安徽省黄山市黟县中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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安徽省黄山市黟县中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 高一数学 一、选择题(每题只有一个正确选项,每题5分计60分)‎ ‎1.若全集,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为全集,集合 ‎,‎ ‎,故选D.‎ ‎2.下列函数为同一函数的是  ‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过化解解析式,可得出选项A两函数解析式不同,不是同一函数.通过求定义域,可判断选项C,D错误.‎ 故选B.‎ ‎【详解】解:A.,,解析式不同,不是同一函数;B.与的解析式相同,定义域相同,是同一函数;C.的定义域为,的定义域为R,定义域不同,不是同一函数;D.的定义域为,的定义域为,定义域不同,不是同一函数.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】考查函数的三要素,判断两函数是否相同的方法:定义域和解析式是否都相同.‎ ‎3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2-x,则f(1)=(  )‎ A. - B. -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-,故选A.‎ ‎4.设,,,则a,b,c的大小关系为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用对数的运算性质比较a,b,c与0和1的大小得答案.‎ ‎【详解】解:,,,.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要利用对数的运算性质对数值的大小进行比较,是基础题.‎ ‎5.已知,那么等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由 ‎.故选C.‎ 考点:本题考查对数和指数运算.‎ ‎6.下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以看出 , , 在定义域内都没有单调性.‎ 故选D.‎ ‎【详解】解:,和在定义域内都没有单调性.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】考查反比例函数,二次函数及函数的单调性,奇函数的定义.‎ ‎7.已知函数的图象如图所示,则函数的图象为  ‎ A ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的图象,可得a,b的范围,结合指数函数的性质,即可得函数的图象.‎ ‎【详解】解:通过函数的图象可知:,当时,可得,即.函数是递增函数;排除C,D.当时,可得,,,.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质,属于基础题.‎ ‎8.设,则使为奇函数且在上单调递减的值的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数单调性,先得到,再由奇函数的定义,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数在上单调递减,所以,‎ 又函数奇函数,所以只需;‎ 当时,有,满足题意;‎ 当时,,不满足题意;‎ 当时,,满足题意;‎ 当时,,定义域为,不关于原点对称,所以函数非奇非偶,不满足题意;‎ 综上,满足题意的有和.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性确定参数的取值,熟记幂函数的单调性,以及函数奇偶性的概念即可,属于常考题型.‎ ‎9.若偶函数在(-∞,-1)上是增函数,则下列关系式中成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为是偶函数,所以,又因为在(-∞,-1)上是增函数, ,所以有,即.‎ 故选A ‎10.若是不等式的一个解,则该不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,求出,再由对数函数的性质,得到,求解,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为是不等式的一个解,‎ 所以,因此,‎ 所以由可得:,‎ 即,解得:或,‎ 即不等式的解集为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查解对数型不等式,熟记对数函数的性质,以及一元二次不等式的解法即可,属于常考题型.‎ ‎11.已知函数是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是 A. (0,3) B. (0,3] C. (0,2) D. (0,2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为上的减函数,根据和时,均单调递减,且,即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为上的减函数,‎ 所以当时,递减,即,当时,递减,即,‎ 且,解得,‎ 综上可知实数的取值范围是,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用,其中熟练掌握分段的基本性质,列出相应的不等式关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎12.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:函数是定义在上的偶函数,∴,等价为),即.∵函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递增,∴)等价为.即,∴,解得,故选项为C.‎ 考点:(1)函数的奇偶性与单调性;(2)对数不等式.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系,综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得:,即,结合单调性得:将不等式进行等价转化即可得到结论.‎ 二、填空题(每题5分,计20分)‎ ‎13.设函数=,则= ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得,‎ ‎∴.‎ 答案:.‎ ‎14.函数的图象恒过定点,在幂函数的图象上,则 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意有:,‎ 因此满足,则 所以.‎ 故答案为3.‎ ‎15.已知的定义域为,则函数的定义域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,得到,求解,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为的定义域为,‎ 因此求函数的定义域,只需满足,‎ 即,即,即,‎ 因此,函数的定义域为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域,熟记抽象函数定义域的求法即可,属于常考题型.‎ ‎16.已知在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 令,则由题意可得函数在区间上为增函数且,故有,由此解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】令,则由函数,在区间上为减函数,‎ 可得函数在区间上为增函数且,故有,解得,故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题;求复合函数的单调区间的步骤:(1)确定定义域;(2)将复合函数分解成两个基本初等函数;(3)分别确定两基本初等函数的单调性;(4)按“同增异减”的原则,确定原函数的单调区间.‎ 三、解答题 ‎17.计算化简 ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数幂的运算法则,直接计算,即可得出结果;‎ ‎(2)根据指数幂的运算法则,以及对数的运算性质,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1);‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算,熟记运算法则即可,属于常考题型.‎ ‎18.设函数的定义域为,函数的值域为.‎ ‎(1)求与;‎ ‎(2)计算.‎ ‎【答案】(1);;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数的解析式,得到,求解,即可得出;由,结合二次函数与对数函数的性质,即可得出;‎ ‎(2)由(1)的结果,求出,再与集合求交集,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)为使有意义,只需,即,‎ 解得:,即;‎ 因为,‎ 所以;‎ ‎(2)由(1)可得:,‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查求具体函数定义域,对数型复合函数的值域,以及补集与交集的混合运算,熟记对数函数性质,交集与补集的概念即可,属于常考题型.‎ ‎19.已知在上是单调递减的一次函数,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由题意,设,根据,得到,由对应系数相等,求出,即可得出结果;‎ ‎(2)先由(1)得,分别讨论,,三种情况,根据二次函数的性质,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为在上是单调递减的一次函数,‎ 所以设,‎ 又,所以,‎ 即,所以,解得:,‎ 因此;‎ ‎(2)由(1)可得:是开口向上,对称轴为的二次函数,‎ 当时,函数在上单调递增,所以;‎ 当,即时,函数在上单调递减,所以;‎ 当时,,函数在上单调递减,在 上单调递增,所以;‎ 综上,函数在上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查求一次函数解析式,以及二次函数的值域,利用待定系数法求函数解析式,熟记二次函数的性质即可,属于常考题型.‎ ‎20.函数是上的奇函数,当时,.‎ ‎(1)求的解析式并画出函数的图像;‎ ‎(2)求的根的个数.‎ ‎【答案】(1);图像见详解;(2)见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,得,根据已知解析式,得到,再由函数是奇函数,即可得出解析式;根据解析式作出图像即可;‎ ‎(2)由(1)的图像,得到与直线交点个数的情况,再由方程的根的个数,即是与直线的交点个数,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)若,则,因为当时,,‎ 所以,‎ 又函数是上的奇函数,所以,因此;‎ 易知,‎ 所以;‎ 画出其图像如下:‎ ‎(2)由(1)中图像可得:当或时,与直线有一个交点;‎ 当或时,与直线有两个交点;‎ 当时,与直线有三个交点;‎ 因为方程的根的个数,即是与直线的交点个数,‎ 因此,当或时,的根的个数为个;‎ 当或时,的根的个数为个;‎ 当时,的根的个数为个;‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式,以及判定方程根的个数情况,熟记函数奇偶性的性质,以及数形结合的方法求解方程根的问题即可,属于常考题型.‎ ‎21.已知函数f(x)= 为奇函数.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;‎ ‎(3)解关于x的不等式f(1+x2)+f(-x2+2x-4)>0.‎ ‎【答案】(1) b=0(2)见解析(3) (1,)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据,求得的值;‎ 由可得,再利用函数的单调性的定义证明函数在区间 上是减函数;‎ 由题意可得,再根据函数在区间上是减函数,可得,且,由此求得的范围.‎ 解析:(1)∵函数为定义在上的奇函数,‎ ‎(2)由(1)可得,下面证明函数在区间(1,+∞)上是减函数.‎ 证明设,‎ 则有,‎ 再根据,可得 ,,,‎ 即 函数在区间(1,+∞)上是减函数.‎ ‎(3)由不等式 可得 f(1+x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4),‎ 再根据函数在区间(1,+∞)上是减函数,可得1+x2<x2-2x+4,且 求得,故不等式的解集为(1,).‎ 点睛:根据函数的奇偶性求得参数的值,在解答函数中的不等式的问题中,需要用到函数的单调性和奇偶性,如果条件中没有给出单调性或者奇偶性就先证得,然后利用单调性求得结果.‎ ‎22.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).‎ ‎(1)若f(x)定义域为R,求a的取值范围;‎ ‎(2)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;‎ ‎(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1) ; (2)单调递增区间是,单调递减区间是; (3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax2+2x+3>0对任意x∈R恒成立.‎ 显然a=0时不合题意,从而必有 解之即可.‎ ‎(2)由f(1)=1,可得f(x)=log4(-x2+2x+3).求出定义域,利用复合函数单调性判断f(x)的单调区间;‎ ‎(3) 假设存在实数a使f(x)最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,由此可求a的值.‎ ‎【详解】(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax2+2x+3>0对任意x∈R恒成立.‎ 显然a=0时不合题意,从而必有即 解得a>.‎ 即a的取值范围是.‎ ‎(2)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).‎ 由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函数定义域为(-1,3).‎ 令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).‎ ‎(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,‎ 因此应有解得a=‎ 故存在实数a=使f(x)的最小值为0.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域,单调性以及最值,属中档题.‎ ‎ ‎
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