2018届二轮复习坐标系与参数方程学案（全国通用）
艺术班2016年高考“坐标系与参数方程”教学案
一、考纲要求
（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
（2）了解极坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
（3）能在极坐标系中给出简单图形表示的方程．
（4）了解参数方程，了解参数的意义．
（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
二、2010年至2015年试题分析
1、属中档题，均设两问。第一问较简单，通常为参方与普方、极方与普方互化、极坐标化直角坐标；第二问综合性较强，与多个知识点交汇出题居多，要求学生具综合运用知识能力。
2、常用方法归纳：（1）参数法求轨迹方程；（2）用极径差求线段长度；（3）最值问题一般转化为三角函数最值（化单一函数）；（4）求交点极坐标、求曲线极坐标方程等，一般先求交点的直角坐标、求曲线的直角坐标方程，然后再转化。用熟悉的知识（直角坐标系）解决不熟悉的问题（极坐标系）。
3、由于极坐标与参数方程是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，所以必须掌握好与以上相关内容．
如辅助角公式：，其中，．
四、课堂讲解与练习
第一课时 极坐标系与直角坐标系
教学要求：理解极坐标，并能与直角坐标互化；理解极坐标方程，并能与直角坐标方程互化。
一、理解两种坐标系如何表示点的位置
1、画出两种坐标系，并将其放在一起（直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位），说明它们如何表示点的位置：
直角坐标系：用一对实数表示点的位置：（x,y），如A（0，1），B（1，0），C（1，1）
极坐标系：用一个实数和一个角表示点的位置:(ρ,θ)，如（1， ），（1，0），（
2、同一点、同一曲线在不同坐标系中的表现形式
极坐标与直角坐标：
举例：表示同一点：A（0，1）～（1， ）；B(1,1) ～( …
极坐标方程与直角坐标方程：
举例：表示同一个圆：ρ=2；表示同一条线y=x …
二、极坐标与直角坐标的互化
互化公式的三个前提条件:①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;③两种坐标系的单位长度相同.
平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。但θ，ρ也可取负，θ为负表逆时针，ρ为负表示反方向。
例1、把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,) (2)B(4, )
(3)M(5, ) (4)N(3,).
变式训练：在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例2、把下列点的直角坐标化成极坐标：已知点B和点C的直角坐标为求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
三、极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程直角坐标方程―→曲线的形状
例1、将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化．
(1)x2＋y2＝4；(2)(x－1)2＋(y＋2)2＝4；
(3)ρ＝3cos θ；(4)ρ＝cos; (5) ρ＝2
练习：
1极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是( )．
A．1 B．2 C． D．3
2过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )．
A．ρcOs θ＝2 B．ρsin θ＝2
C．ρcOs θ＝1 D．ρsin θ＝1
3、把2x＋4y－1＝0化为极坐标方程。
4、把x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程。
5、化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状．
(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝. （5） （6） （7）.
第二课时 极坐标习题课
教学要求：能在极坐标系中画出点；能写出点极坐标；能与直角坐标互化。
例题与练习：
1、如图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来。（A为教学楼、B为体育馆、C为图书馆、D为实验楼、E为办公楼。正方形ABCD，AB=60m、AE=50m、
0，－π<θ<0)可写为________．
6．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．
7．在极坐标系中，已知三点M，N(2,0)，P.
(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标．(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．
8．经过极点O(0，0)，A(6，)，B(6，)三点的圆的极坐标方程为________________．
第三课 直线与圆的极坐标方程
教学要求：简单了解极坐标方程的求法。重点掌握过极点的直线极坐标方程和圆心在极点的圆极坐标方程。 ]
一、极坐标方程
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程表示。曲线与方程满足如下关系：
（1）曲线C上的点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上。
那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程表示呢？
定义：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这个极坐标方程的曲线。
求极坐标方程步骤：
根据题意画出草图―→设点M(ρ，θ)―→建立ρ，θ的方程并化简―→检验
二、直线和圆的极坐标方程
常见简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为C(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ(－≤θ＜)
圆心为C(r，)，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
三、例题与习题
(1)求极点且倾斜角为的直线的极坐标方程；
第四课时 把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题
教学要求：能把极坐标问题转化为直角坐标问题去解决。
例题与练习：
1．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ围成的图形面积______．
2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．
3．在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．
4．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos，它们相交于A，B
两点，则线段AB的长为________．
5、已知一条直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是__________．
6、求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程；
7、在极坐标系中，求半径为1，圆心为C(1，π)的圆的极坐标方程．
8．经过极点O(0，0)，A(6，)，B(6，)三点的圆的极坐标方程为________________．
9、在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
10、在极坐标系中,设曲线与的交点分别为、,则 .[ ]
第五课时 参数方程
教学要求：理解曲线的参数方程；能将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程。
一、参数方程的意义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
如，圆的参数方程为（t为参数）
椭圆的参数方程为（θ为参数）
归纳：同一曲线的两种形式的方程。表示同一曲线。
二、化参数方程为普通方程
方法：消参数，常用①代入法，②
例题与练习：
1、已知曲线： （为参数），：（为参数）．化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线。
2、化（t为参数）为普通方程，并说明它表示什么曲线。
3、已知直线：（为参数），圆：（为参数），
当时，求与的交点坐标。
4、已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：
，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为： 则圆截直线所得弦长为
第六课时 直线、圆、椭圆的参数方程及应用
教学要求：能写出圆、椭圆的参数方程；会运用参数方程设点坐标，求轨迹的参数方程等。
一、 直线、圆、椭圆的参数方程
圆参数方程为：｛(θ为参数);
圆参数方程为：｛(θ为参数);
椭圆的参数方程为：｛(θ为参数)
直线：过定点，倾斜角为的直线参数方程（为参数）．
例题与练习：写出下列参数方程
x2＋y2＝1；x2＋y2＝2；x2＋(y－1)2＝1；(x－3)2＋(y－3)2＝9；＋＝1；.直线l过点P（1，1），倾斜角为。
二、参数方程的运用
重点：利用参数方程设点坐标。
1、（2010年改编）
y=tsina
X=1+tcosa
已知直线：{ {t为参数}。过坐标原点O做的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
2、（2011年改编）
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．求的方程；
3、（2012年改编）
已知曲线的参数方程是（是参数），且A,B,C,D 四点坐标A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1），设P为上任意一点，求的取值范围.
4、（2014年）
已知曲线，直线（为参数）
（1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.
第七课时 极坐标与参数方程综合应用
1、（2010年23）
y=
X=
y=tsina
X=1+tcosa
已知直线：{ {t为参数}。图：{ {为参
（Ⅰ）当a=时，求与的交点坐标：（Ⅱ）过坐标原点O做的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
2、（2011年23）
在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．
（I）求的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．
3、（2012年23）
已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；
(Ⅱ)设P为上任意一点，求的取值范围.
4、（2013年23） 已知曲线C1的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
5、（2014年）已知曲线，直线（为参数）
（1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.
[ ]
6、（2015年）在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程.（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.
