创新设计教师用书人教A版理科高考数学第一轮复习细致讲解练第三篇三角函数解三角形

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第三篇 三角函数、解三角形 第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 [最新考纲] 1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形． (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．弧度记作 rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180rad ②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 弧长 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2lr＝1 2|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y 叫做α的正弦，记作 sin α x 叫做α的余弦，记作 cos α y x 叫做α的正切，记作 tan α Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 续表 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线 辨 析 感 悟 1．对角的概念的认识 (1)小于 90°的角是锐角．(×) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30°.(×) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×) 2．任意角的三角函数定义的理解 (5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点 P(－1,2)，则 sin α＝ 2 －12＋22 ＝2 5 5 . (√) (6)(2013·济南模拟改编)点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象 限． (√) (7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos θ＝ 5 5 . (×) [感悟·提升] 1．一个区别 “小于 90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下： 小于 90°的角的范围：－∞，π 2 ，锐角的范围：0，π 2 ，第一象限角的范围： 2kπ，2kπ＋π 2 (k∈Z)．所以说小于 90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角， 反之不成立．如(1)、(2)． 2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止 角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三 角函数值有可能有两解，如(7). 考点一 象限角与三角函数值的符号判断 【例 1】 (1)若 sin α·tan α＜0，且cos α tan α ＜0，则角α是( )． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4 的值( )． A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存 在 解析 (1)由 sin α·tan α＜0 可知 sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角， 由cos α tan α ＜0，可知 cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三 象限角． (2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 答案 (1)C (2)A 规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角 函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符 号，再判断角所在象限． 【训练 1】 设θ是第三象限角，且|cos θ 2|＝－cos θ 2 ，则θ 2 是 ( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 由θ是第三象限角，知θ 2 为第二或第四象限角， ∵|cos θ 2|＝－cos θ 2 ，∴cos θ 2 ≤0，知θ 2 为第二象限角． 答案 B 考点二 三角函数定义的应用 【例 2】 已知角θ的终边经过点 P(－ 3，m)(m≠0)且 sin θ＝ 2 4 m，试判断角θ所 在的象限，并求 cos θ和 tan θ的值． 解 由题意得，r＝ 3＋m2，∴sin θ＝ m 3＋m2 ＝ 2 4 m. ∵m≠0，∴m＝± 5.故角θ是第二或第三象限角． 当 m＝ 5时，r＝2 2，点 P 的坐标为(－ 3， 5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－ 3 2 2 ＝－ 6 4 ，tan θ＝y x ＝ 5 － 3 ＝－ 15 3 . 当 m＝－ 5时，r＝2 2，点 P 的坐标为(－ 3，－ 5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－ 3 2 2 ＝－ 6 4 ，tan θ＝y x ＝－ 5 － 3 ＝ 15 3 . 综上可知，cos θ＝－ 6 4 ，tan θ＝－ 15 3 或 cos θ＝－ 6 4 ，tan θ＝ 15 3 . 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终 边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目 中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在 象限不同)． 【训练 2】 已知角α的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋ 3 cos α 的值． 解 设角α终边上任一点为 P(k，－3k)， 则 r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|. 当 k＞0 时，r＝ 10k， ∴sin α＝－3k 10k ＝－ 3 10 ， 1 cos α ＝ 10k k ＝ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝－3 10＋3 10＝0； 当 k＜0 时，r＝－ 10k， ∴sin α＝ －3k － 10k ＝ 3 10 ， 1 cos α ＝－ 10k k ＝－ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝3 10－3 10＝0. 综上，10sin α＋ 3 cos α ＝0. 考点三 扇形弧长、面积公式的应用 【例 3】 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为 R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 审题路线 (1)角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S 弓＝S 扇－S△⇒分别求 S 扇＝1 2lr，S △＝1 2r2sin α⇒计算得 S 弓． (2)由周长 C 与半径 R 的关系确定 R 与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定 S 扇 与α的关系式⇒求解最值． 解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，则 α＝60°＝π 3 ，R＝10，l＝π 3 ×10＝10π 3 (cm)， S 弓＝S 扇－S△＝1 2 ×10π 3 ×10－1 2 ×102×sin π 3 ＝50 3 π－50 3 2 ＝50 π 3 － 3 2 (cm2)． (2)法一 扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝ C 2＋α ， ∴S 扇＝1 2α·R2＝1 2α· C 2＋α 2 ＝C2 2 α· 1 4＋4α＋α2 ＝C2 2 · 1 4＋α＋4 α ≤C2 16. 当且仅当α2＝4，即α＝2 rad 时，扇形面积有最大值C2 16. 法二 由已知，得 l＋2R＝C， ∴S 扇＝1 2lR＝1 2(C－2R)R＝1 2(－2R2＋RC) ＝－ R－C 4 2＋C2 16. 故当 R＝C 4 ，l＝2R，α＝2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为C2 16. 规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等 式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. 学生用书 第 50 页 【训练 3】 (1)一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那 么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？ (2)一扇形的周长为 20 cm；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积 最大？ 解 (1)设扇形的圆心角为θ rad，则扇形的周长是 2r＋rθ. 依题意：2r＋rθ＝πr， ∴θ＝(π－2)rad. ∴扇形的面积 S＝1 2r2θ＝1 2(π－2)r2. (2)设扇形的半径为 r，弧长为 l， 则 l＋2r＝20，即 l＝20－2r(0＜r＜10)． ∴扇形的面积 S＝1 2lr＝1 2(20－2r)r ＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25. ∴当 r＝5 cm 时，S 有最大值 25 cm2， 此时 l＝10 cm，α＝l r ＝2 rad. 因此，当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值． 1．在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位 圆的交点．|OP|＝r 一定是正值． 2．三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二 正弦，三正切，四余弦． 3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 创新突破 4——以任意角为背景的应用问题 【典例】 (2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初 始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动，当圆滚 动到圆心位于(2,1)时，OP → 的坐标为________． 突破 1：理解点 P 转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形． 突破 2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长． 突破 3：由几何图形建立 P 点坐标与边长的关系． 解析 如图，作 CQ∥x 轴，PQ⊥CQ, Q 为垂足． 根据题意得劣弧 ＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ＝2－π 2 ，|CQ| ＝cos 2－π 2 ＝sin 2， |PQ|＝sin 2－π 2 ＝－cos 2， 所以 P 点的横坐标为 2－|CQ|＝2－sin 2，P 点的纵坐标为 1＋|PQ|＝1－cos 2，所 以 P 点的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)， 故OP → ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案 (2－sin 2,1－cos 2) [反思感悟] (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解 三角形等知识来解决． (2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等． 【自主体验】 已知圆 O：x2＋y2＝4 与 y 轴正半轴的交点为 M，点 M 沿圆 O 顺时针运动π 2 弧长 到达点 N，以 ON 为终边的角记为α，则 tan α＝( )． A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析 圆的半径为 2，π 2 的弧长对应的圆心角为π 4 ，故以 ON 为终边的角为 α|α＝2kπ＋π 4 ，k∈Z ，故 tan α＝1. 答案 B 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．若 sin α＜0 且 tan α＞0，则α是( )． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象 限角 解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴；又 tan α＞0， ∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C 2．(2014·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆 心角的弧度数为( )． A. π 3 B.2π 3 C. 3 D. 2 解析 设圆的半径为 R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为 3R，∴圆弧长 为 3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为 3R R ＝ 3. 答案 C 3．点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 按逆时针方向运动2π 3 弧长到达 Q 点， 则 Q 的坐标为( )． A. －1 2 ， 3 2 B. － 3 2 ，－1 2 C. －1 2 ，－ 3 2 D. － 3 2 ，1 2 解析 由弧长公式得，P 点逆时针转过的角度α＝2π 3 ，所以 Q 点的坐标为 cos2π 3 ，sin2π 3 ，即 －1 2 ， 3 2 . 答案 A 4．已知点 P sin 3π 4 ，cos 3π 4 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )． A.π 4 B.3π 4 C.5π 4 D.7π 4 解析 由 sin 3π 4 ＞0，cos 3π 4 ＜0 知角θ是第四象限的角， ∵tan θ＝ cos 3π 4 sin 3π 4 ＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π 4 . 答案 D 5．有下列命题： ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若 sin α＞0，则α是第一、二象限的角； ④若α是第二象限的角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cos α＝ －x x2＋y2. 其中正确的命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①正确，②不正确， ∵sin π 3 ＝sin 2π 3 ，而π 3 与2π 3 角的终边不相同． ③不正确．sin α＞0，α的终边也可能在 y 轴的正半轴上． ④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝x r ＝ x x2＋y2 ，不论角α在平面直角坐标 系的任何位置，结论都成立． 答案 A 二、填空题 6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4，y)是角θ终边上 一点，且 sin θ＝－2 5 5 ，则 y＝______. 解析 因为 sin θ＝ y 42＋y2 ＝－2 5 5 ，所以 y＜0，且 y2＝64，所以 y＝－8. 答案 －8 7. 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角α的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵 坐标为4 5 ，则 cos α＝____. 解析 因为 A 点纵坐标 yA＝4 5 ，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA＝－3 5 ，由三角函数的定义可得 cos α＝－3 5. 答案 －3 5 8．函数 y＝ 2cos x－1的定义域为________． 解析 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥1 2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x∈ 2kπ－π 3 ，2kπ＋π 3 (k∈Z)． 答案 2kπ－π 3 ，2kπ＋π 3 (k∈Z) 三、解答题 9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式－ 360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°. (2)试写出终边在直线 y＝－ 3x 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式－ 180°≤α<180°的元素α写出来． 解 (1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素 α为－300°，60°，420°； ②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为 －21°，339°，699°. (2)终边在 y＝－ 3x 上的角的集合是 S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝ k·360° ＋300°， k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋ 120°，k∈Z}，其 中适合 不等式 － 180°≤α<180°的元素α为－60°，120°. 10．(1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 (1)设圆心角是θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝10， 1 2θ·r2＝4， 解得 r＝4， θ＝1 2 或 r＝1， θ＝8 (舍去)． ∴扇形的圆心角为1 2. (2) 设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm， 则 1 2lr＝1， l＋2r＝4， 解得 r＝1， l＝2. ∴圆心角α＝l r ＝2. 如图，过 O 作 OH⊥AB 于 H，则∠AOH＝1 弧度． ∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB＝2sin 1 (cm)． 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α＞0， 则实数 a 的取值范围是( )． A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 解析 由 cos α≤0，sin α＞0 可知，角α的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上， 所以有 3a－9≤0， a＋2＞0， 解得－2＜a≤3. 答案 A 2．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若 sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若 cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析 由于第一象限角 370°不小于第二象限角 100°，故①错；当三角形的内角 为 90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于 sin π 6 ＝sin 5π 6 ，但π 6 与5π 6 的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0 时既不是第 二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 答案 A 二、填空题 3．若角α的终边落在直线 x＋y＝0 上，则 sin α 1－sin2 α ＋ 1－cos2α cos α ＝________. 解析 原式＝ sin α |cos α| ＋|sin α| cos α ，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与 cos α 的符号相反，所以原式＝0. 答案 0 三、解答题 4．已知 sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α 2 终边所在的象限； (3)试判断 tan α 2sin α 2cos α 2 的符号． 解 (1)由 sin α＜0，知α在第三、四象限或 y 轴的负半轴上； 由 tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为 α|2k＋1π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k∈Z . (2)由(2k＋1)π＜α＜2kπ＋3π 2 ， 得 kπ＋π 2 ＜α 2 ＜kπ＋3π 4 ，k∈Z， 故α 2 终边在第二、四象限． (3)当α 2 在第二象限时，tan α 2 ＜0，sin α 2 ＞0，cos α 2 ＜0， 所以 tan α 2sin α 2cos α 2 取正号； 当α 2 在第四象限时，tan α 2 ＜0，sin α 2 ＜0，cos α 2 ＞0， 所以 tan α 2sin α 2cos α 2 也取正号． 因此，tan α 2sin α 2cos α 2 取正号. 学生用书 第 51 页 第 2 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 [最新考纲] 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α ＝tan α. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公 式. 知 识 梳 理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α ＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 0 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 －1 2 － 3 2 －1 tan α 0 3 3 1 3 － 3 － 3 3 0 辨 析 感 悟 1．对三角函数关系式的理解 (1)若α，β为锐角，sin2 α＋cos2β＝1. (×) (2)若α∈R，则 tan α＝sin α cos α 恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知 sin α＝4 5 ，α∈ π 2 ，π ，则 cos α＝3 5.(×) 2．对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角α可以是任意角． (√) (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2 的 奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． (√) (6)角π＋α和α终边关于 y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用 (7)若 cos(nπ－θ)＝1 3(n∈Z)，则 cos θ＝1 3. (×) (8)(2013·广东卷改编)已知 sin 5π 2 ＋α ＝1 5 ，则 cos α＝－1 5.(×) [感悟·提升] 1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π 2 ＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)． 2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号， 需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化 任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数 名称和符号的确定． 考点一 同角三角函数基本关系式的应用 【例 1】 (1)已知 tan α＝2，则2sin α－3cos α 4sin α－9cos α ＝___________， 4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________. (2)(2014·山东省实验中学诊断)已知 sin θ·cos θ＝1 8 ，且π 4 ＜θ＜π 2 ，则 cos θ－sin θ 的值为________． 解析 (1)2sin α－3cos α 4sin α－9cos α ＝2tan α－3 4tan α－9 ＝2×2－3 4×2－9 ＝－1， 4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝4sin2α－3sin αcos α－5cos2α sin2 α＋cos2α ＝4tan2α－3tan α－5 tan2α＋1 ＝4×4－3×2－5 4＋1 ＝1. (2)当π 4 ＜θ＜π 2 时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0， 又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－1 4 ＝3 4 ， ∴cos θ－sin θ＝－ 3 2 . 答案 (1)－1 1 (2)－ 3 2 学生用书 第 52 页 规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于 sin α＋cos α，sin α－cos α， sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于 sin α，cos α的齐次式，往往化为关于 tan α的式子． 【训练 1】 (1)已知 sin α＋cos α＝1 5 ，0＜α＜π，则 tan α＝______. (2)已知 sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求 cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程 sin α＋cos α＝1 5 ， ① sin2α＋cos2α＝1， ② 由①得 cos α＝1 5 －sin α，将其代入②， 整理得 25sin2α－5sin α－12＝0. 又 0＜α＜π，∴ sin α＝4 5 ， cos α＝－3 5 ， ∴tan α＝－4 3. 法二 ∵sin α＋cos α＝1 5 ，∴(sin α＋cos α)2＝ 1 5 2， 即 1＋2sin αcos α＝ 1 25 ，∴2sin αcos α＝－24 25 ， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋24 25 ＝49 25. ∵sin αcos α＝－12 25 ＜0 且 0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝7 5 ， 由 sin α＋cos α＝1 5 ， sin α－cos α＝7 5 ， 得 sin α＝4 5 ， cos α＝－3 5 ， ∴tan α＝－4 3. (2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β，② 由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③ ①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4， ∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝3 8 ，即 cos α＝± 6 4 . 答案 (1)－4 3 (2)± 6 4 考点二 利用诱导公式化简三角函数式 【例 2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2) 设 f(α) ＝ 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos 3π 2 ＋α －sin2 π 2 ＋α (1 ＋ 2sin α≠0) ， 则 f －23π 6 ＝ ________. 解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋ 330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝ 3 2 × 3 2 ＋1 2 ×1 2 ＝1. (2)∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α 1＋sin2α＋sin α－cos2α ＝2sin αcos α＋cos α 2sin2α＋sin α ＝cos α1＋2sin α sin α1＋2sin α ＝ 1 tan α ， ∴f －23π 6 ＝ 1 tan －23π 6 ＝ 1 tan －4π＋π 6 ＝ 1 tan π 6 ＝ 3. 答案 (1)1 (2) 3 规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤： 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→ 0～2π的角的三角函数→锐角三角函数 注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号． 【训练 2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－ 540°)＝________. (2)化简：tanπ＋αcos2π＋αsin α－3π 2 cos－α－3πsin－3π－α ＝________. 解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0. (2)原式＝tan αcos αsin －2π＋ α＋π 2 cos3π＋α[－sin3π＋α] ＝tan αcos αsin π 2 ＋α －cos αsin α ＝tan αcos αcos α －cos αsin α ＝－tan αcos α sin α ＝－sin α cos α·cos α sin α ＝－1. 答案 (1)0 (2)－1 考点三 利用诱导公式求值 【例 3】 (1)已知 sin π 3 －α ＝1 2 ，则 cos π 6 ＋α ＝______； (2)已知 tan π 6 －α ＝ 3 3 ，则 tan 5 6π＋α ＝________. 解析 (1)∵ π 3 －α ＋ π 6 ＋α ＝π 2 ， ∴cos π 6 ＋α ＝cos π 2 － π 3 －α ＝sin π 3 －α ＝1 2. (2)∵ π 6 －α ＋ 5π 6 ＋α ＝π，∴tan 5 6π＋α ＝ －tan π－ 5 6π＋α ＝－tan π 6 －α ＝－ 3 3 . 答案 (1)1 2 (2)－ 3 3 规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π 3 －α与π 6 ＋α；π 3 ＋α与π 6 －α；π 4 ＋α与π 4 －α等，常见的互补关系有π 3 ＋θ与2π 3 －θ；π 4 ＋θ与3π 4 －θ等． 【训练 3】 (1)已知 sin 7π 12 ＋α ＝2 3 ，则 cos α－11π 12 ＝________； (2)若 tan(π＋α)＝－1 2 ，则 tan(3π－α)＝________. 解析 (1)cos α－11π 12 ＝cos 11π 12 －α ＝cos π－ π 12 ＋α ＝－cos π 12 ＋α ， 而 sin 7π 12 ＋α ＝sin π 2 ＋ π 12 ＋α ＝cos π 12 ＋α ＝2 3 ， 所以 cos α－11π 12 ＝－2 3. (2)因为 tan(π＋α)＝tan α＝－1 2 ， 所以 tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝1 2. 答案 (1)－2 3 (2)1 2 1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方 关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确 取舍． 2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切 互化法：主要利用公式 tan x＝sin x cos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利 用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2 θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2 θ)＝tan π 4 ＝…. 方法优化 2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 【典例】 (2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝ 10 2 ，则 tan 2α＝ ( )． A.4 3 B.3 4 C．－3 4 D．－4 3 [一般解法] 由 sin α＋2cos α＝ 10 2 ，得 sin α＝ 10 2 －2cos α，① 又 sin2α＋cos2α＝1，② 联立①②，解得 sin α＝3 10 10 ， cos α＝ 10 10 或 sin α＝－ 10 10 ， cos α＝3 10 10 . 所以 tan α＝sin α cos α ＝3 或－1 3. 当 tan α＝3 时，tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝ 2×3 1－32 ＝－3 4 ； 当 tan α＝－1 3 时，tan 2α＝ 2tan α 1－tan2 α ＝ 2× －1 3 1－ －1 3 2 ＝－3 4. 综上，tan 2α＝－3 4.故选 C. [优美解法] 法一 (直接法)两边平方，再同时除以 cos2 α，得 3tan2 α－8tan α－3＝0，tan α＝3 或 tan α＝－1 3 ，代入 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2 α ， 得到 tan 2α＝－3 4. 法二 (猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记 sin α＝ 3 10 ，cos α＝ 1 10 ， 这时 sin α＋2cos α＝ 10 2 符合要求，此时 tan α＝3，代入二倍角公式得到答案 C. [答案] C [反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号 问题； (2)注意公式的变形应用，如 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α 及 sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过 程的关键所在． 【自主体验】 (2013·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝4 3 0＜θ＜π 4 ，则sin θ－cos θ的值为( )． A. 2 3 B．－ 2 3 C.1 3 D．－1 3 解析 法一 ∵0＜θ＜π 4 ，∴cos θ＞sin θ， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16 9 ， ∴2sin θcos θ＝7 9 ， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－7 9 ＝2 9 ， ∴sin θ－cos θ＝－ 2 3 . 法二 ∵sin θ＋cos θ＝4 3 ，且θ∈ 0，π 4 . ∴θ＋π 4 ∈ π 4 ，π 2 ，sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π 4 ＝4 3 ， 即 sin θ＋π 4 ＝2 2 3 ，又 cos θ＋π 4 ＝ 1－sin2 θ＋π 4 ＝ 1－ 2 2 3 2＝1 3 ， ∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－ 2cos θ＋π 4 ＝－ 2 3 . 答案 B 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．已知α和β的终边关于直线 y＝x 对称，且β＝－π 3 ，则 sin α等于( )． A．－ 3 2 B. 3 2 C．－1 2 D.1 2 解析 因为α和β的终边关于直线 y＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋π 2(k∈Z)．又β＝－ π 3 ，所以α＝2kπ＋5π 6 (k∈Z)，即得 sin α＝1 2. 答案 D 2．(2014·临川一中一调)sin29π 6 ＋cos －29π 3 －tan25π 4 ＝( )． A．0 B.1 2 C．1 D．－1 2 解析 原式＝sin(4π＋5π 6 )＋cos(－10π＋π 3)－tan(6π＋π 4) ＝sin5π 6 ＋cosπ 3 －tanπ 4 ＝1 2 ＋1 2 －1＝0. 答案 A 3．(2014·郑州模拟) 1－2sinπ＋2cosπ－2＝( )． A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2 解析 1－2sinπ＋2cosπ－2＝ 1－2sin 2cos 2 ＝ sin 2－cos 22＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A 4．(2014·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，则 sin2 α－sin αcos α的值是( )． A.2 5 B．－2 5 C．－2 D．2 解析 由sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5 得tan α＋3 3－tan α ＝5 即 tan α＝2，所以 sin2 α－sin αcos α＝sin2 α－sin αcos α sin2 α＋cos2 α ＝tan2 α－tan α tan2 α＋1 ＝2 5. 答案 A 5．若 sin α是 5x2－7x－6＝0 的根，则 sin －α－3π 2 sin 3π 2 －α tan22π－α cos π 2 －α cos π 2 ＋α sinπ＋α ＝( )． A.3 5 B.5 3 C.4 5 D.5 4 解 析 由 5x2 － 7x － 6 ＝ 0 ， 得 x ＝ － 3 5 或 2. ∴ sin α ＝ － 3 5 . ∴ 原 式 ＝ cos α－cos α·tan2α sin α·－sin α·－sin α ＝ 1 －sin α ＝5 3. 答案 B 二、填空题 6．(2014·杭州模拟)如果 sin(π＋A)＝1 2 ，那么 cos 3 2π－A 的值是________． 解析 ∵sin(π＋A)＝1 2 ，∴－sin A＝1 2. ∴cos 3 2π－A ＝－sin A＝1 2. 答案 1 2 7．已知 sin α＋ π 12 ＝1 3 ，则 cos α＋7π 12 的值为________． 解析 cos α＋7π 12 ＝cos α＋ π 12 ＋π 2 ＝－sin α＋ π 12 ＝－1 3. 答案 －1 3 8．(2013·江南十校第一次考试)已知 sin π 12 －α ＝1 3 ，且－π＜α＜－π 2 ，则 cos π 12 －α ＝________. 解析 ∵sin π 12 －α ＝1 3 ， 又－π＜α＜－π 2 ， ∴7π 12 ＜ π 12 －α＜13π 12 ， ∴cos π 12 －α ＝－ 1－sin2 π 12 －α ＝－2 2 3 . 答案 －2 2 3 三、解答题 9．化简：sinkπ－αcos[k－1π－α] sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)． 解 当 k＝2n(n∈Z)时， 原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α] sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α ＝sin－α·cos－π－α sinπ＋α·cos α ＝－sin α－cos α －sin α·cos α ＝－1； 当 k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α] sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α] ＝sinπ－α·cos α sin α·cosπ＋α ＝ sin α·cos α sin α－cos α ＝－1. 综上，原式＝－1. 10．已知在△ABC 中，sin A＋cos A＝1 5. (1)求 sin Acos A 的值； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tan A 的值． 解 (1)∵sin A＋cos A＝1 5 ，① ∴两边平方得 1＋2sin Acos A＝ 1 25 ， ∴sin Acos A＝－12 25 ， (2)由 sin Acos A＝－12 25 ＜0，且 0＜A＜π， 可知 cos A＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋24 25 ＝49 25 ， 又 sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝7 5 ，② ∴由①，②可得 sin A＝4 5 ，cos A＝－3 5 ， ∴tan A＝sin A cos A ＝ 4 5 －3 5 ＝－4 3. 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．(2012·辽宁卷)已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)，则 tan α＝( )． A．－1 B．－ 2 2 C. 2 2 D．1 解析 法一 因为 sin α－cos α＝ 2， 所以 2sin α－π 4 ＝ 2，所以 sin α－π 4 ＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π 4 ，所以 tan α＝－1. 法二 因为 sin α－cos α＝ 2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以 sin 2α＝－1.因为α ∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以 2α＝3π 2 ，所以α＝3π 4 ，所以 tan α＝－1. 答案 A 2．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且 2tan(π－α)－3cos π 2 ＋β ＋5＝0，tan(π＋α) ＋6sin(π＋β)＝1, 则 sin α的值是( )． A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得 tan α＝3，又 sin2α＋cos2α＝1，α为锐角． 故 sin α＝3 10 10 . 答案 C 二、填空题 3．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________. 解析 sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋ cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244° ＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝45＋1 2 ＝91 2 . 答案 91 2 三、解答题 4．是否存在α∈ －π 2 ，π 2 ，β∈(0，π)，使等式 sin(3π－α)＝ 2cos π 2 －β ， 3cos(－ α)＝－ 2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解 假设存在角α，β满足条件， 则由已知条件可得 sin α＝ 2sin β， 3cos α＝ 2cos β， ① ② 由①2＋②2，得 sin2α＋3cos2α＝2. ∴sin2α＝1 2 ，∴sin α＝± 2 2 . ∵α∈ －π 2 ，π 2 ，∴α＝±π 4. 当α＝π 4 时，由②式知 cos β＝ 3 2 ， 又β∈(0，π)， ∴β＝π 6 ，此时①式成立； 当α＝－π 4 时，由②式知 cos β＝ 3 2 ， 又β∈(0，π)， ∴β＝π 6 ，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π 4 ，β＝π 6 满足条件. 学生用书 第 53 页 第 3 讲 三角函数的图象与性质 [最新考纲] 1．能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在 －π 2 ，π 2 上的性质. 知 识 梳 理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈Z). 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，且 x≠ kπ＋π 2 ，k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 [2kπ－π，2kπ] kπ－π 2 ，kπ＋π 2 递减区间 2kπ＋π 2 ，2kπ＋3π 2 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) kπ＋π 2 ，0 kπ 2 ，0 对称轴 x＝kπ＋π 2 x＝kπ 无 辨 析 感 悟 1．周期性的判断 (1)(教材习题改编)由 sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数 y＝sin x(x∈R) 的一个周期． (×) (2)函数 y＝tan 2x＋π 3 的最小正周期为π 2. (√) 2．判断奇偶性与对称性 (3)函数 y＝sin 2x＋3π 2 是奇函数． (×) (4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋π 2(k∈Z)．(×) 3．求三角函数的单调区间 (5)函数 f(x)＝sin(－2x)与 f(x)＝sin 2x 的单调增区间都是 kπ－π 4 ，kπ＋π 4 (k∈ Z)． (×) (6)函数 y＝tan x 在整个定义域上是增函数． (×) 4．求三角函数的最值 (7)存在 x∈R，使得 2sin x＝3. (×) (8)(教材习题改编)函数 f(x)＝sin 2x－π 4 在区间 0，π 2 上的最小值为－ 2 2 . (√) [感悟·提升] 1．一点提醒 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当 ω>0 时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入 y＝sin t 的相应单调区间求解． 2．三个防范 一是函数 y＝sin x 与 y＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高 点或最低点且平行于 y 轴的直线，如 y＝cos x 的对称轴为 x＝kπ，而不是 x＝2kπ(k ∈Z)． 二 是 对 于 y ＝ tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数 ， 应 在 每 个 区 间 kπ－π 2 ，kπ＋π 2 (k∈Z)内为增函数，如(6)． 三是函数 y＝sin x 与 y＝cos x 的最大值为 1，最小值为－1，不存在一个值使 sin x ＝3 2 ，如(7). 学生用书 第 54 页 考点一 三角函数的定义域、值域问题 【例 1】 (1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． (2)当 x∈ π 6 ，7π 6 时，函数 y＝3－sin x－2cos2x 的最小值是________，最大值是 ________． 解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象， 在同一坐标系中画出[0,2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π 4 ，5π 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π， 所以原函数的定义域为 x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义 域为 x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z . 法三 sin x－cos x＝ 2sin x－π 4 ≥0，将 x－π 4 视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x－π 4 ≤π＋2kπ，k∈Z， 解得 2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z. 所以定义域为 x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z . (2)y＝3－sin x－2cos2x ＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1， 令 sin x＝t∈ －1 2 ，1 ， ∴y＝2t2－t＋1＝2 t－1 4 2＋7 8 ，t∈ －1 2 ，1 ， ∴ymin＝7 8 ，ymax＝2. 答案 (1) x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z (2)7 8 2 规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三 角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求． ②把形如 y＝asin x＋bcos x 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． ③利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域． 【训练 1】 (2014·广州模拟)已知函数 f(x)＝6cos4 x＋5sin2x－4 cos 2x ，求 f(x)的定义域 和值域． 解 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ＋π 2 ，k∈Z， 解得 x≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z， 所以 f(x)的定义域为 x|x∈R，且 x≠kπ 2 ＋π 4 ，k∈Z . f(x)＝6cos4 x＋5sin2 x－4 cos 2x ＝6cos4 x＋5－5cos2x－4 2cos2x－1 ＝2cos2x－13cos2x－1 2cos2x－1 ＝3cos2x－1. 所以 f(x)的值域为 y|－1≤y＜1 2 ，或1 2 ＜y≤2 . 考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 【例 2】 (1)已知函数 f(x)＝sin 2x＋3π 2 (x∈R)，下面结论错误的是 ( )． A．函数 f(x)的最小正周期为π B．函数 f(x)是偶函数 C．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 4 对称 D．函数 f(x)在区间 0，π 2 上是增函数 (2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 4π 3 ，0 中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )． A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 解析 (1)f(x)＝sin 2x＋3π 2 ＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A 正确；易知函数 f(x)是偶函数，B 正确；由函数 f(x)＝－cos 2x 的图象可知，函数 f(x)的图象不关 于直线 x＝π 4 对称，C 错误；由函数 f(x)的图象易知，函数 f(x)在 0，π 2 上是增函 数，D 正确，故选 C. (2)由题意得 3cos 2×4π 3 ＋φ ＝3cos 2π 3 ＋φ＋2π ＝3cos 2π 3 ＋φ ＝0，∴2π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴φ＝kπ－π 6 ，k∈Z，取 k＝0， 得|φ|的最小值为π 6. 答案 (1)C (2)A 规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝ Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为 T＝2π |ω| ；奇偶性的判断关键是解析式是否 为 y＝Asin ωx 或 y＝Acos ωx＋b 的形式． (2)求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，求 x；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可． 【训练 2】 (1)函数 y＝2cos2 x－π 4 －1 是 ( )． A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π 2 的奇函数 D．最小正周期为π 2 的偶函数 (2)函数 y＝2sin(3x＋φ) |φ|＜π 2 的一条对称轴为 x＝ π 12 ，则φ＝________. 解析 (1)y＝2cos2 x－π 4 －1＝cos 2x－π 2 ＝sin 2x 为奇函数，T＝2π 2 ＝π. (2)由 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋π 2(k∈Z)， 所以 3× π 12 ＋φ＝kπ＋π 2(k∈Z)， 得φ＝kπ＋π 4(k∈Z)， 又|φ|＜π 2 ，∴k＝0，故φ＝π 4. 答案 (1)A (2)π 4 考点三 三角函数的单调性 【例 3】 (2014·临沂月考)设函数 f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一 条对称轴是直线 x＝π 8. (1)求φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间． 审题路线 令(－2)×π 8 ＋φ＝π 2 ＋kπ，k∈Z⇒解得φ＝？又 0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把 f(x)＝sin(－2x＋φ)，化为 f(x)＝－sin(2x－φ)⇒令 g(x)＝sin(2x－φ)⇒求出 g(x)的单 调区间⇒利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单调区间． 解 (1)令(－2)×π 8 ＋φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴φ＝kπ＋3π 4 ，k∈Z， 又 0＜φ＜π，∴φ＝3π 4 . (2)由(1)得 f(x)＝sin －2x＋3π 4 ＝－sin 2x－3π 4 ， 令 g(x)＝sin 2x－3π 4 ， 由－π 2 ＋2kπ≤2x－3π 4 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得π 8 ＋kπ≤x≤5π 8 ＋kπ，k∈Z， 即 g(x)的单调增区间为 π 8 ＋kπ，5π 8 ＋kπ ，k∈Z； 由π 2 ＋2kπ≤2x－3π 4 ≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得5π 8 ＋kπ≤x≤9π 8 ＋kπ，k∈Z， 即 g(x)的单调减区间为 5π 8 ＋kπ，9π 8 ＋kπ (k∈Z)， 故 f(x)的单调增区间为 5π 8 ＋kπ，9π 8 ＋kπ (k∈Z)； 单调减区间为 π 8 ＋kπ，5π 8 ＋kπ (k∈Z). 学生用书 第 55 页 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y＝Asin(ωx＋φ)形 式，再求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入 y＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数． 【训练 3】 (2013·安徽卷)已知函数 f(x)＝4cos ωx·sin ωx＋π 4 (ω＞0)的最小正周期 为π. (1)求ω的值； (2)讨论 f(x)在区间[0，π 2]上的单调性． 解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π 4)＝2 2sin ωx·cos ωx＋2 2cos2ωx＝ 2(sin 2ωx＋ cos 2ωx)＋ 2＝2sin(2ωx＋π 4)＋ 2. 因为 f(x)的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π 2ω ＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π 4)＋ 2. 若 0≤x≤π 2 ，则π 4 ≤2x＋π 4 ≤5π 4 . 当π 4 ≤2x＋π 4 ≤π 2 ，即 0≤x≤π 8 时，f(x)单调递增； 当π 2 ≤2x＋π 4 ≤5π 4 ，即π 8 ≤x≤π 2 时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，π 8]上单调递增，在区间[π 8 ，π 2]上单调递减． 1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象． 2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、 商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇． 3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后 通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是 对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减． 4．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子， 否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx ＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可． 答题模板 5——三角函数的最值(或值域)问题 【典例】 (12 分)(2013·陕西卷)已知向量 a＝ cos x，－1 2 ，b＝( 3sin x，cos 2x)， x∈R，设函数 f(x)＝a·b. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 0，π 2 上的最大值和最小值． [规范解答] f(x)＝ cos x，－1 2 ·( 3sin x，cos 2x) ＝ 3cos xsin x－1 2cos 2x (2 分) ＝ 3 2 sin 2x－1 2cos 2x ＝sin 2x－π 6 . (4 分) (1)f(x)的最小正周期为 T＝2π ω ＝2π 2 ＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为π. (6 分) (2)∵0≤x≤π 2 ， ∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 . (8 分) 由正弦函数的性质，得 当 2x－π 6 ＝π 2 ，即 x＝π 3 时，f(x)取得最大值 1. 当 2x－π 6 ＝－π 6 ， 即 x＝0 时，f(0)＝－1 2 ， 当 2x－π 6 ＝5π 6 ，即 x＝π 2 时，f π 2 ＝1 2 ， ∴f(x)的最小值为－1 2. (11 分) 因此，f(x)在 0，π 2 上最大值是 1，最小值是－1 2. (12 分) [反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于 三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间 的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．如本例中有学生直接把 x＝0 和 x＝π 2 代入求得最值，这显然是错误的． 答题模板 求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式或 y＝ Acos(ωx＋φ)＋k 的形式． 第二步：由 x 的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定 sin(ωx＋φ)(或 cos(ωx＋ φ))的取值范围． 第三步：求出所求函数的值域(或最值)． 【自主体验】 已知函数 f(x)＝cos 2x－π 3 ＋2sin x－π 4 sin x＋π 4 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数 f(x)在区间 － π 12 ，π 2 上的值域． 解 (1)f(x)＝cos 2x－π 3 ＋2sin x－π 4 sin x＋π 4 ＝1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x) ＝1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x＋sin2x－cos2x ＝1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x－cos 2x＝sin 2x－π 6 . ∴最小正周期 T＝2π 2 ＝π， 由 2x－π 6 ＝kπ＋π 2(k∈Z)，得 x＝kπ 2 ＋π 3(k∈Z)． ∴函数图象的对称轴为 x＝kπ 2 ＋π 3(k∈Z)． (2)∵x∈ － π 12 ，π 2 ，∴2x－π 6 ∈ －π 3 ，5π 6 ， ∴－ 3 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1. 即函数 f(x)在区间 － π 12 ，π 2 上的值域为 － 3 2 ，1 . 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．(2013·青岛质检)下列函数中周期为π且为偶函数的是( )． A．y＝sin 2x－π 2 B．y＝cos 2x－π 2 C．y＝sin x＋π 2 D．y＝cos x＋π 2 解析 y＝sin 2x－π 2 ＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π. 答案 A 2．(2014·南昌联考)已知函数 f(x)＝sin ωx＋π 6 －1(ω＞0)的最小正周期为2π 3 ，则 f(x)的图象的一条对称轴方程是( )． A．x＝π 9 B．x＝π 6 C．x＝π 3 D．x＝π 2 解析 依题意得，2π |ω| ＝2π 3 ，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以 3x＋π 6 ＝kπ＋π 2 ， 解得 x＝kπ 3 ＋π 9 ，当 k＝0 时，x＝π 9. 因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x＝π 9. 答案 A 3．(2014·广州测试)若函数 y＝cos ωx＋π 6 (ω∈N*)的一个对称中心是 π 6 ，0 ，则ω 的最小值为( )． A．1 B．2 C．4 D．8 解析 依题意得 cos ω·π 6 ＋π 6 ＝0，π 6(ω＋1)＝kπ＋π 2 ，ω＝6k＋2(其中 k∈Z)；又ω 是正整数，因此ω的最小值是 2. 答案 B 4．(2014·济南调研)已知 f(x)＝sin2 x＋sin xcos x，则 f(x)的最小正周期和一个单调 增区间分别为( )． A．π，[0，π] B．2π， －π 4 ，3π 4 C．π， －π 8 ，3π 8 D．2π， －π 4 ，π 4 解析 由 f(x)＝sin2x＋sin xcos x ＝1－cos 2x 2 ＋1 2sin 2x ＝1 2 ＋ 2 2 2 2 sin 2x－ 2 2 cos 2x ＝1 2 ＋ 2 2 sin 2x－π 4 . ∴T＝2π 2 ＝π.又∵2kπ－π 2 ≤2x－π 4 ≤2kπ＋π 2 ， ∴kπ－π 8 ≤x≤kπ＋3π 8 (k∈Z)为函数的单调递增区间．故选 C. 答案 C 5．(2014·三明模拟)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 f π 6 ＋x ＝f π 6 －x ， 则 f π 6 等于( )． A．2 或 0 B．－2 或 2 C．0 D．－2 或 0 解析 由 f π 6 ＋x ＝f π 6 －x 知，函数图象关于 x＝π 6 对称，f π 6 是函数 f(x)的最大值 或最小值． 答案 B 二、填空题 6．函数 y＝lg(sin x)＋ cos x－1 2 的定义域为________． 解析 要使函数有意义必须有 sin x＞0， cos x－1 2 ≥0， 即 sin x＞0， cos x≥1 2 ， 解得 2kπ＜x＜π＋2kπk∈Z， －π 3 ＋2kπ≤x≤π 3 ＋2kπk∈Z， ∴2kπ＜x≤π 3 ＋2kπ(k∈Z)， ∴函数的定义域为 x|2kπ＜x≤π 3 ＋2kπ，k∈Z . 答案 2kπ，π 3 ＋2kπ (k∈Z) 7．函数 y＝sin x＋1 sin x (0＜x＜π)的最小值为________． 解析 令 sin x＝t∈(0,1]，则函数 y＝1＋1 t ，t∈(0,1]．又 y＝1＋1 t 在 t∈(0,1]上是 减函数，所以当 t＝1 时，y 取得最小值 2. 答案 2 8．已知函数 f(x)＝3sin(ωx－π 6)(ω>0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全 相同，若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的取值范围是______． 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝ 2，所以 f(x)＝3sin 2x－π 6 ，那么当 x∈ 0，π 2 时， －π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 ， 所以－1 2 ≤sin(2x－π 6)≤1，故 f(x)∈ －3 2 ，3 . 答案 －3 2 ，3 三、解答题 9．(2013·潮州二模)已知函数 f(x)＝ 3(sin2 x－cos2x)－2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设 x∈ －π 3 ，π 3 ，求 f(x)的单调递增区间． 解 (1)∵f(x)＝－ 3(cos2x－sin2 x)－2sin xcos x ＝－ 3cos 2x－sin 2x＝－2sin 2x＋π 3 ， ∴f(x)的最小正周期为π. (2)∵x∈ －π 3 ，π 3 ，∴－π 3 ≤2x＋π 3 ≤π， 当 y＝sin 2x＋π 3 单调递减时，f(x)单调递增． ∴π 2 ≤2x＋π 3 ≤π，即 π 12 ≤x≤π 3. 故 f(x)的单调递增区间为 π 12 ，π 3 . 10．(1)求函数 y＝2sin 2x＋π 3 －π 6 ＜x＜π 6 的值域； (2)求函数 y＝sin x＋cos x＋sin xcos x 的值域． 解 (1)∵－π 6 ＜x＜π 6 ，∴0＜2x＋π 3 ＜2π 3 ， ∴0＜sin 2x＋π 3 ≤1， ∴y＝2sin 2x＋π 3 的值域为(0,2]． (2)y＝sin xcos x＋sin x＋cos x ＝sin x＋cos x2－1 2 ＋ 2sin x＋π 4 ＝sin2 x＋π 4 ＋ 2sin x＋π 4 －1 2 ＝ sin x＋π 4 ＋ 2 2 2－1，所以当 sin x＋π 4 ＝1 时， y 取最大值 1＋ 2－1 2 ＝1 2 ＋ 2. 当 sin x＋π 4 ＝－ 2 2 时，y 取最小值－1， ∴该函数的值域为 －1，1 2 ＋ 2 . 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．(2013·安徽师大附中模拟)设ω＞0，m＞0，若函数 f(x)＝msin ωx 2 cos ωx 2 在区间 －π 3 ，π 3 上单调递增，则ω的取值范围是( )． A. 0，2 3 B. 0，3 2 C. 3 2 ，＋∞ D．[1，＋∞) 解析 f(x)＝msin ωx 2 cos ωx 2 ＝1 2msin ωx，若函数在区间 －π 3 ，π 3 上单调递增，则T 2 ＝π ω ≥π 3 ＋π 3 ＝2π 3 ，即ω∈ 0，3 2 . 答案 B 2．已知函数 f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间 －π 3 ，π 4 上的最小值是－2，则ω的最小值 等于( )． A.2 3 B.3 2 C．2 D．3 解析 ∵f(x)＝2sin ωx(ω＞0)的最小值是－2，此时ωx＝2kπ－π 2 ，k∈Z，∴x＝2kπ ω － π 2ω ，k∈Z，∴－π 3 ≤2kπ ω － π 2ω ≤0，k∈Z，∴ω≥－6k＋3 2 且 k≤0，k∈Z，∴ωmin ＝3 2. 答案 B 二、填空题 3．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：当 sin x≤cos x 时，f(x)＝cos x，当 sin x＞ cos x 时，f(x)＝sin x. 给出以下结论： ①f(x)是周期函数； ②f(x)的最小值为－1； ③当且仅当 x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值； ④当且仅当 2kπ－π 2 ＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0； ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________． 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π的周期函数． 函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f(x)的最小值为－ 2 2 ，当且仅当 x＝2kπ＋5π 4 (k∈Z)时，f(x)取得最小 值；当且仅当 2kπ－π 2 ＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)＞0；f(x)的图象上相邻两个最 低点的距离是 2π.所 以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤ 三、解答题 4．(2013·荆门调研)已知函数 f(x)＝a 2cos2x 2 ＋sin x ＋b. (1)若 a＝－1，求函数 f(x)的单调增区间； (2)若 x∈[0，π]时，函数 f(x)的值域是[5,8]，求 a，b 的值． 解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b ＝ 2asin x＋π 4 ＋a＋b. (1)当 a＝－1 时，f(x)＝－ 2sin x＋π 4 ＋b－1， 由 2kπ＋π 2 ≤x＋π 4 ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z)， 得 2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 (k∈Z)， ∴f(x)的单调增区间为 2kπ＋π 4 ，2kπ＋5π 4 (k∈Z)． (2)∵0≤x≤π， ∴π 4 ≤x＋π 4 ≤5π 4 ， ∴－ 2 2 ≤sin x＋π 4 ≤1，依题意知 a≠0. (ⅰ)当 a＞0 时， 2a＋a＋b＝8， b＝5， ∴a＝3 2－3，b＝5. (ⅱ)当 a＜0 时， b＝8， 2a＋a＋b＝5， ∴a＝3－3 2，b＝8. 综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8. 学生用书 第 56 页 第 4 讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 [最新考纲] 1．了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解 参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些 简单实际问题. 知 识 梳 理 1．“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个交 点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示. x －φ ω π 2 －φ ω π－φ ω 3π 2 －φ ω 2π－φ ω ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 y＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 y＝Asin(ωx＋φ)在 R 上的图象． 2．函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义 当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动时，A 叫做振幅， T＝2π ω 叫做周期，f＝1 T 叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 辨 析 感 悟 1．对图象变换的认识 (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向 右平移的长度一样． (×) (2)将 y＝sin 2x 的图象向右平移π 3 个单位，得到 y＝sin 2x－π 3 的图象． (×) (3)(2013·湖北卷改编)将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m＞0)个 单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是π 6. (√) 2．对函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的认识 (4)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值为－A. (×) (5)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期． (×) (6)(2014·广州二模改编)若函数 y＝cos ωx(ω∈N*)的一个对称中心是 π 6 ，0 ，则ω 的最小值为 3. (√) [感悟·提升] 1．图象变换两种途径的区别 由 y＝sin x 的图象，利用图象变换作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿 x 轴的 伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先 周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ| ω 个单位，如(1)、(2)． 2．两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱 导公式化为同名函数； 二是解决三角函数性质时，要化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值与 A 的符号有关，如(4)；而 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半 个周期，如(5). 学生用书 第 57 页 考点一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法与变换 【例 1】 (1)(2013·广东六校教研协作体二联)已知 f(x)＝sin ωx＋π 3 (ω＞0)的图象 与 y＝－1 的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到 y＝f(x)的图象，只需把 y＝ cos 2x 的图象 ( )． A．向左平移 π 12 个单位 B．向右平移 π 12 个单位 C．向左平移5π 12 个单位 D．向右平移5π 12 个单位 (2)已知函数 y＝2sin 2x＋π 3 . ①求它的振幅、周期、初相； ②用“五点法”作出它在一个周期内的图象； ③说明 y＝2sin 2x＋π 3 的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． (1)解析 依题意 T＝π，∴T＝π＝2π ω ，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π 3)，∴只需 y＝cos 2x＝sin(2x＋π 2)＝sin2(x＋π 4) f(x)＝sin(2x＋π 3)． 答案 B (2)解 ①y＝2sin 2x＋π 3 的振幅 A＝2，周期 T＝2π 2 ＝π，初相φ＝π 3. ②令 X＝2x＋π 3 ，则 y＝2sin 2x＋π 3 ＝2sin X. 列表，并描点画出图象： x －π 6 π 12 π 3 7π 12 5π 6 X 0 π 2 π 3π 2 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 2x＋π 3 0 2 0 －2 0 ③法一 把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π 3 个单位，得到 y＝sin x＋π 3 的图 象；再把 y＝sin x＋π 3 的图象上的点的横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)，得 到 y＝sin 2x＋π 3 的图象；最后把 y＝sin 2x＋π 3 的图象上所有点的纵坐标伸长到 原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝2sin 2x＋π 3 的图象． 法二 将 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标 x 缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)，得 到 y＝sin 2x 的图象；再将 y＝sin 2x 的图象向左平移π 6 个单位，得到 y＝sin 2 x＋π 6 ＝sin 2x＋π 3 的图象；再将 y＝sin 2x＋π 3 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，得到 y＝2sin 2x＋π 3 的图象． 规律方法 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和 图象变换法． (1)五点法：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设 z ＝ωx＋φ，由 z 取 0，π 2 ，π，3 2π，2π来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐 标，描点后得出图象． (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其 变换量也不同． 【训练 1】 (1)(2013·合肥第一次质检)将函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的 图象向左平移π 2 个单位，所得函数的图象与函数 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称，则 ω的值不可能是 ( )． A．2 B．4 C．6 D．10 (2)(2014·合肥模拟)设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) ω＞0，－π 2 ＜φ＜0 的最小正周期为 π，且 f π 4 ＝ 3 2 . ①求ω和φ的值； ②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象． (1)解析 依题意，f x＋π 2 ＝Asin ω x＋π 2 ＋φ ＝Asin ωx＋ωπ 2 ＋φ 的图象与 y＝f(x) 的图象关于 x 轴对称，于是有 Asin ωx＋ωπ 2 ＋φ ＋Asin(ωx＋φ)＝0；注意到ω＝4 时，Asin 4x＋4π 2 ＋φ ＋Asin(4x＋φ)＝2Asin(4x＋φ)不恒等于 0，故选 B. 答案 B (2)解 ①∵T＝2π ω ＝π，ω＝2， 又 f π 4 ＝cos 2×π 4 ＋φ ＝ 3 2 ，∴sin φ＝－ 3 2 ， 又－π 2 ＜φ＜0，∴φ＝－π 3. ②由①得 f(x)＝cos 2x－π 3 ，列表： 2x－π 3 －π 3 0 π 2 π 3 2π 5 3π x 0 π 6 5 12π 2 3π 11 12π π f(x) 1 2 1 0 －1 0 1 2 图象如图． 考点二 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例 2】 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象 如图所示，则函数 f(x)的解析式为________． 解析 由图可知 A＝ 2， 法一 T 4 ＝7π 12 －π 3 ＝π 4 ，所以 T＝π，故ω＝2，因此 f(x)＝ 2sin(2x＋φ)， 又 π 3 ，0 对应五点法作图中的第三个点，因此 2×π 3 ＋φ＝π，所以φ＝π 3 ，故 f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 . 法二 以 π 3 ，0 为第二个“零点”， 7π 12 ，－ 2 为最小值点， 列方程组 ω·π 3 ＋φ＝π， ω·7π 12 ＋φ＝3π 2 ， 解得 ω＝2， φ＝π 3 ， 故 f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 . 答案 f(x)＝ 2sin 2x＋π 3 规律方法 已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比 较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2π T 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降) 的“零点”横坐标 x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式， 再结合图形解出ω和φ，若对 A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式 变换使其符合要求. 学生用书 第 58 页 【训练 2】 (2013·四川卷)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π 2<φ<π 2)的部分图象如图 所示，则ω，φ的值分别是 ( )． A．2，－π 3 B．2，－π 6 C．4，－π 6 D．4，π 3 解析 由图象知 f(x)的周期 T＝4 3 5π 12 － －π 3 ＝π，又 T＝2π ω ，ω>0，∴ω＝2.由于 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π 2<φ<π 2)的一个最高点为 5π 12 ，2 ，故有 2×5π 12 ＋φ＝2kπ ＋π 2(k∈Z)，即φ＝2kπ－π 3 ，又－π 2<φ<π 2 ，∴φ＝－π 3 ，选 A. 答案 A 考点三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质应用 【例 3】 (2014·济南模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<π 2)的 最大值为 2，最小正周期为π，直线 x＝π 6 是其图象的一条对称轴． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)＝f x－ π 12 －f x＋ π 12 的单调递增区间． 解 (1)由题意，得 A＝2，ω＝2π π ＝2， 当 x＝π 6 时，2sin 2×π 6 ＋φ ＝±2， 即 sin π 3 ＋φ ＝±1，所以π 3 ＋φ＝kπ＋π 2 ， 解得φ＝kπ＋π 6 ，又 0＜φ＜π 2 ，所以φ＝π 6. 故 f(x)＝2sin 2x＋π 6 . (2)g(x)＝2sin 2 x－ π 12 ＋π 6 －2sin 2 x＋ π 12 ＋π 6 ＝2sin 2x－2sin 2x＋π 3 ＝2sin 2x－2 1 2sin 2x＋ 3 2 cos 2x ＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 2x－π 3 . 由 2kπ－π 2 ≤2x－π 3 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 得 kπ－ π 12 ≤x≤kπ＋5π 12 ，k∈Z. 所以函数 g(x)的单调递增区间是 kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ，k∈Z. 规律方法 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π 2(k∈Z)时，函数 y ＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． (2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为 T＝2π ω . (3)单调性：根据 y＝sin t 和 t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－π 2 ＋2kπ≤ωx ＋φ≤π 2 ＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤3π 2 ＋2kπ(k∈Z)得单调减 区间． (4)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)， 求得 x、ω. 利用 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋π 2(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋π 2(k∈Z)得其对称 轴． 【训练 3】 已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数， 且函数 y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π 2. (1)求 f π 8 的值； (2)求函数 y＝f(x)＋f x＋π 4 的最大值及对应的 x 的值． 解 (1)f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ＝2 3 2 sinωx＋φ－1 2cosωx＋φ ＝2sin ωx＋φ－π 6 . 因为 f(x)为偶函数， 则φ－π 6 ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，所以φ＝2π 3 ＋kπ(k∈Z)，又因为 0＜φ＜π，所以φ＝2π 3 ， 所以 f(x)＝2sin ωx＋π 2 ＝2cos ωx. 由题意得2π ω ＝2·π 2 ，所以ω＝2. 故 f(x)＝2cos 2x.因此 f π 8 ＝2cos π 4 ＝ 2. (2)y＝2cos 2x＋2cos 2 x＋π 4 ＝2cos 2x＋2cos 2x＋π 2 ＝2cos 2x－2sin 2x ＝2 2sin π 4 －2x . 令π 4 －2x＝2kπ＋π 2(k∈Z)，y 有最大值 2 2， 所以当 x＝－kπ－π 8(k∈Z)时，y 有最大值 2 2. 1．在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平 移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个 变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变 化多少． 2．由图象确定函数解析式：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定 A，ω，φ的题型， 常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点” 和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题：函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心， 经过该图象上坐标为(x，±A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴， 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距 离)． 易错辨析 5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误 【典例】(2013·山东卷改编)将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移π 8 个单位 后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为 ( )． A.3π 4 B.π 4 C.3π 8 D．－π 4 [错解] y＝sin(2x＋φ) ――→ 向左平移 π 8 个单位 y＝sin 2x＋π 8 ＋φ 则由π 8 ＋φ＝π 2 得φ＝3π 8 .故选 C. [答案] C [错因] 函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移π 8 个单位得到 y＝sin 2x＋π 8 ＋φ 是错误的，应注意警惕． [正解] y＝sin(2x＋φ) ――→ 向左平移 π 8 个单位 y＝sin 2 x＋π 8 ＋φ ＝sin 2x＋π 4 ＋φ ，则由π 4 ＋φ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π 4.故选 B. 答案 B [防范措施] 对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右 减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量 x，如果 x 的系数不是 1，就要把 这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首 先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成ω x＋φ ω ，最后确定平移的单位并 根据φ ω 的符号确定平移的方向． 【自主体验】 (2014·湖州二模)将函数 y＝sin 2x＋cos 2x 的图象向左平移π 4 个单位长度，所得图 象对应的函数解析式可以是 ( )． A．y＝cos 2x＋sin 2x B．y＝cos 2x－sin 2x C．y＝sin 2x－cos 2x D．y＝sin xcos x 解析 y＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin 2x＋π 4 ――→向左平移π 4 个单位 y＝ 2sin 2 x＋π 4 ＋π 4 ＝ 2sin 2x＋π 4 ＋π 2 ＝ 2cos 2x＋π 4 ＝cos 2x－sin 2x. 答案 B 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．(2014·北京石景山二模)把函数 y＝sin x＋π 6 图象上各点的横坐标缩短到原来 的1 2(纵坐标不变)，再将图象向右平移π 3 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程 为( )． A．x＝－π 2 B．x＝－π 4 C．x＝π 8 D．x＝π 4 解析 将 y＝sin x＋π 6 图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得到函 数 y＝sin 2x＋π 6 ；再将图象向右平移π 3 个单位，得到函数 y＝sin 2 x－π 3 ＋π 6 ＝ sin 2x－π 2 ，x＝－π 2 是其图象的一条对称轴方程． 答案 A 2．(2014·深圳二模)如果函数 f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为 T，且当 x＝2 时，f(x)取得最大值，那么( )． A．T＝2，θ＝π 2 B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝π 2 解析 T＝2π π ＝2，当 x＝2 时，由π×2＋θ＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－3π 2 ＋2kπ(k∈ Z)，又 0＜θ＜2π，∴θ＝π 2. 答案 A 3．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为π 2 ，直 线 x＝π 3 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )． A．y＝4sin 4x＋π 6 B．y＝2sin 2x＋π 3 ＋2 C．y＝2sin 4x＋π 3 ＋2 D．y＝2sin 4x＋π 6 ＋2 解析 由题意得 A＋k＝4， －A＋k＝0， 解得 A＝2， k＝2. 又函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的最小正周期为π 2 ， 所以ω＝2π π 2 ＝4，所以 y＝2sin(4x＋φ)＋2. 又直线 x＝π 3 是函数图象的一条对称轴， 所以 4×π 3 ＋φ＝kπ＋π 2(k∈Z)，所以φ＝kπ－5π 6 (k∈Z)， 故可得 y＝2sin 4x＋π 6 ＋2 符合条件，所以选 D. 答案 D 4．(2014·长春模拟)函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|＜π 2 向左平移π 6 个单位后是奇函数， 则函数 f(x)在 0，π 2 上的最小值为( )． A．－ 3 2 B．－1 2 C.1 2 D. 3 2 解析 函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|＜π 2 向左平移π 6 个单位后得到函数为 f x＋π 6 ＝ sin 2 x＋π 6 ＋φ ＝sin 2x＋π 3 ＋φ ，因为此时函数为奇函数，所以π 3 ＋φ＝kπ(k∈Z)， 所以φ＝－π 3 ＋kπ(k∈Z)．因为|φ|＜π 2 ，所以当k＝0时，φ＝－π 3 ，所以f(x)＝sin 2x－π 3 . 当 0≤x≤π 2 时，－π 3 ≤2x－π 3 ≤2π 3 ，即当 2x－π 3 ＝－π 3 时，函数 f(x)＝sin 2x－π 3 有最 小值为 sin －π 3 ＝－ 3 2 . 答案 A 5．(2014·宁德质检)如图是函数 y＝sin(ωx＋φ) ω＞0，0＜φ＜π 2 在区间 －π 6 ，5π 6 上的图象，将该图象向右平移 m(m＞0)个单位后，所得图象关于直线 x＝π 4 对称， 则 m 的最小值为( )． A. π 12 B.π 6 C.π 4 D.π 3 解析 令 f(x)＝y＝sin(ωx＋φ)，由三角函数图象知，T＝5 6π＋π 6 ＝π，所以2π ω ＝π， 所以ω＝2.因为函数 f(x)过点 －π 6 ，0 ，且 0＜φ＜π 2 ，所以－π 6 ×2＋φ＝0，所以φ ＝π 3 ，所以 f(x)＝sin 2x＋π 3 ，将该函数图象向右平移 m 个单位后，所得图象的解 析式是 g(x)＝sin 2x＋π 3 －2m ，因为函数 g(x)的图象关于直线 x＝π 4 对称，所以 2×π 4 ＋π 3 －2m＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，解得 m＝π 6 －kπ 2 (k∈Z)，又 m＞0，所以 m 的最小值为π 6. 答案 B 二、填空题 6.函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图 象如图所示， 则ω＝________. 解析 由图象可以看出 3 2T＝π，∴T＝2 3π＝2π ω ，因此ω＝3. 答案 3 7．(2014·山东省实验中学诊断)已知函数 y＝g(x)的图象由 f(x)＝sin 2x 的图象向右 平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________. 解析 函数 f(x)＝sin 2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x＝π 2 ，所以 x＝π 4 ， π 8 关于 x＝π 4 对称的直线为 x＝3π 8 ，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为 x ＝3π 8 的点平移到 x＝17π 24 ，所以φ＝17π 24 －3π 8 ＝π 3. 答案 π 3 8．设函数 f(x)＝sin 2x＋π 6 ，则下列命题： ①f(x)的图象关于直线 x＝π 3 对称；②f(x)的图象关于点 π 6 ，0 对称；③f(x)的最小正 周期为π，且在 0， π 12 上为增函数；④把 f(x)的图象向右平移 π 12 个单位，得到一 个奇函数的图象． 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)． 解析 对于①，f π 3 ＝sin 2×π 3 ＋π 6 ＝sin5π 6 ＝1 2 ，不是最值，所以 x＝π 3 不是函数 f(x) 的图象的对称轴，该命题错误；对于②，f π 6 ＝sin 2×π 6 ＋π 6 ＝1≠0，所以点 π 6 ，0 不是函数 f(x)的图象的对称中心，故该命题错误；对于③，函数 f(x)的周期为 T ＝2π 2 ＝π，当 x∈ 0， π 12 时，令 t＝2x＋π 6 ∈ π 6 ，π 3 ，显然函数 y＝sin t 在 π 6 ，π 3 上 为增函数，故函数 f(x)在 0， π 12 上为增函数，所以该命题正确；对于④，把 f(x) 的图象向右平移 π 12 个单位后所对应的函数为 g(x)＝sin 2 x－ π 12 ＋π 6 ＝sin 2x，是 奇函数，所以该命题正确．故填③④. 答案 ③④ 三、解答题 9．(2014·苏州调研)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 其中 A＞0，ω＞0，0＜φ＜π 2 的 周期为π，且图象上有一个最低点为 M 2π 3 ，－3 . (1)求 f(x)的解析式； (2)求使 f(x)＜3 2 成立的 x 的取值集合． 解 (1)由题意知：A＝3，ω＝2， 由 3sin 4π 3 ＋φ ＝－3, 得φ＋4π 3 ＝－π 2 ＋2kπ，k∈Z， 即φ＝－11π 6 ＋2kπ，k∈Z. 而 0＜φ＜π 2 ，所以 k＝1，φ＝π 6. 故 f(x)＝3sin 2x＋π 6 . (2)f(x)＜3 2 等价于 3sin 2x＋π 6 ＜3 2 ， 即 sin 2x＋π 6 ＜1 2 ， 于是 2kπ－7π 6 ＜2x＋π 6 ＜2kπ＋π 6(k∈Z)， 解得 kπ－2π 3 ＜x＜kπ(k∈Z)， 故使 f(x)＜3 2 成立的 x 的取值集合为 x|kπ－2π 3 ＜x＜kπ，k∈Z . 10．(2013·济宁测试)已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2sin2 x－1，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1 2 ，再把 所得到的图象向左平移π 6 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 y＝g(x) 在区间 －π 6 ， π 12 上的值域． 解 (1)因为 f(x)＝2 3sin xcos x＋2sin2x－1 ＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－π 6 ， ∴函数 f(x)的最小正周期为 T＝π， 由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 6 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， ∴－π 6 ＋kπ≤x≤π 3 ＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为 －π 6 ＋kπ，π 3 ＋kπ ，k∈Z. (2)函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1 2 ，得到 y ＝2sin 4x－π 6 ； 再把所得到的图象向左平移π 6 个单位长度，得到 g(x)＝2sin 4 x＋π 6 －π 6 ＝ 2sin 4x＋π 2 ＝2cos 4x， 当 x∈ －π 6 ， π 12 时，4x∈ －2π 3 ，π 3 ， 所以当 x＝0 时，g(x)max＝2， 当 x＝－π 6 时，g(x)min＝－1. ∴y＝g(x)在区间 －π 6 ， π 12 上的值域为[－1,2]． 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．(2014·长沙一模)定义|a1 a2 a3 a4|＝a1a4－a2a3，若函数 f(x)＝|sin 2x cos 2x 1 3 |，则 将 f(x)的图象向右平移π 3 个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )． A．x＝π 6 B．x＝π 4 C．x＝π 2 D．x＝π 解析 由定义可知，f(x)＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－π 6 ，将 f(x)的图象向右平移 π 3 个单位得到 y＝2sin 2 x－π 3 －π 6 ＝2sin 2x－5π 6 ，由 2x－5π 6 ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，得对 称轴为 x＝2π 3 ＋kπ 2 (k∈Z)，当 k＝－1 时，对称轴为 x＝2π 3 －π 2 ＝π 6. 答案 A 2．(2014·江南十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0) 的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为π； ②将 f(x)的图象向左平移π 6 个单位，所得到的函数是偶函数； ③f(0)＝1； ④f 12π 11 ＜f 14π 13 ； ⑤f(x)＝－f 5π 3 －x . 其中正确的是( )． A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．②③⑤ 解析 由题图可知，A＝2，T 4 ＝ 7 12π－π 3 ＝π 4 ⇒T＝π⇒ω＝2,2× 7 12π＋φ＝2kπ＋3π 2 ， φ＝2kπ＋π 3(k∈Z)．所以 f(x)＝2sin 2x＋π 3 ⇒f(0)＝ 3，f x＋π 6 ＝2sin 2x＋π 3 ＋π 3 ＝2sin 2x＋2π 3 ，所以②，③不正确；f(x)的对称轴为直线 x＝kπ 2 ＋ π 12(k∈ Z)，一个对称中心为 5π 6 ，0 ，所以 f(x)的图象关于直线 x＝13π 12 对称，且 f(x)的最 大值为 f 13π 12 ，12π 11 －13π 12 ＝ π 11×12 ＞13π 12 －14π 13 ＝ π 13×12 ，所以 f 12π 11 ＜f 14π 13 ，即 ④正确；设(x，f(x))为函数 f(x)＝2sin 2x＋π 3 的图象上任意一点，其关于对称中 心 5π 6 ，0 的对称点 5π 3 －x，－fx 也在函数 f(x)＝2sin 2x＋π 3 的图象上，即 f 5π 3 －x ＝－f(x)⇒f(x)＝－f 5π 3 －x ，故⑤正确．综上所述，①④⑤正确．选 C. 答案 C 二、填空题 3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞0，－π 2 ≤φ≤π 2 的图象上的两个相邻的最高点 和最低点的距离为 2 2，且过点 2，－1 2 ，则函数解析式 f(x)＝________. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2，可得 T 2 2＋1＋12＝2 2， 解得 T＝4，故ω＝2π T ＝π 2 ，即 f(x)＝sin πx 2 ＋φ ，又函数图象过点 2，－1 2 ，故 f(2) ＝sin π 2 ×2＋φ ＝－sin φ＝－1 2 ，又－π 2 ≤φ≤π 2 ，解得φ＝π 6 ，故 f(x)＝sin πx 2 ＋π 6 . 答案 sin πx 2 ＋π 6 三、解答题 4．(2013·淄博二模)已知函数 f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋ cos 2ωx－1 2(ω＞0)，其最小正周期为π 2. (1)求 f(x)的表达式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移π 8 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y＝g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x)＋k＝0 在区间 0，π 2 上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围． 解 (1)f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－1 2 ＝ 3 2 sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 2 －1 2 ＝sin 2ωx＋π 6 ， 由题意知 f(x)的最小正周期 T＝π 2 ，T＝2π 2ω ＝π ω ＝π 2 ， 所以ω＝2，所以 f(x)＝sin 4x＋π 6 . (2)将 f(x)的图象向右平移π 8 个单位后，得到 y＝sin 4x－π 3 的图象；再将所得图象 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x－π 3 的图象，所 以 g(x)＝sin 2x－π 3 ， 因为 0≤x≤π 2 ，所以－π 3 ≤2x－π 3 ≤2π 3 ，所以 g(x)∈ － 3 2 ，1 又 g(x)＋k＝0 在区间 0，π 2 上有且只有一个实数解，即函数 y＝g(x)与 y＝－k 在 区间 0，π 2 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－ 3 2 ≤－k＜ 3 2 或－k ＝1， 解得－ 3 2 ＜k≤ 3 2 或 k＝－1， 所以实数 k 的取值范围是 － 3 2 ， 3 2 ∪{－1}. 步骤规范练——三角函数及三角函数的 图象与性质 (建议用时：90 分钟) 一、选择题 1．若角α的终边经过点 P(1，－2)，则 tan 2α的值为( )． A．－4 3 B.4 3 C.3 4 D．－3 4 解析 tan α＝－2 1 ＝－2， tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝2×－2 1－4 ＝4 3. 答案 B 2．(2014·广州一测)函数 y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)是( )． A．奇函数且在 0，π 2 上单调递增 B．奇函数且在 π 2 ，π 上单调递增 C．偶函数且在 0，π 2 上单调递增 D．偶函数且在 π 2 ，π 上单调递增 解析 y＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，∴函数是偶函数 且在 0，π 2 上单调递增． 答案 C 3．(2013·温岭中学模拟)函数 f(x)＝sin xsin x＋π 2 的最小正周期为( )． A．4π B．2π C．π D.π 2 解析 f(x)＝sin xsin x＋π 2 ＝sin xcos x＝1 2sin 2x， 故最小正周期为 T＝2π 2 ＝π. 答案 C 4．(2014·浙江五校联盟)要得到函数 y＝sin 2x－π 4 的图象，只要将函数 y＝sin 2x 的图象( )． A．向左平移π 4 单位 B．向右平移π 4 单位 C．向右平移π 8 单位 D．向左平移π 8 单位 解析 y＝sin 2x ――→向右平移π 8 个单位 y＝sin 2 x－π 8 ＝sin 2x－π 4 . 答案 C 5. 已知 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的表达式为( )． A．f(x)＝2sin 3 2x＋π 4 B．f(x)＝2sin 3 2x＋5π 4 C．f(x)＝2sin 4 3x＋2π 9 D．f(x)＝2sin 4 3x＋25 18π 解析 由函数的部分图象可知 3 4T＝5π 6 － －π 6 ，则 T＝4π 3 ，结合选项知ω>0，故ω ＝2π T ＝3 2 ，排除 C，D；又因为函数图象过点 5π 6 ，2 ，代入验证可知只有 B 项满 足条件． 答案 B 6．(2014·成都模拟)将函数 f(x)＝3sin 4x＋π 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍，再向右平移π 6 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，则 y＝g(x)图象的 一条对称轴是( )． A．x＝ π 12 B．x＝π 6 C．x＝π 3 D．x＝2π 3 解析 将函数 f(x)＝3sin 4x＋π 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到 函数 y＝3sin 2x＋π 6 ，再向右平移π 6 个单位长度，得到 y＝3sin 2 x－π 6 ＋π 6 ＝ 3sin 2x－π 6 ，即 g(x)＝3sin 2x－π 6 .当 2x－π 6 ＝kπ＋π 2 时，解得 x＝kπ＋π 3 ，又当 k＝ 0 时，x＝π 3 ，所以 x＝π 3 是一条对称轴，故选 C. 答案 C 7．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝2 的两个相 邻交点的距离等于π，则 f(x)的单调递增区间是( )． A. kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ，k∈Z B. kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 ，k∈Z C. kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ，k∈Z D. kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ，k∈Z 解析 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx＝2sin ωx＋π 6 ，由题设知f(x)的最小正周期为 T＝π， 所以ω＝2，即 f(x)＝2sin 2x＋π 6 .由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)得，kπ－ π 3 ≤x≤kπ＋π 6(k∈Z)，故选 C. 答案 C 8．设函数 f(x)＝|sin 2x＋π 3 |，则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是( )． A．f(x)是偶函数 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)的图象关于点 －π 6 ，0 对称 D．f(x)在区间 π 3 ，7π 12 上是增函数 解析 对于选项 A，由于 f π 3 ＝|sin 2×π 3 ＋π 3 |＝0，而 f －π 3 ＝|sin 2× －π 3 ＋π 3 | ＝|sinπ 3|＝ 3 2 ≠f π 3 ，所以 f(x)不是偶函数；对于选项 B，由于 f(x)＝sin 2x＋π 3 的 周期为π，而 f(x)＝|sin 2x＋π 3 |的图象是将 f(x)＝sin 2x＋π 3 的 x 轴上方的图象保 持不变，x 轴下方的图象关于 x 轴对称到上方去，因此 f(x)＝|sin 2x＋π 3 |的周期 为 f(x)＝sin 2x＋π 3 的周期的一半，故选项 B 不正确；对于选项 C，由于 f(x)＝ |sin 2x＋π 3 |的图象不是中心对称图形，因此也不正确；对于选项 D，由三角函数 的性质可知，f(x)＝|sin 2x＋π 3 |的单调递增区间是 kπ≤2x＋π 3 ≤kπ＋π 2(k∈Z)，即kπ 2 －π 6 ≤x≤kπ 2 ＋ π 12(k∈Z)，当 k＝1 时，x∈ π 3 ，7π 12 ，故选 D. 答案 D 9．(2014·石狮模拟)函数 y＝cos2 x＋π 4 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a＞0)， 所得图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值为( )． A．π B.3π 4 C.π 2 D.π 4 解析 y＝cos2 x＋π 4 ＝1＋cos 2x＋π 2 2 ＝1－sin 2x 2 ＝1 2 －1 2sin 2x，函数图象向右平移 a 个单位得到函数 y＝1 2 －1 2sin[2(x－a)]＝1 2 －1 2sin(2x－2a)，要使函数的图象关于 y 轴对称，则有－2a＝π 2 ＋kπ，k∈Z，即 a＝－π 4 －kπ 2 ，k∈Z，所以当 k＝－1 时，a 有最小值为π 4 ，选 D. 答案 D 10．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的图象在 y 轴上的截距为 1， 在相邻两最值点(x0,2)， x0＋3 2 ，－2 (x0＞0)上 f(x)分别取得最大值和最小值．若 函数 g(x)＝af(x)＋b 的最大值和最小值分别为 6 和 2，则|a|＋b 的值为( )． A．5 B．6 C．7 D．8 解析 由题意知 A＝2，T 2 ＝ x0＋3 2 －x0＝3 2 ， ∴T＝3，即2π |ω| ＝3，又ω＞0，∴ω＝2π 3 . ∴f(x)＝2sin 2π 3 x＋φ ，又函数 f(x)过点(0,1)，代入得 2sin φ＝1，而|φ|＜π 2 ，∴φ＝π 6 ， ∴f(x)＝2sin 2π 3 x＋π 6 ，g(x)＝af(x)＋b＝2asin 2π 3 x＋π 6 ＋b. 由 2|a|＋b＝6， －2|a|＋b＝2， 得 |a|＝1， b＝4， ∴|a|＋b＝5. 答案 A 二、填空题 11．(2013·宁波十校测试)函数 y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)(x∈R)的最大值＝ ________. 解析 y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°) ＝sin(x＋10°)＋cos[(x＋10°)＋30°] ＝sin(x＋10°)＋ 3 2 cos(x＋10°)－1 2sin(x＋10°) ＝1 2sin(x＋10°)＋ 3 2 cos(x＋10°) ＝sin(x＋10°＋60°) ＝sin(x＋70°)， 故 ymax＝1. 答案 1 12. 如图所示的是函数 y＝Asin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 图象的一部分，则其函 数解析式是________． 解析 由图象知 A＝1，T 4 ＝π 6 － －π 3 ＝π 2 ，得 T＝2π，则ω＝1，所以 y＝sin(x＋φ)． 由图象过点 π 6 ，1 ，可得φ＝2kπ＋π 3(k∈Z)， 又|φ|＜π 2 ， 所以φ＝π 3 ，所以所求函数解析式是 y＝sin x＋π 3 . 答案 y＝sin x＋π 3 13．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象与直线 y＝b(0＜b＜ A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8，则 f(x)的单调递增区间是________． 解析 根据分析可得函数的周期为 6，即2π ω ＝6，得ω＝π 3 ，由三角函数的对称性 可知，函数在 x＝3 处取得最大值，即 Asin π 3 ×3＋φ ＝A，即 sin φ＝－1，所以φ ＝2kπ－π 2(k∈Z)．又|φ|＜π，所以φ＝－π 2 ，故函数的解析式为 f(x)＝Asin π 3x－π 2 ， 令 2kπ－π 2 ≤π 3x－π 2 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)，得 6k≤x≤6k＋3(k∈Z)．故函数 f(x)的单调递 增区间是[6k,6k＋3](k∈Z)． 答案 [6k,6k＋3](k∈Z) 14．(2014·淄博二模)下面有五个命题： ①函数 y＝sin4x－cos4x 的最小正周期是π. ②终边在 y 轴上的角的集合是 α|α＝kπ 2 ，k∈Z . ③在同一坐标系中，函数 y＝sin x 的图象和函数 y＝x 的图象有三个公共点． ④把函数 y＝3sin 2x＋π 3 的图象向右平移π 6 个单位得到 y＝3sin 2x 的图象． ⑤函数 y＝sin x－π 2 在(0，π)上是减函数． 其中真命题的序号是________． 解析 ①化简得 y＝－cos 2x，最小正周期为2π 2 ＝π.真命题． ②终边在 y 轴上的角的集合是 α|α＝kπ＋π 2 ，k∈Z ，假命题． ③在同一坐标系中，函数 y＝sin x 的图象和函数 y＝x 的图象，只有一个公共点， 假命题． ④把函数 y＝3sin 2x＋π 3 的图象向右平移π 6 个单位得到 y＝3sin 2 x－π 6 ＋π 3 ＝3sin 2x 的图象，真命题． ⑤函数 y＝sin x－π 2 在(0，π)上是增函数，假命题． 答案 ①④ 三、解答题 15．(2013·辽宁卷)设向量 a＝( 3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈ 0，π 2 . (1)若|a|＝|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值． 解 (1)由|a|2＝( 3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. 又 x∈ 0，π 2 ，从而 sin x＝1 2 ， 所以 x＝π 6. (2)f(x)＝a·b＝ 3sin x·cos x＋sin2x ＝ 3 2 sin 2x－1 2cos 2x＋1 2 ＝sin 2x－π 6 ＋1 2 ， 当 x＝π 3 ∈ 0，π 2 时，sin 2x－π 6 取最大值 1. 所以 f(x)的最大值为3 2. 16．(2014·衡水模拟)已知函数 f(x)＝1＋sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若 tan x＝2，求 f(x)的值． 解 (1)已知函数可化为 f(x)＝1＋1 2sin 2x， 所以 T＝2π 2 ＝π， 令π 2 ＋2kπ≤2x≤3π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 则π 4 ＋kπ≤x≤3π 4 ＋kπ(k∈Z)， 即函数 f(x)的单调递减区间是 π 4 ＋kπ，3π 4 ＋kπ (k∈Z)． (2)由已知 f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋cos2x sin2 x＋cos2x ＝tan2 x＋tan x＋1 tan2 x＋1 ， ∴当 tan x＝2 时，f(x)＝22＋2＋1 22＋1 ＝7 5. 17．(2013·合肥第二次质检)已知函数 f(x)＝msin x＋ 2m－1cos x. (1)若 m＝2，f(α)＝ 3，求 cos α； (2)若 f(x)的最小值为－ 2，求 f(x)在 －π，π 6 上的值域． 解 (1)由 m＝2，∴f(α)＝2sin α＋ 3cos α＝ 3， 又 sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝－1 7 或 cos α＝1. (2)f(x)＝msin x＋ 2m－1cos x＝ m2＋2m－1sin(x＋φ) ≤ m2＋2m－1， ∴ m2＋2m－1＝ 2， ∴m＝1 或 m＝－3(舍)， ∴f(x)＝sin x＋cos x＝ 2sin x＋π 4 . 由 x∈ －π，π 6 ， ∴x＋π 4 ∈ －3π 4 ，5π 12 ， ∴sin x＋π 4 ∈ －1， 2＋ 6 4 ， 所以 f(x)的值域为 － 2，1＋ 3 2 . 18．(2014·江苏省七校联考)已知 m＝(asin x，cos x)，n＝(sin x，bsin x)，其中 a， b，x∈R.若 f(x)＝m·n 满足 f π 6 ＝2，且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x＝ π 12 对称． (1)求 a，b 的值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＋log2k＝0 在区间 0，π 2 上总有实数解，求实数 k 的取值 范围． 解 (1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsin xcos x. 由 f π 6 ＝2，得 a＋ 3b＝8.① ∵f′(x)＝asin 2x＋bcos 2x，且 f′(x)的图象关于直线 x＝ π 12 对称， ∴f′(0)＝f′ π 6 ， ∴b＝ 3 2 a＋1 2b，即 b＝ 3a.② 由①②得，a＝2，b＝2 3. (2)由(1)得 f(x)＝1－cos 2x＋ 3sin 2x ＝2sin 2x－π 6 ＋1. ∵x∈ 0，π 2 ， ∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 ， ∴－1 2 ≤sin 2x－π 6 ≤1， ∴0≤2sin 2x－π 6 ＋1≤3，即 f(x)∈[0,3]． 又 f(x)＋log2k＝0 在 0，π 2 上有解， 即 f(x)＝－log2k 在 0，π 2 上有解， ∴－3≤log2k≤0，解得1 8 ≤k≤1，即 k∈ 1 8 ，1 . 学生用书 第 59 页 第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 [最新考纲] 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝ tan α±tan β 1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos2α＝1＋cos 2α 2 ，sin2α＝1－cos 2α 2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin α±π 4 . 4．函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin(α＋φ)， 其中 tan φ＝b a. 辨 析 感 悟 1．对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式 cos(α＋β)＝cos α＋cos β. (√) (3)(教材练习改编)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝1 2. (×) (4)(教材习题改编)1－tan θ 1＋tan θ ＝tan π 4 ＋θ . (×) (5)(2014·湘潭月考改编)设 tan α，tan β是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β) ＝－3. (√) 2．对二倍角公式的理解 (6)cos θ＝2cos2θ 2 －1＝1－2sin2θ 2. (√) (7)若 sin α 2 ＝ 3 3 ，则 cos α＝－1 3. (×) (8)y＝sin 2xcos 2x 的最大值为 1. (×) (9)(2013·四川卷改编)设 sin 2α＝－sin α，α∈ π 2 ，π ，则 tan 2α＝ 3. (√) [感悟·提升] 一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性， 要注意升幂、降幂的灵活运用. 学生用书 第 60 页 考点一 三角函数式的化简、求值问题 【例 1】 (1)(2013·重庆卷)4cos 50°－tan 40°＝( )． A. 2 B. 2＋ 3 2 C. 3 D．2 2 －1 (2) cos2α－sin2α 2tan π 4 －α cos2 π 4 －α ＝________. 解析 (1)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40° cos 40° ＝4sin 40°·cos 40°－sin 40° cos 40° ＝2sin 80°－sin 40° cos 40° ＝2sin 120°－40°－sin 40° cos 40° ＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40° cos 40° ＝ 3. (2)原式＝ cos2α－sin2α 2sin π 4 －α cos π 4 －α ·cos2 π 4 －α ＝ cos2α－sin2α 2sin π 4 －α cos π 4 －α ＝ cos 2α sin π 2 －2α ＝cos 2α cos 2α ＝1. 答案 (1)C (2)1 规律方法 (1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； ②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； ③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等． (2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次， 切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 【训练 1】 (1)化简：[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°＝________. (2)化简：1＋sin θ＋cos θ sin θ 2 －cos θ 2 2＋2cos θ (0<θ<π)＝____； 解析 (1)原式＝ 2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋ 3sin 10° cos 10° · 2sin 80°＝ 2sin 50°＋2sin 10°· 1 2cos 10°＋ 3 2 sin 10° cos 10° · 2cos 10°＝2 2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝2 2sin(50°＋10°)＝2 2× 3 2 ＝ 6. (2)原式＝ 2sin θ 2cos θ 2 ＋2cos2θ 2 sin θ 2 －cos θ 2 4cos2θ 2 ＝ cos θ 2 sin2θ 2 －cos2θ 2 |cos θ 2| ＝－ cos θ 2·cos θ |cos θ 2| . 因为 0<θ<π，所以 0<θ 2<π 2 ，所以 cos θ 2>0， 所以原式＝－cos θ. 答案 (1) 6 (2)－cos θ 考点二 三角函数的给角求值与给值求角问题 【例 2】 (1)已知 0<β<π 2<α<π，且 cos α－β 2 ＝－1 9 ，sin α 2 －β ＝2 3 ，求 cos(α＋β) 的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝1 2 ，tan β＝－1 7 ，求 2α－β的值． 解 (1)∵0<β<π 2<α<π， ∴－π 4<α 2 －β<π 2 ，π 4<α－β 2<π， ∴cos α 2 －β ＝ 1－sin2 α 2 －β ＝ 5 3 ， sin α－β 2 ＝ 1－cos2 α－β 2 ＝4 5 9 ， ∴cos α＋β 2 ＝cos α－β 2 － α 2 －β ＝cos α－β 2 cos α 2 －β ＋sin α－β 2 sin α 2 －β ＝ －1 9 × 5 3 ＋4 5 9 ×2 3 ＝7 5 27 ， ∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β 2 －1＝2×49×5 729 －1＝－239 729. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ tanα－β＋tan β 1－tanα－βtan β ＝ 1 2 －1 7 1＋1 2 ×1 7 ＝1 3>0， ∴0<α<π 2 ，又∵tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝ 2×1 3 1－ 1 3 2 ＝3 4>0， ∴0<2α<π 2 ， ∴tan(2α－β)＝ tan 2α－tan β 1＋tan 2αtan β ＝ 3 4 ＋1 7 1－3 4 ×1 7 ＝1. ∵tan β＝－1 7<0，∴π 2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π 4 . 规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关 角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式 即可． (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原 则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函 数；若角的范围是 0，π 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好； 若角的范围为 －π 2 ，π 2 ，选正弦较好． 【训练 2】 已知 cos α＝1 7 ，cos(α－β)＝13 14 ，且 0<β<α<π 2 ， (1)求 tan 2α的值； (2)求β. 解 (1)∵cos α＝1 7 ，0<α<π 2 ，∴sin α＝4 3 7 ， ∴tan α＝4 3， ∴tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝2×4 3 1－48 ＝－8 3 47 . (2)∵0<β<α<π 2 ，∴0<α－β<π 2 ， ∴sin(α－β)＝3 3 14 ， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1 7 ×13 14 ＋4 3 7 ×3 3 14 ＝1 2. ∴β＝π 3. 考点三 三角变换的简单应用 【例 3】 已知 f(x)＝ 1＋ 1 tan x sin2x－2sin x＋π 4 ·sin x－π 4 . (1)若 tan α＝2，求 f(α)的值； (2)若 x∈ π 12 ，π 2 ，求 f(x)的取值范围． 解 (1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin x＋π 4 · cos x＋π 4 ＝1－cos 2x 2 ＋1 2sin 2x＋sin 2x＋π 2 ＝1 2 ＋1 2(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ＝1 2(sin 2x＋cos 2x)＋1 2. 由 tan α＝2，得 sin 2α＝ 2sin αcos α sin2α＋cos2α ＝ 2tan α tan2α＋1 ＝4 5. cos 2α＝cos2α－sin2α sin2α＋cos2α ＝1－tan2α 1＋tan2α ＝－3 5. 所以 f(α)＝1 2(sin 2α＋cos 2α)＋1 2 ＝3 5. (2)由(1)得 f(x)＝1 2(sin 2x＋cos 2x)＋1 2 ＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ＋1 2. 由 x∈ π 12 ，π 2 ，得 2x＋π 4 ∈ 5π 12 ，5π 4 . ∴－ 2 2 ≤sin 2x＋π 4 ≤1，∴0≤f(x)≤ 2＋1 2 ， 所以 f(x)的取值范围是 0， 2＋1 2 . 学生用书 第 61 页 规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将 sin 2α，cos 2α化为关于正切 tan α的关系式，为第(1)问铺平道路． (2)把形如 y＝asin x＋bcos x 化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性． 【训练 3】 已知函数 f(x)＝4cos x·sin x＋π 6 －1. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间 －π 6 ，π 4 上的最大值和最小值． 解 (1)因为 f(x)＝4cos xsin x＋π 6 －1 ＝4cos x 3 2 sin x＋1 2cos x －1 ＝ 3sin 2x＋2cos2x－1＝ 3sin 2x＋cos 2x ＝2sin 2x＋π 6 ， 所以 f(x)的最小正周期为π. (2)因为－π 6 ≤x≤π 4 ，所以－π 6 ≤2x＋π 6 ≤2π 3 . 于是，当 2x＋π 6 ＝π 2 ， 即 x＝π 6 时，f(x)取得最大值 2； 当 2x＋π 6 ＝－π 6 ，即 x＝－π 6 时，f(x)取得最小值－1. 1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对 角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式： 对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证 明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形． 2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进 行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手， 给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化． 3．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三 角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系， 掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角 公式及其变形． 教你审题 3——三角函数求值中的变角问题 【典例】 (2012·江苏卷)设α为锐角，若 cos α＋π 6 ＝4 5 ，则 sin 2α＋ π 12 的值为 ________． 审题 一审条件：cos α＋π 6 ＝4 5 ，α为锐角， 二审问题：sin 2α＋ π 12 ＝？ 三找关系：2α＋ π 12 ＝2α＋π 3 －π 4 ＝2 α＋π 6 －π 4 ，解题变得明朗化！ 解析 ∵α为锐角且 cos α＋π 6 ＝4 5 ， ∴α＋π 6 ∈ π 6 ，2π 3 ， ∴sin α＋π 6 ＝3 5. ∴sin 2α＋ π 12 ＝sin 2 α＋π 6 －π 4 ＝sin 2 α＋π 6 cos π 4 －cos 2 α＋π 6 sin π 4 ＝ 2sin α＋π 6 cos α＋π 6 － 2 2 2cos2 α＋π 6 －1 ＝ 2×3 5 ×4 5 － 2 2 2× 4 5 2－1 ＝12 2 25 －7 2 50 ＝17 2 50 . 答案 17 2 50 [反思感悟] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆 角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：α＋β 2 ＝ α－β 2 － α 2 －β ；α＝(α －β)＋β等；π 4 ＋α＝π 2 － π 4 －α ；15°＝45°－30°等． 【自主体验】 已知 cos α＝1 3 ，cos(α＋β)＝－1 3 ，且α，β∈ 0，π 2 ，则 cos(α－β)的值为________． 解析 ∵cos α＝1 3 ，α∈ 0，π 2 ， ∴sin α＝2 2 3 ，∴sin 2α＝4 2 9 ，cos 2α＝－7 9. 又 cos(α＋β)＝－1 3 ，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 2 3 . ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝ －7 9 × －1 3 ＋4 2 9 ×2 2 3 ＝23 27. 答案 23 27 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．(2014·郑州模拟)计算 cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． A.1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝1 2. 答案 A 2．(2013·湖州模拟)已知 sin π 2 ＋α ＝1 3 ，则 cos(π＋2α)的值为( )． A．－7 9 B.7 9 C.2 9 D．－2 3 解析 由题意，得 sin π 2 ＋α ＝cos α＝1 3. 所以 cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos2α－1)＝1－2cos2α＝7 9. 答案 B 3．(2013·山东省实验中学诊断)已知 cos π 4 －x ＝3 5 ，则 sin 2x＝( )． A.18 25 B. 7 25 C．－ 7 25 D．－16 25 解析 因为 sin 2x＝cos π 2 －2x ＝cos 2 π 4 －x ＝2cos2 π 4 －x －1，所以 sin 2x＝ 2× 3 5 2－1＝18 25 －1＝－ 7 25. 答案 C 4．(2013·成都模拟)已知α∈ π，3 2π ，且 cos α＝－4 5 ，则 tan π 4 －α 等于( )． A．7 B.1 7 C．－1 7 D．－7 解析 因α∈ π，3 2π ，且 cos α＝－4 5 ，所以 sin α＜0，即 sin α＝－3 5 ，所以 tan α ＝3 4.所以 tan π 4 －α ＝1－tan α 1＋tan α ＝ 1－3 4 1＋3 4 ＝1 7. 答案 B 5．(2013·金华十校模拟)已知 tan α＋π 4 ＝－1 2 ，且π 2 ＜α＜π，则 sin 2α－2cos2α sin α－π 4 等于 ( )． A.2 5 5 B．－3 5 10 C．－2 5 5 D．－3 10 10 解析 sin 2α－2cos2α sin α－π 4 ＝2sin αcos α－2cos2α 2 2 sin α－cos α ＝2 2cos α，由 tan α＋π 4 ＝－1 2 ，得 tan α＋1 1－tan α ＝－1 2 ，解得 tan α＝－3，因为π 2 ＜α＜π，所以解得 cos α＝－ 1 tan2α＋1 ＝－ 10 10 ，所以原式＝2 2cos α＝2 2× － 10 10 ＝－2 5 5 . 答案 C 二、填空题 6．(2013·湖南师大附中模拟)计算： tan 12°－ 3 4cos212°－2sin 12° ＝________. 解析 原式＝ sin 12° cos 12° － 3 22cos212°－1sin 12° ＝ sin 12°－ 3cos 12° 2sin 12°cos 12°cos 24° ＝2 1 2sin 12°－ 3 2 cos 12° sin 24°cos 24° ＝2sin12°－60° 1 2sin 48° ＝－4. 答案 －4 7．(2013·南京模拟)设 f(x)＝ 1＋cos 2x 2sin π 2 －x ＋sin x＋a2sin x＋π 4 的最大值为 2＋3，则 常数 a＝________. 解析 f(x)＝1＋2cos2x－1 2cos x ＋sin x＋a2sin x＋π 4 ＝cos x＋sin x＋a2sin x＋π 4 ＝ 2sin x＋π 4 ＋a2sin x＋π 4 ＝( 2＋a2)sin x＋π 4 . 依题意有 2＋a2＝ 2＋3，∴a＝± 3. 答案 ± 3 8．(2014·广州模拟)已知 cos4 α－sin4 α＝2 3 ，且α∈ 0，π 2 ，则 cos 2α＋π 3 ＝________. 解析 ∵cos4 α－sin4 α＝(sin2 α＋cos2α)(cos2α－sin2 α)＝2 3 ，∴cos 2α＝2 3 ，又α∈ 0，π 2 ，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝ 1－cos22α＝ 5 3 ， ∴cos 2α＋π 3 ＝1 2cos 2α－ 3 2 sin 2α ＝1 2 ×2 3 － 3 2 × 5 3 ＝2－ 15 6 . 答案 2－ 15 6 三、解答题 9．(2014·浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)＝cos x－π 3 －sin π 2 －x . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若α∈ 0，π 2 ，且 f α＋π 6 ＝3 5 ，求 f(2α)的值． 解 (1)f(x)＝1 2cos x＋ 3 2 sin x－cos x ＝ 3 2 sin x－1 2cos x＝sin x－π 6 . ∴f(x)的最小正周期为 2π. (2)由(1)知 f(x)＝sin x－π 6 . 所以 f α＋π 6 ＝sin α＋π 6 －π 6 ＝sin α＝3 5 ， ∵α∈ 0，π 2 ，∴cos α＝ 1－sin2 α＝ 1－ 3 5 2＝4 5. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×3 5 ×4 5 ＝24 25 ， cos 2α＝2cos2α－1＝2× 4 5 2－1＝ 7 25 ， ∴f(2α)＝sin 2α－π 6 ＝ 3 2 sin 2α－1 2cos 2α ＝ 3 2 ×24 25 －1 2 × 7 25 ＝24 3－7 50 . 10．(2013·东莞模拟)已知函数 f(x)＝－ 3sin2 x＋sin xcos x. (1)求 f 25π 6 的值． (2)设α∈(0，π)，f α 2 ＝1 4 － 3 2 ，求 sin α的值． 解 f(x) ＝ － 3 sin2 x ＋ sin xcos x ＝ － 3 × 1－cos 2x 2 ＋ 1 2 sin 2x ＝ － 3 2 ＋ sin 2x＋π 3 ， (1)f 25π 6 ＝－ 3 2 ＋sin 25π 3 ＋π 3 ＝0. (2)f α 2 ＝－ 3 2 ＋sin α＋π 3 ＝1 4 － 3 2 ， ∴0＜sin α＋π 3 ＝1 4 ＜1 2 ， 又∵α∈(0，π)，∴α＋π 3 ∈ π 3 ，4π 3 .∴α＋π 3 ∈ 5π 6 ，π ， ∴cos α＋π 3 ＝－ 15 4 ，∴sin α＝sin α＋π 3 －π 3 ＝1 4 ×1 2 ＋ 15 4 × 3 2 ＝1＋3 5 8 . 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．已知 tan(α＋β)＝2 5 ，tan β－π 4 ＝1 4 ，那么 tan α＋π 4 等于( )． A.13 18 B.13 22 C. 3 22 D.1 6 解析 因为α＋π 4 ＋β－π 4 ＝α＋β， 所以α＋π 4 ＝(α＋β)－ β－π 4 ， 所以 tan α＋π 4 ＝tan α＋β－ β－π 4 ＝ tanα＋β－tan β－π 4 1＋tanα＋βtan β－π 4 ＝ 2 5 －1 4 1＋2 5 ×1 4 ＝ 3 22. 答案 C 2．(2013·潍坊模拟)已知α，β∈ 0，π 2 ，满足 tan(α＋β)＝4tan β，则 tan α的最大 值是( )． A.1 4 B.3 4 C.3 4 2 D.3 2 解析 由 tan(α＋β)＝4tan β，得 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝4tan β，解得 tan α＝ 3tan β 1＋4tan2β ，因 为β∈ 0，π 2 ，所以 tan β＞0.所以 tan α＝ 3 1 tan β ＋4tan β ≤ 3 2 1 tan β·4tan β ＝3 4 ，当且 仅当 1 tan β ＝4tan β，即 tan2 β＝1 4 ，tan β＝1 2 时取等号， 所以 tan α的最大值是3 4. 答案 B 二、填空题 3．(2014·永康模拟)若 sin α＋π 6 ＝3sin π 2 －α ，则 tan 2α＝________. 解析 由已知，得 sin α＋π 6 ＝ 3 2 sin α＋1 2cos α＝3cos α，即 3 2 sin α＝5 2cos α，所 以 tan α＝5 3 3 ， 所以 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2 α ＝ 2×5 3 3 1－ 5 3 3 2 ＝－5 3 11 . 答案 －5 3 11 三、解答题 4．(2012·广东卷)已知函数 f(x)＝2cos ωx＋π 6 (其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为 10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈ 0，π 2 ，f 5α＋5 3π ＝－6 5 ，f 5β－5 6π ＝16 17 ，求 cos(α＋β)的值． 解 (1)由题意知 f(x)＝2cos ωx＋π 6 的最小正周期 T＝10π＝2π ω ，则ω＝1 5. (2)由(1)知 f(x)＝2cos 1 5x＋π 6 ， 又α，β∈ 0，π 2 ，f 5α＋5π 3 ＝－6 5 ，f 5β－5π 6 ＝16 17 ， 即 cos α＋π 2 ＝－3 5 ，cos β＝ 8 17 ， ∴sin α＝3 5 ，cos α＝ 1－sin2α＝4 5 ， sin β＝ 1－cos2β＝15 17 ， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝4 5 × 8 17 －3 5 ×15 17 ＝－13 85. 学生用书 第 62 页 第 6 讲 正弦定理和余弦定理 [最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 知 识 梳 理 1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝b2＋c2－a2 2bc ； cos B＝a2＋c2－b2 2ac ； cos C＝a2＋b2－c2 2ab 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两角 2.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝1 2ah(h 表示边 a 上的高)． (2)S＝1 2bcsin A＝1 2absin C＝1 2acsin B. (3)S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为△ABC 内切圆半径)． 辨 析 感 悟 1．三角形中关系的判断 (1) 在 △ ABC 中 ， sin A ＞ sin B 的 充 分 不 必 要 条 件 是 A ＞ B. (×) (2)(教材练习改编)在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，则 A＝60°或 120°. (√) 2．解三角形 (3)在△ABC 中，a＝3，b＝5，sin A＝1 3 ，则 sin B＝5 9. (√) (4)(教材习题改编)在△ABC 中，a＝5，c＝4，cos A＝ 9 16 ，则 b＝6. (√) 3．三角形形状的判断 (5)在△ABC 中，若 sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形． (√) (6)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形． (×) [感悟·提升] 1．一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，如(1)． 2．判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余 弦)定理实施边、角转换. 学生用书 第 63 页 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b. 若 2asin B＝ 3b，则角 A 等于 ( )． A.π 3 B.π 4 C.π 6 D. π 12 (2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1， c＝4 2，B＝45°，则 sin C＝______. 解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理及已知得 2sin A·sin B＝ 3sin B， ∵B 为△ABC 的内角，∴sin B≠0. ∴sin A＝ 3 2 .又∵△ABC 为锐角三角形， ∴A∈ 0，π 2 ，∴A＝π 3. (2)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8 2× 2 2 ＝25，即 b＝5. 所以 sin C＝c·sin B b ＝4 2× 2 2 5 ＝4 5. 答案 (1)A (2)4 5 规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一 边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角 定理进行判断． 【训练 1】 (1)在△ABC 中，a＝2 3，c＝2 2，A＝60°，则 C＝ ( )． A．30° B．45° C．45°或 135° D．60° (2)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C ＝2 3sin B，则 A＝ ( )． A．30° B．60° C ． 120° D．150° 解析 (1)由正弦定理，得 2 3 sin 60° ＝ 2 2 sin C ， 解得：sin C＝ 2 2 ，又 c＜a，所以 C＜60°，所以 C＝45°. (2)∵sin C＝2 3sin B，由正弦定理，得 c＝2 3b， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝－ 3bc＋c2 2bc ＝－ 3bc＋2 3bc 2bc ＝ 3 2 ， 又 A 为三角形的内角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A 考点二 判断三角形的形状 【例 2】 (2014·临沂一模)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， 且 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角 A 的大小； (2)若 sin B＋sin C＝ 3，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得 2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即 bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2 ，∴A＝60°. (2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由 sin B＋sin C＝ 3，得 sin B＋sin(120°－B)＝ 3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝ 3. ∴3 2sin B＋ 3 2 cos B＝ 3，即 sin(B＋30°)＝1. ∵0°

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