中考数学二轮复习时抛物线中的一个动点问题

中考数学二轮复习时抛物线中的一个动点问题

第19课时 抛物线中的一个动点问题 ‎(40分)‎ ‎ 图6－3－1‎ ‎1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.‎ ‎(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；‎ ‎(2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；‎ ‎(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．‎ ‎【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；‎ ‎(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.由题意可知，BC＝10，OA＝4，S△ABC＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因MN∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得＝＝，由△AMN，△ABN是同高三角形，可得出＝＝＝，从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；‎ ‎(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NM∥AC推出M为AB边中点，根据直角三角形中线定理可得OM＝AB，利用勾股定理，易得AB＝2，AC＝4，即可求出OM＝AC.‎ 解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，得 解得a＝－，b＝.‎ ‎∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4；‎ ‎(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)；‎ 则BN＝n＋2，CN＝8－n.‎ ‎∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10.‎ 令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)，OA＝4，‎ ‎∵MN∥AC，∴＝＝.‎ ‎∵OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝BC·OA＝20.‎ ‎ S△ABN＝BN·OA＝(n＋2)×4＝2(n＋2)，‎ 又∵＝＝，‎ ‎∴S△AMN＝S△ABN＝(8－n)(n＋2)＝－(n－3)2＋5.‎ ‎∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；‎ ‎(3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点，‎ ‎∴OM＝AB，∵AB＝＝＝2，‎ AC＝＝＝4，‎ ‎∴AB＝AC，∴OM＝AC.‎ 图6－3－2‎ ‎2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式；‎ ‎(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；‎ ‎(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得 解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－5；‎ ‎(2)在y＝x2＋x－5中，令x＝0，可得y＝－5，‎ ‎∴点C坐标为(0，－5)，‎ ‎∵S△ABE＝S△ABC，且点E在x轴下方，‎ ‎∴点E纵坐标和点C纵坐标相同，‎ 当y＝－5时，代入可得x2＋x－5＝－5，‎ 解得x＝－2或x＝0(舍去)，‎ ‎∴点E坐标为(－2，－5)；‎ ‎(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为，‎ 如答图，连结AP，CE，AE，过点E作ED⊥AC于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q，‎ 第2题答图 则AQ＝AO＋OQ＝5＋m，‎ PQ＝，‎ 在Rt△AOC中，OA＝OC＝5，‎ 则AC＝5，∠ACO＝∠DCE＝45°，‎ 由(2)可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝，‎ ‎∴AD＝AC－DC＝5－＝4，‎ 当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴m2＋m－5＝(5＋m)或m2＋m－5＝－(5＋m)，‎ 当m2＋m－5＝(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝或m＝－5(与点A重合，舍去)，‎ 当m2＋m－5＝－(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝或m＝－5(与点A重合，舍去)，‎ ‎∴存在满足条件的点P，其横坐标为或.‎ ‎(40分)‎ 图6－3－3‎ ‎3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．‎ ‎(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；‎ ‎(2)求证：△ABC是直角三角形；‎ ‎(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)，‎ ‎∴设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋1，‎ 又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，‎ ‎∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x，‎ 联立抛物线和直线表达式，可得 解得或 ‎∴B(2，0)，C(－1，－3)；‎ ‎(2)证明：如答图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点，‎ 第3题答图 则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，‎ EC＝3.‎ ‎∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，‎ ‎∴△ABC是直角三角形；‎ ‎(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，‎ ‎－x2＋2x)，‎ ‎∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，‎ 由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝，BC＝3，‎ ‎∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，‎ ‎∴当△ABC和△MNO相似时有＝或＝，‎ ‎①当＝时，则有＝，‎ 即|x|·|－x＋2|＝|x|，‎ ‎∵当x＝0时M，O，N不能构成三角形，∴x≠0，‎ ‎∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝±，‎ 解得x1＝，x2＝，‎ 此时点N坐标为或；‎ ‎②当＝时，则有＝，‎ 即|x|·|－x＋2|＝3|x|，‎ ‎∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，‎ 解得x＝5或－1，‎ 此时点N坐标为(－1，0)或(5，0)，‎ 综上可知，存在满足条件的点N，其坐标为或或(－1，0)或(5，0)．‎ 图6－3－4‎ ‎4．(20分)[2017·泸州]如图6－3－4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．‎ ‎(1)求该二次函数的表达式；‎ ‎(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；‎ ‎(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值．‎ ‎【解析】 (1)根据待定系数法求解；‎ ‎(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)．根据tan∠MBA＝tan∠CAO列关于t的方程求解t，从而可确定直线BD表达式，再求直线BD与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；‎ ‎(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，设P(t，at2＋bt＋c)，根据直线BC 表达式点H的坐标，计算线段PH长度；用t表示直线AP表达式，解出点E，F坐标从而可表示出线段CF，将S1－S2用t表示，根据二次函数性质求最值．‎ 解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，∵抛物线图象过点C(0，2)，∴－4a＝2，解得a＝－.‎ ‎∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－4)，‎ 即y＝－x2＋x＋2；‎ ‎(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)．‎ ‎∵∠DBA＝∠CAO，∴∠MBA＝∠CAO，‎ ‎∴tan∠MBA＝tan∠CAO＝2，∴＝2，即t＝±8.‎ 当t＝8时，直线BD表达式为y＝－2x＋8.‎ 联立解得 ‎∴D(3，2)．‎ 当t＝－8时，直线BD表达式为y＝2x－8.‎ 联立 解得 ∴D(－5，－18)．‎ 综上：点D的坐标为(3，2)或(－5，－18)；‎ 第4题答图 ‎(3)如答图，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，设P， 直线BC的表达式为y＝－x＋2，则H，‎ ‎∴PH＝yP－yH＝－t2＋2t；‎ 直线AP的表达式为y＝(x＋1)，取x＝0，得y＝2－t；‎ 故F，CF＝2－＝t；‎ 联立解得xE＝，‎ ‎∴S1＝(yP－yH)(xB－xE)‎ ‎＝，‎ S2＝··.‎ ‎∴S1－S2＝－··＝－t2＋4x＝－＋.‎ ‎∴当t＝时，S1－S2有最大值，最大值为.‎ ‎(20分)‎ ‎5．(20分)[2016·金华]在平面直角坐标系中，O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y＝ax2相交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在AB的延长线上．‎ ‎(1)已知a＝1，点B的纵坐标为2.‎ ‎①如图6－3－5①，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长；‎ ‎②如图②，若BD＝AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式；‎ ‎(2)如图③，若BD＝AB，过O，B，D三点的抛物线L3的顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．‎ 图6－3－5‎ 解：(1)①对于二次函数y＝x2，当y＝2时，2＝x2，解得x1＝，x2＝－，∴AB＝2.‎ ‎∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴BC＝AB＝2，‎ ‎∴AC＝4；‎ ‎②如答图①，记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N.‎ 根据抛物线的轴对称性，得BN＝DB＝，‎ ‎∴OM＝.‎ 设抛物线L2的函数表达式为y＝a2·.‎ 由①得，点B的坐标为，‎ ‎∴2＝a2·，解得a2＝4.‎ ‎∴抛物线L2的函数表达式为y＝4；‎ 即y＝4x2－12x＋18.‎ ‎ ‎ ‎① 　　　②‎ 第5题答图 ‎(2)如答图②，设抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点 B作BK⊥x轴于点K.‎ 设OK＝t，则AB＝BD＝2t，点B的坐标为(t，at2)，‎ 根据抛物线的轴对称性，得OQ＝2t，OG＝2OQ＝4t.‎ 设抛物线L3的函数表达式为y＝a3x(x－4t)，‎ ‎∵该抛物线过点B(t，at2)，∴at2＝a3t(t－4t)，‎ 又∵t≠0，∴＝－，‎ 由题意得，点P的坐标为(2t，－4a3t2)，则－4a3t2＝ax2，‎ 解得x1＝t，x2＝－t，EF＝t，∴＝.‎