=kx
(
k
≠0)
交椭圆
C
于不同的两点
E
,
F
,
证明
:
点
Q
(1,0)
始终在以
EF
为直径的圆内
;
-
37
-
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
因为显然直线
AB
有斜率
,
-
38
-
因直线
l
:
y
=mx+t
(
m
≠0),
-
39
-
解题心得
第一步
,
走解题程序
:
直线
l
与曲线
C
交于
A
,
B
两点
,
设方程
⇒
联立方程组
⇒
整理化简
⇒
两根之和、两根之积、根的判别式
.
第二步
,
与条件对接
:
与条件等式对接的转化形式为
:
将条件等式转化为关于
x
1
,
x
2
的表达式或关于
y
1
,
y
2
的表达式
,
然后
,
解出两个参数之间的关系式
,
将双参数问题转换成一个参数的问题
,
然后用函数的方法处理
.
-
40
-
对点训练
6
已知椭圆
C
: (
a>b>
0)
的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系
,
直线
l
:
x-y
+ =
0
与以原点为圆心
,
以椭圆
C
的短半轴长为半径的圆相切
.
(1)
求椭圆
C
的方程
;
(2)
设
M
是椭圆的上顶点
,
过点
M
分别作直线
MA
,
MB
交椭圆于
A
,
B
两点
,
设两直线的斜率分别为
k
1
,
k
2
,
且
k
1
+k
2
=
4,
证明
:
直线
AB
过定点
-
41
-
(2)
①
若直线
AB
的斜率不存在
,
设方程为
x=x
0
,
则点
A
(
x
0
,
y
0
),
B
(
x
0
,
-y
0
)
.
-
42
-
