【数学】2020届一轮复习人教A版 相似三角形的判定与性质 课时作业

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‎2020届一轮复习人教A版 相似三角形的判定与性质 课时作业 ‎ 1、已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN= （ ） ‎ A．2 B． 5 C． D．‎ ‎2、在中，分别为上的点，且，的面积是，梯形的面积为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、如图，四棱柱中，面，四边形为梯形，，且．过，，三点的平面记为，与的交点为，则为（ ）‎ A． B． C． D．与的值有关 ‎4、如图，平行四边形ABCD中，，若的面积等于，则的面积等于（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝，则DB＝（ ）‎ A． B． C． D． 6、如图，⊙O上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O的半径等于 ．‎ ‎7、已知△ABC为直角三角形，且，AB=10，点P是平面ABC外一点，若PA=PB=PC，且PＯ⊥平面ABC，Ｏ为垂足，则ＯＣ= ．‎ ‎8、如图是圆的直径，延长至D，使切圆于，则 ．‎ ‎9、现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________.‎ ‎ 10、如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎（1）证明：EF∥BC；‎ ‎（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．‎ ‎11、选修4—1：几何证明选讲 如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎12、如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P.‎ ‎(1)求证：OM·OP＝OA2；‎ ‎(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.求证：∠OKM＝90°.‎ ‎13、已知中,,以点为圆心,以为半径的圆分别交,于两,两点,且为该圆的直径.‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）若.求的长.‎ ‎14、如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．‎ ‎15、如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P．‎ ‎（1）求证：OM·OP＝OA2；‎ ‎（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM＝90°．‎ ‎16、如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若△ABC是面积为的等边三角形，求AP·AD的值 ‎17、如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点．若，求的值．‎ A B C D E F O ‎18、如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D.求证：∽‎ A B C E D O ‎19、如图，BA是⊙O的直径，AD⊥‎ AB，点F是线段AD上异于A、D的一点，且BD、BF与⊙O分别交于点C、E．求证：．‎ ‎20、如图，在中，，的外接圆O的弦交于点D 求证：‎ 参考答案 ‎1、答案：A 连接AM并延长，交BC于点G，根据全等三角形的判定和性质，可以证明MN是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可求出MN的大小．‎ 如图，连接AM并延长，交BC于点G．∵AD∥BC，∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，又∵M为BD中点，∴△AMD≌△GMB，∴BG=AD，AM=MG．在△AGC中，MN为中位线，故选：A．‎ 考点：平行线等分线段定理 ‎2、答案：B 根据相似三角形的性质，由已知可证 ，所以相似比是1：2，故DE：BC=1：根据题意，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则，∵DE∥BC，则△ADE∽△ABC，设相似比是k，则面积的比是，因而相似比是1：2，∴DE：BC=1：2.故选：B．‎ 考点：平行线分线段成比例定理 ‎3、答案：B ‎ 延长与相交于，则，连结．‎ 参考答案 ‎1、答案：A 连接AM并延长，交BC于点G，根据全等三角形的判定和性质，可以证明MN是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可求出MN的大小．‎ 如图，连接AM并延长，交BC于点G．∵AD∥BC，∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，又∵M为BD中点，∴△AMD≌△GMB，∴BG=AD，AM=MG．在△AGC中，MN为中位线，故选：A．‎ 考点：平行线等分线段定理 ‎2、答案：B 根据相似三角形的性质，由已知可证 ，所以相似比是1：2，故DE：BC=1：根据题意，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则，∵DE∥BC，则△ADE∽△ABC，设相似比是k，则面积的比是，因而相似比是1：2，∴DE：BC=1：2.故选：B．‎ 考点：平行线分线段成比例定理 ‎3、答案：B ‎ 延长与相交于，则，连结．‎ 因为平面，所以，因为，且，所以，因为，所以，因为，所以，即，故选B．‎ 考点：1、平面的基本性质；2、平行线分线段成比例；3、四棱柱的性质．‎ ‎4、答案：C ‎，~，所以所以，所以．‎ 考点：1.相似三角形的性质；2.相似三角形的面积计算．‎ ‎5、答案：A 根据题意可得：，所以，当时，，，所以，故选A．‎ 考点：直角三角形的性质 ‎6、答案：5‎ 先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．‎ AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，．‎ 考点：直角三角形中的射影定理 ‎7、答案：‎ 因为，所以．即是的外心，即点是斜边的中点，所以．‎ 考点：1.射影定理；2.直角三角形的性质．‎ ‎8、答案：‎ 设圆半径为r，连结OC、BC，则，由条件有：，在中，‎ ‎，，则，B是OD中点，则，弦切角，‎ ‎，∴与相似，∴．‎ 考点：三角形相似．‎ ‎9、答案： 10、答案：试题分析：（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；‎ ‎（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．‎ 试题（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，‎ ‎∴AD是∠CAB的角平分线，‎ 又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，‎ ‎∴AE=AF，∴AD⊥EF，‎ ‎∴EF∥BC；‎ ‎（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，‎ 又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，‎ 连结OE、OM，则OE⊥AE，‎ 由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，‎ ‎∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，‎ ‎∵AE=2，∴AO=4，OE=2，‎ ‎∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，‎ ‎∴AD=5，AB=，‎ ‎∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．‎ 考点：相似三角形的判定．‎ 点评：本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题． 11、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）要证明两线段相等，这里两线段不在两个全等三角形中，但由于是两圆的切线，而是两圆的割线，由切割线定理可得，得证；（2）要求，仔细观察图形会发现有，因此，是直角三角形斜边上的高，由直角三角形的性质可求．‎ 试题（1）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线 依据切割线定理得 另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，‎ 同样依据切割线定理得 故 ‎（2）连结，∵BC为圆O直径，‎ ‎∴‎ 在RT△EBC中，有 又在中，由射影定理得 考点：切割线定理，直角三角形中的射影定理． 12、答案：试题分析：试题证明：(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.‎ 又AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.‎ ‎(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK.‎ 又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即.又∠NOP＝∠MOK，‎ 所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°‎ 考点：射影定理，三角形相似 13、答案：（1）证明详见解析；（2）.‎ 试题分析：本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．第一问，在等腰三角形ABC中，得到，在等腰三角形BCE中，得到，经过转化得到，所以；第二问，结合第一问的结论得到∽，从而得到边的比例关系，计算出BC的长.‎ 试题（1）因为，所以，又因为，所以，所以，所以．（5分）‎ ‎（2）由(1)可知∽，从而，由，得．‎ 考点：平面几何的证明、三角形相似. 14、答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：本题主要考查三角形相似、勾股定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用四边形ABCD，得到，还有一个公共角P，所以可得到与相似，得到，将已知条件代入即可；第二问，利用第一问的结论，得到PC的值，在直角三角形PBC中，利用勾股定理计算出BC的值．‎ 试题（Ⅰ）由，，得与相似，‎ 设则有 ‎，，‎ 所以 ‎（Ⅱ）由题意知，，‎ 考点：三角形相似、勾股定理． 15、答案：（1）详见解析（2）详见解析 试题分析：（1）直角三角形斜边上的高，满足射影定理条件，可推得OA2＝OM·OP．（2）同理可由射影定理知，OB2＝ON·OK．又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，‎ 从而，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°．‎ 试题证明：（1）因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM．‎ 又AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP．（4分）‎ ‎（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1），有OB2＝ON·OK．‎ 又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即．又∠NOP＝∠MOK，‎ 所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°．（10分）‎ 考点：射影定理，三角形相似 16、答案：（1）证明如下；（2）16；‎ 试题分析：（1）利用相似三角形的判定方法，得出∽，进而得到,即；（2）利用相似三角形的判定方法，得出∽，从而有；‎ 试题（1）因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因为∠DPC＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因为∠D＝∠D，所以∽,，所以，又因为AB＝AC，所以＝．即；‎ ‎（2）因为△ABC是面积为的等边三角形，故AB＝AC=4，又因为AB＝AC所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°．由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以∽，所以＝，所以；‎ 考点：相似三角形的判定以及性质 17、答案：‎ 试题分析：求的值可以利用相似三角形的性质，则连接，易得；再连接交于，则得四边形为平行四边形，由，结合三角形中位线、平行四边形的性质可得的关系；‎ 试题 A B C D E F O 连接OD，BC，设BC交OD于点M．‎ 因为OA=OD，所以OAD=ODA；‎ 又因为OAD=DAE，所以ODA=DAE 所以OD//AE；又因为ACBC，且DEAC，所以BC//DE．‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，由，设3x，5x，则，又，‎ 所以MD，所以，‎ 因为//，所以=．‎ 考点：1.相似三角形的判定与性质； 18、答案：试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到,又公共角，所以两三角形相似 试题因为，所以．‎ 又因为，所以，‎ 又为公共角，可知∽．‎ 考点：相似三角形 19、答案：证明见解析．‎ 试题分析：从题设证明的式子可知，只要证明，那么只要能证明，由已知会发现这两角都与相等，结论得证．‎ 试题：连接AC，EC,,‎ ‎，又，‎ 又，,‎ 考点：相似三角形． 20、答案：证明：因为，所以．‎ 又因为，所以，‎ 又为公共角，可知∽．‎ A B C E D O ‎ ‎