2020春人教版七年级下数学教学课件全册优质课件

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人教版七年级数学下册精 编版课件 全册优质课件 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 精心整理 人教版七年级数学下册精 编版课件 第五章 相交线与平行线 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 5.1 相交线 5.1.1 相交线 人教版 数学 七年级 下册 导入新知 导入新知 导入新知 导入新知 导入新知 1. 借助两直线相交所形成的角 初步理解邻补角、对顶角的概念 . 2. 会根据邻补角、对顶角的性质去 求一个角的度数 . 素养目标 3. 掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们解 决 简单实际问题 . 如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观察两根木条所形成的角的位置及大小关系 . 你能动手画出两条相交直线吗 ? 探究新知 知识点 1 邻补角与对顶角的定义 ∠1 ，∠ 2 ，∠ 3 ，∠ 4 两条直线相交，形成的小于平角的角有哪几个？ 1 2 3 4 B A C D O 将这些角两两相配能得到几对角？ 探究新知 分类 两直线相交 ∠1 和∠ 2 ∠2 和∠ 3 ∠1 和∠ 3 位置关系 你能根据这几对角的位置关系，对它们进行分类吗？ B A C D 2 4 1 3 ∠3 和∠ 4 ∠4 和∠ 1 ∠2 和∠ 4 探究新知 1 . 有公共顶点 2 . 有一条公共边 3 . 另一边互为反向延长线 1 . 有公共顶点 2 . 没有公共边 3 . 两边互为反向延长线 1 2 3 4 B C D O A 观察 ∠ 1 和 ∠ 2 的顶点和两边，有怎样的位置关系？ 如 图， ∠ 1 与 ∠ 2 有一条 公共边 OC ，它们的 另一边互为反向延长线 （ ∠ 1 与 ∠ 2 互补），具有这种位置关系的两个角，互为 邻补角 . 邻补角 探究新知 1 3 B C D A 2 4 O 类比 ∠ 1 和 ∠ 2 ，看 ∠ 1 和 ∠ 3 有怎样的位置关系？ 如 图， ∠ 1 与 ∠ 3 有一个 公共顶点 O ，并且 ∠ 1 的两边分别是 ∠ 3 的两边的 反向延长线 ，具有这种位置关系的两个角，互为 对顶角 . 对顶角 探究新知 分类 两直线相交 位置关系 归 纳 总 结 B A C D 2 4 1 3 ∠1 和∠ 2 ∠2 和∠ 3 ∠1 和∠ 3 ∠3 和∠ 4 ∠4 和∠ 1 ∠2 和∠ 4 探究新知 1 . 有公共顶点 2 . 有一条公共边 3 . 另一边互为反向延长线 1 . 有公共顶点 2 . 没有公共边 3 . 两边互为反向延长线 定义 邻补角 对顶角 例 1 下列各图中，∠ 1 与∠ 2 是对顶角的是 （ ） 1 2 C 1 2 D D 1 2 A 1 2 B 提示 ： 对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 探究新知 素养考点 1 对顶角的判断 1 . 下列各组角中， ∠1 与 ∠2 是对顶角的为( ) D 巩固练习 C O A B D 4 3 2 1 问题 ： ∠ 1 与 ∠ 3 在数量上又有什么关系呢？ 【 讨论 】 你 能利用有关知识来验证 ∠ 1 与 ∠ 3 的数量关系吗？ 在 上学期我们已经知道互为补角的两个角的和为 180 ° ，因而 互为邻补角的两个角的和为 180 ° . 知识点 2 猜想 ： 对顶角相等 探究新知 对顶角、领补角的性质 已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点(如图 ), 求证 : ∠ 1 =∠ 3 ， ∠ 2 =∠ 4 . 证明 ： ∵直线 AB 与 CD 相交于 O 点, ∴ ∠ 1 +∠ 2 = 180 ° ∠ 2 +∠ 3 = 180 °， ∴∠ 1 =∠ 3. 同理可得 ∠ 2 =∠ 4. 符号语言：∵直线 AB 与 CD 相交于 O 点， ∴∠ 1 =∠ 3 ， ∠ 2 =∠ 4 . 探究新知 C O A B D 4 3 2 1 量一量 ： 图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？ 探究新知 对顶角相等 B A C D O 1 2 3 4 1 . 有公共顶点 归类 ∠1 和 ∠2 、 ∠2 和 ∠3 、 ∠3 和 ∠4 、 ∠4 和 ∠1 ∠1 和 ∠3 、 ∠2 和 ∠4 、 1 . 有公共顶点 位置关系 邻补角 对顶角 2 . 有一条公共边 3 . 另一边互为反向延长线 2 . 没有公共边 两直线相交 3 . 两边互为反向延长线 名称 考虑角的位置关系可从角的顶点和角的边入手! 数量关系 对顶 角相 等 邻补 角互 补 探究新知 例 1 如 图 , 直线 a 、 b 相交， ∠ 1=40° , 求 ∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 的度数 . a b ） （ 1 3 4 2 ） （ 变式 1 ： 若 ∠ 1= 32°20′ ，求 ∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 的度数 . 解： 由邻补角的定义可知 ∠2=180°-∠1 =180°-40°=140 ° ； 由对顶角相等可得 ∠3=∠1=40° ，∠ 4=∠2=140 ° . 探究新知 素养考点 1 利用对顶角、领补角的性质求角的度数 解 : 设 ∠ 1= x ° , 则 ∠ 2=3 x ° ， 变式 3 ： 若 ∠ 2 是 ∠ 1 的 3 倍，求 ∠ 3 的度数？ 根据邻补角的定义 , 得 x +3 x =180 ， 所以 x =45 ， 根据对顶角相等 , 可得 ∠ 3=∠1=45 ° . 则 ∠ 1=45 ° ， 变式 2 ： 若 ∠ 1 ＋ ∠ 3 = 50° ，则 ∠ 3= ， ∠ 2= . 25° 155° a b ） （ 1 3 4 2 ） （ 探究新知 （ 3 ）若 1: 2 = 2: 7 ，则 ∠ 1, ∠2 , ∠3 , ∠4 的度数分别为 ________________________. （ 2 ） 若 ∠2 是 ∠3 的 3 倍，则 ∠ 1, ∠2 , ∠3 , ∠4 的度数分别为 ________________________. （ 1 ） 若 ∠1+∠3= 60º ，则 ∠ 1, ∠2 , ∠3 , ∠4的度数分别为 ________________________ . 30º 、 150º 、 30º 、 150º 45º 、 135º 、 45º 、 135º 40º 、 140º 、 40º 、 140º 巩固练习 2. 如图所示，直线 a 和 b 相交于点 O ， 完成下列各题 例 3 如图，直线 AB 、 CD ， EF 相交于点 O ， ∠1 ＝ 40° ， ∠ BOC ＝ 110° ，求 ∠2 的度数 . 解： ∵ ∠1 ＝ 40° ， ∠ BOC ＝ 110° ( 已知 ) ， ∴ ∠ BOF ＝ ∠ BOC － ∠1 ＝ 110° － 40° ＝ 70° . ∵ ∠ BOF ＝ ∠2 ( 对顶角相等 ) ， ∴ ∠2 ＝ 70° ( 等量代换 ) ． 提示： 隐含条件 “ 对顶角相等” . 探究新知 素养考点 2 利用隐含条件求角的度数 3. 如图，直线 AB 、 CD 、 EF 、 MN 相交，若 ∠ 2= ∠ 5 ，找出图中与 ∠ 2 互补的角 . F N C E A B D M 1 2 3 4 5 8 6 7 解： ∵ EF 与 AB 相交，∠ 1+ ∠ 2=180° ∠ 2+ ∠ 3= 180 °, ∴∠ 2 的补角有∠ 1 和∠ 3; ∵ CD 与 MN 相交，∠ 5+ ∠ 8=180° ， ∠ 5+ ∠ 6=180 ° 且∠ 2= ∠ 5, ∴∠ 2 的补角有∠ 6 和∠ 8; 巩固练习 ∴ ∠ 2 的补角有 ∠ 1 、∠ 3 、∠ 6 和∠ 8. （ 2018 •贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（　　） A．∠1和∠ 2 B ．∠1和∠ 3 C ．∠2和∠4 D ．∠2和∠5 巩固练习 连接中考 A 1. 下列各图中 ∠ 1 、∠ 2 是邻补角吗？为什么？ 1 2 1 2 1 2 ∠1=140° ∠1=120° ∠ 1=130° ∠2=40° ∠2=60° ∠2=50° （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 不是 不是 是 基础巩固题 课堂检测 2. 下列各图中 ∠ 1 、∠ 2 是对顶角吗？为什么？ 1 2 （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 2 1 （ 1 ） 2 1 不是 是 不是 不是 （ 5 ） 是 1 2 1 2 课堂检测 基础巩固题 O 3. 如图两堵墙围一个角  AO B , 但人不能进入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？ C D  AOB =∠ COD  AOB =180°-∠ AOC （邻补角互补 ) （对顶角相等 ) 课堂检测 方法一 方法二 基础巩固题 A B ） ） 4. 找出图中 ∠ AOE 的邻补角及对顶角 , 若没有请画出. A B C O D E ） F 解 : 邻补角是 ∠ EOB 和 ∠ AOF ; 对 顶 角 是 ∠ BOF . 课堂检测 基础巩固题 5. 如图,直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O . ( 1 )写出 ∠ AOC , ∠ BOE 的邻补角； ( 2 )写出 ∠ DOA , ∠ EOC 的对顶角； ( 3 )如果 ∠ AOC = 50 ° ,求 ∠ BOD ，∠ COB 的度数 . C A E D B F O 解 : ( 1 ) ∠ AOC 的邻补角是 ∠ AOD 和 ∠ C O B ; ∠ BOE 的邻补角 是 ∠ EOA 和 ∠ BOF . ( 2 ) ∠ DOA 的 对顶角 是 ∠ COB ; ∠ EOC 的对顶角是 ∠ DOF . ( 3 ) ∠ BOD =∠ AOC = 50 ° ; ∠ COB = 180 ° - ∠ AOC = 130 ° . 课堂检测 基础巩固题 6 . 如图,直线 AB , CD 相交于点 O ， ∠ EOC = 70 °， OA 平分 ∠ EOC ，求 ∠ BOD 的度数 . A B C D E O 解： ∵ OA 平分 ∠ EOC , ∴ ∠ AOC = ∠ EOC = 35 ° , ∴ ∠ BOD =∠ AOC = 35 ° . 课堂检测 基础巩固题 如 图，直线 AB 、 CD 、 EF 相交，若 ∠ 1 + ∠ 5=180° , 找出图中与 ∠ 1 相等的角 . D B E O A C F 解： ∵ ∠ 1= ∠ 3 （对顶角相等） 1 2 3 4 5 6 8 7 ∠ 5+ ∠ 8=180 ° 且∠ 1 + ∠ 5=180° ∴∠ 8= ∠ 1 ∵ ∠ 8= ∠ 6 （对顶角相等） ∴∠ 6= ∠ 1. 能力提升题 课堂检测 与 ∠ 1 相等的角有： ∠ 3 、∠ 8 、∠ 6 . 观察下列各图，寻找对顶角（不含平角) （ 1 ）如 图 a ， 图中共有 对对顶角； （ 2 ）如 图 b ， 图中共有 对对顶角； （ 3 ） 如图 c ， 图中共有 对对顶角； （ 4 ）研究⑴～⑶小 题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，猜测：若有 n 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （ 5 ） 若有 10 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角 . 图 c 2 6 12 n ( n - 1) 90 拓广探索题 课堂检测 图 a A B C D O 图 b A B C D E F O A B C D E F G H O 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 邻 补 角 对顶 角 相 等 邻补 角 互 补 ② 有 公共顶点 ; ③ 没有 公共 边 . ① 两条直线 相交 形成的角； ① 两条直线 相交 而成； ② 有 公共顶点 ; ③ 有 一条公共 边 . ① 都是两条直线 相交 而成的角； ③ 都是 成对 出现 的 . ② 都有 一个 公共顶点 ； ② 两直线相交时， 对顶角只有两对，邻补角有四 对 . ① 有无 公共边 ； 课堂小结 5.1 相交线 5.1.2 垂线 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 垂线 第一课时 返回 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 导入新知 日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？ 导入新知 2. 掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的 度数 . 1. 理解垂线的概念，会用三角尺或量角器 过一点画已知直线的垂线 . 素养目标 3. 掌握 垂线的性质 ，并会利用所学知识进行简单的推理 . 问题 1 ： 如右图， （ 1 ） ∠ AOC 的对顶角是哪个角？ 这两个角的关系怎样？ （ 2 ） ∠ AOC 的邻补角有几个？ 是哪几个 角？ 问题 2 ： 如下图，当 ∠ AOC ＝ 90° 时， ∠ BOD 、 ∠ AOD 、 ∠ BOC 等于多少度？为什么？ 探究新知 知识点 1 垂线的定义 A C B D O A B C D O 在 相交线的模型中 , 固定木条 a , 转动木条 b , 当 α =90° 时 , a 与 b 垂直 . 当 b 的位置变化时 , a 、 b 所成的角 α 也会发生变化 . 当 α ≠90° 时 , a 与 b 不垂直，叫斜交 . 两条直线相交 斜交 垂直 垂直是相交的特殊情况 ） α a b b b b b ） α 探究新知 当 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角 (90°) 时，这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫 垂足 . 例如、如图， a 、 b 互相垂直 , O 叫 垂足 . a 叫 b 的垂线， b 也叫 a 的垂 线 . b a O 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只 要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角 . 探究新知 1. 垂直定义 用“ ⊥ ” 和直线字母表示垂 直 . α 2. 垂直的表示 ： 例如、如图， a 、 b 互相垂直 , 垂足为 O ，则记为： a ⊥ b 或 b ⊥ a , 若要强调 垂足 ，则记为： a ⊥ b , 垂足为 O . 或 a ⊥ b 于 O . 探究新知 b a O F E M N O 记作： MN ⊥ EF , 垂足为 O . 或者 MN ⊥ EF 于 O A B O E 记作： AB ⊥ OE 垂足为 O . 或者 AB ⊥ OE 于 O 探究新知 ∵∠ AO C=90° （已知）， ∴ AB ⊥ CD （垂直的定义 ）． 如果直线 AB 、 CD 相交于点 O ， ∠ AO C=90° （或其它三个角中的一个角等于 90° ）， 那么 AB ⊥ CD . 这个推理过程可以写成： ∵ AB ⊥ CD （已知）， ∴∠ AOC ＝ 90° （垂直的定义） ． 如 果 AB ⊥ CD ， 那么所得的四个角中，必有一个是直角 . 这个推理过程可以写成 : A B C D O 3 . 垂直的书写形式 ： 探究新知 日常生活中 , 两条直线互相垂直的情形很常见 , 说出图中的一些互相垂直的线条 . 你能再举出其他例子吗 ? 探究新知 方格本的横线和竖线 铅垂线和水平线 探究新知 例 1 如 图 AB ⊥ CD 垂足为 O ,∠ COF =56° ，求 ∠ AOE ？ 解 ： ∵ AB ⊥ CD （ 已知 ） 　　 ∴∠ COB =90° （ 垂直的定义 ） 　　 ∴∠ BOF = ∠ COB － ∠ COF 　　 =90° － 56°=34° 　　 ∴ ∠ AOE =∠ BOF =34° （ 对顶角相等 ） F E D C B A O ? 56° 探究新知 素养考点 1 利用垂直求角的度数 1. 如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O ， OE ⊥ AB , ∠ 1=55 ° , 求 ∠ EOD 的度数 . ∴ ∠ EOB =90 ° ( 垂直的定义 ) ∴ ∠ EOD = ∠ EOB + ∠ BOD =90 ° +55 ° =145 ° A C E B D O 1 ( ∵ AB ⊥ OE （已知） ∵ ∠ BOD = ∠ 1=55 ° （对顶角相等） 巩固练习 解 : ( 1 ) 画已知直 线 l 的垂 线能画几条 ? ( 2 ) 过直线 l 上的 一点 A 画 l 的垂线 , 这 样的垂线能画几条 ? ( 3 ) 过直线 l 外 的一点 B 画 l 的垂线 , 这样 的垂线能画几条 ? A . B l . 知识点 2 垂线的画法及其性质 探究新知 【 讨论 】 这 样画 l 的垂线可以画几条？ 1. 放 2. 靠 3. 画 l O 如图，已知直线 l , 作 l 的垂线 . A 无数条 探究新知 l A B 1. 放 2. 靠 3. 移 4 . 画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A , 作 l 的垂线 . 【 讨论 】 这 样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 探究新知 l A B 1. 放 2. 靠 3. 移 4 . 画 如图，已知直线 l 和 l 外 的一点 A , 作 l 的垂线 . 根据以上操作，你能得出什么结 论？ 【 讨论 】 这 样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 探究新知 提示 ： 1. “过一点”中的点，可以在已知 直线上 ，也可以在已知 直线外 ； 2. “有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性 . 探究新知 在 同一平面内，过一点 有且只有一 条 直 线与已知直线垂直 . 垂线的性质： （2018•益阳）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，EO ⊥ CD ．下列说法错误的是（　　） A ．∠AOD＝∠BOC B ．∠AOE+∠BOD＝ 90° C ．∠AOC＝∠AOE D ．∠AOD+∠BOD＝ 180° 巩固练习 连接中考 C 1. 下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（ ）个 （ 1 ）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直 （ 2 ）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直 （ 3 ）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直 （ 4 ）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直 A . 4 B. 3 C. 2 D. 1 A b a 课堂检测 基础巩固题 2. 过 点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确 的是（ ） A B C D C 课堂检测 基础巩固题 3. 如 图，直线 AB 、 CD 相交于点 E ， EF ⊥ AB 于 E ，若∠ CEF =58°，则∠ BED 的度数为 . C A B E F D 32 ° 课堂检测 基础巩固题 4. 如图三角形 ABC ，根据要求画图： ① 过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D ； ② 过点 C 作 AB 的垂线 CE ，垂足为 E . 解 ： 如图 A C B D E 课堂检测 基础巩固题 如 图，直线 BC 与 MN 相交于点 O ， AO ⊥ BC ， ∠ BOE ＝ ∠ NOE ，若 ∠ EON ＝ 20° ，求 ∠ AOM 和 ∠ NOC 的度数． 解 ： ∵∠ BOE ＝ ∠ NOE ， ∴∠ BON ＝ 2∠ EON ＝ 40° ， ∴∠ NOC ＝ 180° － ∠ BON ＝ 180° － 40° ＝ 140° ， ∠ MOC ＝ ∠ BON ＝ 40°. ∵ AO ⊥ BC ， ∴∠ AOC ＝ 90° ， ∴∠ AOM ＝ ∠ AOC － ∠ MOC ＝ 90° － 40° ＝ 50° ， ∴∠ NOC ＝ 140° ， ∠ AOM ＝ 50°. 能力提升题 课堂检测 如 图， AO ⊥ FD ， OD 为∠ BOC 的平分线， OE 为射线 OB 的反向延长线，若∠ AOB= 40°，求∠ EOF 、∠ COE 的度数． A F D O B C E 解 ： ∵ AO ⊥ OD 且∠ AOB =40°， ∴∠ BOD =90°-40°=50°， ∴∠ EOF =50° . 又∵ OD 平分∠ BOC ， ∴∠ DOC =∠ BOD =50°， ∴∠ COE =180°-50°-50°=80°． 拓广探索题 课堂检测 两条直线相交 一般情况 垂线 对顶角： 相等 邻补角： 互补 垂线的 存在 性和 唯一 性 特殊情况 相交成直角 课堂小结 点到直线的距离 第二课时 返回 ∟ 在 灌溉时，要把河里的水引到农田里的 P 处，如何挖渠能使渠道最短呢？ 导入新知 2. 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的 距离 . 1. 理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器 过一点画已知直线的垂线段 . 素养目标 3. 掌握 垂线段最短的性质 ，并会利用所学知识解决简单的实际问题 . 有 人不慎掉入有鳄鱼的湖中 . 如图，他在 P 点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m 呢？ 知识点 1 点到直线的距离 探究新知 连 接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最 短 . 垂线段最短 P A B C m D 简单说成：垂线段最短． 垂线的 性质 2 垂线段 斜线段 ∵ PB ⊥ m 于 B ∴ PB49 ， ∴小丽 不能 裁出符合要求的纸 片 . 3 . 通过估算比较下列各组数的大小： ( 1 ) 与 1.9 ； ( 2 ) 与 1.5 . 解 ： ( 1 ) 因为 5>4 ，所以 >2 ，所以 >1.9 . ( 2 ) 因为 6>4 ，所以 > 2 ，所 以 > =1.5 . 巩固练习 在 估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数 a 的算术 平方根 ( 或其近似数 ). a = 按键顺序： 知识点 2 利用计算器求算术平方根 探究新知 例 4 用计算器求下列各式的值： ( 1 ) ； ( 2 ) （精确 到 0.001 ）． 解： ( 1 ) 依次按 键 3136 显示： 56 ． ∴ ． ( 2 ) 依次按键 2 显示： 1.414213562 ． ∴ ． 探究新知 素养考点 1 利用计算器求算数平方根 = = 4. 用计算器求下列各式的值： ( 1 ) =_______ ( 2 ) =______ ( 3 ) ( 精确到0.01） ≈ _______ 37 10.06 2.24 巩固练习 … … … … ( 1 ) 利用计算器计算下表中的算术平方根 , 并将计算结果填在表中 , 你发现了什么规律 ? 你能说出其中的道理吗 ? 探究新知 知识点 3 利用计算器找算术平方根 2 1 2 1 250 79.06 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 规律： 被开方数的小数点向右每移动 位 , 它的算术平方根的小数点就向右移动 位 ; 被开方数的小数点向左每移动 位 , 它的算术平方根的小数点就向左移动 位 . 5. 计算 （精确到0.001）≈________； ≈ _______； ≈_______； 6. 根 据 的值填空 ： ≈_______； 7. 你能根据 的值得出 的 值吗？ 1.732 0.1732 17.32 173.2 巩固练习 答： 不 能 . （2019 •潍坊） 利用教材中 的 计算器依次按键下 ： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　） A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9 巩固练习 连接中考 B 1. 式子 的结果精确到 0.01 为 ( ) A . 4.9 B. 4.87 C. 4.88 D. 4.89 2. 下列计算结果正确的是 ( ) C B 基础巩固题 课堂检测 A. B. C. D . 3. 在计算器上按键 ，下列计算结果正确的 是 （ ） A . 3 B. － 3 C. － 1 D. 1 4. 估计 在 ( ) A . 2 ～ 3 之间 B . 3 ～ 4 之间 C . 4 ～ 5 之间 D . 5 ～ 6 之间 B C 课堂检测 基础巩固题 小 明房间的面积为 10.8 平方米，房间地面恰由 120 块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？ 解： 设每块地砖的边长为 x 米， 由 题意得： 答： 每 块地 砖的边长是 0.3 米 . 课堂检测 能力提升题 ∴ （ 米） 1 . 若 则 a 的取值 ( 范围 ) 为 ( ) A. 正数　 B. 非负数　 C. 1,0　 D. 0 2 . 有一列数按如下规律排列： 则第 2016个 数是 ( ) C C 拓广探索题 课堂检测 A. B. C. D. 求算数平方根 使用 计算器 进行求算数平方根的运算 用计算器比较两个数的 大小 课堂小结 平方根 第三课时 返回 1.什么叫做算术平方根？ 2. 判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根 . 100 ； 1 ； ; 0 ; －0.0025; (-3) 2 ; － 25； 导入新知 如 果一个 正数 x 的平方等于 a , 那么这个正数 x 叫做 a 的 算术平方根 . （ 1 ） 3 2 = ，（－ 3） 2 = ； （ 2 ） ， ； （ 3 ）0.8 2 = ，（－0.8） 2 = . 9 0.64 0.64 3. 填空 9 【 讨论 】 反 过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？ 导入新知 1. 了解平方根的概念；掌握平方根的 特征 . 2. 能正确 区分 平方根与算术平方根的意义 . 素养目标 3. 能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些 非负数的平方根 . 3 分米 要 做一张边长是 3 分米的方桌面 ，它 的面积是多少？ 这个问题实际上就是求： 答： 9 平方分 米 . 这是已知底数和指数，求幂的运 算 . 乘方运算 探究新知 知识点 1 平方根的概念和特征 ？分米 反 过来，要做一张面积 是 9 平 方分米的方桌面，它的边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于 9 ，即： 显然，括号里应是 ±3 ，但－ 3 不符题意 . ∴ 方桌面的 边长应是 3 分米 . 9 平方分米 你还能得到什么问题呢？ 探究新知 问题: 如果一个数的平方等于 9 ，这个数是多少？ 想一想： 3 和 -3 有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是 3 或 -3 . 探究新知 3 和 -3 互为相反数，会不会是巧合呢 ? ( 1 ) 4 的平方等于 16 ，那么 16 的算术平方根就 是 _____. ( 2 ) 的 平方等于 ， 那么 的 算术平方 根就是 ____. ( 3 ) 展厅地面为正方形，其面积是 49 m 2 ，则其边 长为 ___m. 4 7 问题： 平方等于 16 ， ， 49 的数还有吗？ 探究新知 做一 做 , 想 一 想 : 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： -11 11 0.6 0 没有 x 2 x 8 -8 4 3 4 3 - ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ -4 -0.6 64 121 0.36 0 探究新知 填一填，想一 想 : 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数 . 我们抽象出下述 概念 ： 如 果 x 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个： x 与 -x . 即 平方根互为相反数 . 平方根的性质： 例如： ( ± 1 ) 2 = 1 ， 1 的平方根为 ± 1 . 　 探究新知 如果有一个数 x ，使得 x 2 = a ，那么我们把 x 叫作 a 的一个 平方根 ，也叫作 二次方根 . 1. 121 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 4. -9 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负 数 . 探究新知 3. 的平方根是什么？ 通过这些题目的解答，你能发现什么 ? 问题 ： （ 1 ）正数有几个平方根？ （ 2 ） 0 有几个平方根？ （ 3 ）负数呢？ 因为任何实数的平方都为非负数，所以 负数没有平方根 ， 也没有算术平方根 . 探究新知 有没有一个数的平方是负数？ 探究新知 归纳总结 平 方根的性质： 1. 正数 有 两 个平方根，两个平方 根 互 为相反数 . 2. 0 的平方根还是 0 . 3. 负数没有 平方根 . 例 1 求下列各数的平方根： ( 1 ) 100 ； ( 2 ) ； ( 3 ) 0.25 . 解 ： ( 1 ) ∵ (±10) 2 ＝ 100 ， ∴ 100 的平方根是 ±10 ； ( 3 ) ∵ (±0.5) 2 ＝ 0.25 ， ∴ 0.25 的平方根是 ±0.5 . ( 2 ) ∵ (± ) 2 ＝ ， ∴ 的平方根是 ± ； 探究新知 素养考点 1 求平方根 1. 判断下列说法是否正确： x 8 -8 - 16 0.36 （ 1 ） 0 的平方根是 0 ； （ ） （ 2 ） 1 的平方根是 1 ； （ ） （ 3 ） -1 的平方根是 - 1 ; （ ） （ 4 ） 0.01 是 0.1 的一个平方 根 . （ ） 　 2. 填表： √ × × × 64 64 +4 -4 +0.6 -0.6 巩固练习 根号 被开方数 根指数 可以省略 合 起来，一个正数 a 的平方根就用 “ ” 表示，（读作 “ 正、负根号 a ” ） 一 个正数 a 的正平方根，用 “ ” 表示，（读作 “ 根号 a ” ） . 又叫 a 的算术平方根 . a 的负平方根，用 “ ” 表示，（读作 “ 负根号 a ” ） . 探究新知 知识点 2 平方根的读法和表示 非负数 a 的平方 根表示为： 例如： 探究新知 5 的平方根表示为 4 的平方根表示为 的平方根表示为 0 的 平方根表示 为 : 规定 0 的平方根为 0. 例 2 分别求下列各数的平方根： 解 : 由于 因此 36 的平方根是 6 与 -6 . 36 是正数 （ 1 ） 36 ; 有两个平方根 即 探究新知 素养考点 1 利用平方根的表示求平方根 （ 2 ） ; （ 1 ） 36 ; （ 3 ） 1.21 有两个平方根 因此 的平方根是 与 . 有两个平方根 （ 3 ） 1.21 因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1 . 即 即 探究新知 解 : 由于 ， 解 : 由 于 ， （ 2 ） ; 3. 求下列各数的平方根： （ 1 ） 81 ； （ 2 ） ； （3） 0.49; 解： ( 1 ) ∵  (±9) 2 =81 ， ( 3 ) ∵ ( ± 0.7) 2 =0.49 ， ∴ 0.49 的平方根为 ±0.7 ． ∴81 的平方根为 ±9 ． 巩固练习 即 . （ 2 ） 的平方根是 ， 即 . 即 . +1 - 1 +2 - 2 +3 - 3 1 4 9 平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作 平方运算 . 知识点 3 平方与开方的关系 探究新知 +1 - 1 +2 - 2 +3 - 3 1 4 9 ？运算 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算 是什么？ 求一个数 的平方根 的运算叫作 开平方 . 探究新知 开平方与平方是什么关系？ a 的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数 开平方运算 平方运算 探究新知 开平方 与 平方的对比 填空 正数与零 任何数 幂 平方根 开方 平方 运算符号 适用范围 运算结果名称 性质 正数有 个平方根,它们是 ,零的平方根是 , 负 数 . 正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数. 正 正 0 2 互为相反数 0 没有平方根 探究新知 1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算 术平方 根是平方根的一种 . 平方根与算术平方根的联系与区别： 2. 只有非负数才有平方根和算术平方根 . 3. 0 的平方根是 0 ，算术平方根也是 0. 区别： 1. 个 数不同：一个正数有两个平方根， 但 只有一个算术平方根 . 联系： 探究新知 2. 表 示法不同：平方根表示为： 而算术平方根表示 为 . 例 3 　求下列各式的值： 解 ： （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） . 探究新知 素养考点 1 开平方的有关计算 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 4. 下列各式有意义吗 ？ ± （ 3 ） 5. 求下列各式的 值 . （4） 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） 有意义 有意义 有意义 无意义 1. （2019•桂林）9的平方根是（　　） A．3 B ．± 3 C．﹣3 D．9 2. （2019•台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于　 ______ 　． 巩固练习 连接中考 B 1. 下列说法正确的是 _________ ① -3 是 9 的平方根 ; ② 25 的平方根是 5 ; ③ -36 的平方根是 -6 ; ④ 平方根等于 0 的数是 0 ; ⑤64 的算术平方根是 8 . ① B 2. 下列说法不正确的是 ______ A.0 的平方根是 0 B. 的平方根是 2 C. 非负数的平方根互为相反数 D. 一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 基础巩固题 课堂检测 ④ ⑤ 3. 判 断下列说法是否正确 . 正确 . （4） ( -4 ) 2 的平方根是 -4. （1） 是 的一个平方根； （2 ） 是 6 的算术平方根 ； （3） 的值是 ±4； 正确 . 不正确， 是 4 . 不正确，是 ±4 . 课堂检测 基础巩固题 4. 求 下列各式的值： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 课堂检测 解 : （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 基础巩固题 1 . a 的一个平方根是 3 ，则另一个平 方根是 　 ， a = . 2 . 81 的平方根是 __ _ _， 的算术平方根是 _ _ _ _ . 3 . 3 a -2 和 2 a -3 是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是 _ _ _和_ _ _， 这个数是 _ _ _ . -3 9 3 1 -1 1 能力提升题 课堂检测 一 个正数的两个平方根分别是 2 a ＋ 1 和 a － 4 ， 求这个数． 解： 由于一个正数的两个平方根是 2 a ＋ 1 和 a － 4 ， 则有 2 a ＋ 1 ＋ a － 4 ＝ 0 ，即 3 a － 3 ＝ 0 ， 解 得 a ＝ 1 . 所以这个数为 (2 a ＋ 1) 2 ＝ (2 ＋ 1) 2 ＝ 9 . 拓广探索题 课堂检测 平方根 平方根的 概念 开平方及相关 运算 平方根的 性质 课堂小结 人教版 数学 七年级 下册 6.2 立方根 导入新知 某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 1. 了解立方根的 概念 ，会 用开立 方运算求一个数的 立方根 . 2. 了解立方根的 性质 ，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的 近似值 . 素养目标 3. 分清一个数的立方根与平方根的 区别 . 探究新知 知识点 1 立方根的概念和性质 观 察 二阶魔方由几个小立方体构成 _______ 8 个 三阶魔方由几个小立方体构成 _______ 四阶魔方由几个小立方体构成 _______ 27 个 64 个 探究新知 探究新知 如 果一个魔方由 27 个 小立 方体构成 , 它应该是几阶魔方 ? 解 : 设这个魔方为 x 阶 , 则 : x 3 = 27 因为 3 3 = 27 所以 x =3 即这个魔方为 3 阶魔方 . 什么数的立方等于 -27 ? 【 想 一 想 】 因为 3 的立方等于 27 , 那么 3 就叫做 27 的 立方根 . 因为 -3 的立方等于 -27 , 那么 -3 就叫做 -27 的立方根 . = － 27 探究新知 探究新知 立 方根的定义 一般地 ，如果一 个数的立方等于 a ，这个数就叫做 a 的 立方 根 或 三 次方根 ．记作　 　 . ３ 1. 如何表示一个数的立方根 ? 一个数 a 的立方根可以表示为 : 根指数 被开方数 读作 : 三次根号 a 其中 a 是被开方数， 3 是根指数， 3 不能省略 . ( ) 3 =1 ( ) 3 =8 ( ) 3 = ( ) 3 =0 ( ) 3 =-64 数 a 1 2 1 a 的立方根 8 1. 填一填 ： 0 -64 64 27 64 27 0 -4 0 -4 1 2 4 3 4 3 巩固练习 解： 探究新知 归纳总结 立方根的性 质： 一个 正数 有 一个正 的立方根； 一个 负数 有 一个负 的立方根， 零 的立方根是 零 . 注： 1. 立 方根是它本身的数有 1, -1, 0 ； 2. 平 方根是它本身的数 只有 0. ( 1 ) 27 ( 2 ) - 27 ( 3 ) ( 4 ) -0.064 ( 5 ) 0 解： ( 1 )∵ 　 ∴27 的立方根是 3 ， 即 . ( 2 ) ∵ ∴ -27 的立方根是 － 3, 即 . 探究新知 例 1 求 下列各数的立方根 . 素养考点 1 求一个数的立方根 ( 4 ) ∵ ∵ 0 3 =0 ( 5 ) 3 ( 3 ) ∵ 探究新知 ∴ 　 的 立方根 是 , 2. 判断下列说法是否正确 , 并说明理 由 . × ( 2 ) 25 的平方根是 5 ； ( 3 ) -64 没有立方 根； ( 4 ) -4 的平方根 是 ； ( 5 ) 0 的平方根和立方根都是 0 . √ ( 1 ) 的立方根 是 ； 巩固练习 × × × 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数 a 与 -a 的立方根的关系吗 ? a 3 - a 3 = -2 -2 = -3 -3 互为相反数的数的立方根也互为相反数 探究新知 因为 = , = 所以 因为 = , = 猜一猜 : 所以 规律： 对于任何数 a 都有 规律： 对于任何数 a 都有 2 -2 -3 4 0 8 － 8 27 -27 0 探究新知 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“ 开立方 ” . 提示： “开立方”与“立方”互为逆运 算 . 探究新知 知识点 2 立方根的有关计算 立方 开立方 27 － 27 125 － 125 ＋ 3 － 3 ＋ 5 － 5 例 2 求下列各式的值： 探究新知 素养考点 1 立方根的计算 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 2 ） 解： （ 1 ） （ 3 ） 3. 求下列各式的值： 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 解 ： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 探究新知 例 3 用 计算器求下列各数的立方根： 343 ， -1.331. 解： 依次按键： 显 示： 7 所 以 2ndF 4 3 3 = 依次按键： 显示： -1.1 所 以 2ndF 1 - . 3 1 3 = 由 于 一个数的立方根可能是无限不循环小数 , 所以我们可以 利用计算器求一个数的立方根或它的近似值 . 不同的计算器的按键方 式可 能有所差别！ 知识点 3 探究新知 利用计算器求立方根 4. 用计算器 求 的近似值（精确到 0.001 ） . 解 ： 依次按键： 显示： 1.259 921 05 所以， 2ndF = 2 巩固练习 用计算器计器 ... ， ， ， ， … ，你能发现什么规律？用计算器计算 精确到 0.001 ），并利用你发现的规律求 ， ， 的近似值 . = 6 = 0.6 = 0.06 = 60 提示 ： 被开方数的小数点向左或向右移 动 3 n 位 时，立 方根的 小数点就相应的向左或向 右移动 n 位 （ n 为正 整数） . 探究新知 1. （ 2019• 济宁）下列计算正确的是（　　） A ． ＝﹣3 B． C． D． 2. ( 201 9 ·大庆)有理数 -8 的立方根为（ ） A. -2 B. 2 C. D.   巩固练习 连接中考 D A 3. 一个数的平方等于 64 ， 则这个数的立方根是 _ _______. 1. -27 的立方根是（ ） A.3 B.-3 C. D. B D 2 或 -2 课堂检测 基础巩固题 2. 要使 ， k 的取值为（ ） A .k≤ 3 B .k≥ 3 C . 0 ≤k≤ 3 D . 一切实数 4. 比较下列各组数的大小 . （ 1 ） 与 2.5 ; （ 2 ） 与 . 解 ： 因 为 = 9 2.5 3 = 15.625 所以 9 < 15.625 所以 < 2.5 因为 = 3 所 以 3 < 所 以 < 课堂检测 基础巩固题 （ 1 ） （ 2 ） 将 体积分别为 600cm 3 和 129cm 3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解 : ∵ 600+129=729 729 的立方根是 9 ， ∴ 正 方体的棱长为 9cm . 答： 这个正方体的棱长为 9cm . 能力提升题 课堂检测 若 = 2 ， =4 ， 求 的值 . 解： ∵ =2 ， =4 . ∴ x = 2 3 ， y 2 = 16, ∴ x = 8 ， y = ±4 . ∴ x + 2 y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2 y = 8 – 2×4 = 0. ∴ = = 4 或 = = 0 . 拓广探索题 课堂检测 性质 定义 正数的立方根是 正数 ， 负数的立方根是 负数 ； 0 的立方根是 0 . 被开方数的小数点向左或向右移动 3 n 位 时立方根的小数点就相应的向左或向右移动 n 位 （ n 为正整数） . 用计算器计算 立方根 课堂小结 6.3 实数 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 实数的概念、分类、与数轴的关系 第一课时 返回 　　 毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了．　　有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西．这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为 1 的正方形，发现这个正方形对角线的长度 是 ． 1 1 导入新知 　　　 既不是整数，也不是整数的比．他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事告诉了老师 ． 　　 毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上．他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言． 导入新知 　　 希伯斯很不服气 ．他 想，不承 认这是数，岂不等于是说正方形的对 角线没有长度吗 ？为 了坚持真理 ， 捍 卫真理， 希伯 斯将自己的发现传 扬 了 开去． 直到 最近几百年，数学家 们 才 弄清楚 ，它 确实不是整数，也不 是 分 数， 而是 一种新的数，那是什么呢？ 导入新知 1. 了解 实数 的意义，并能将实数按要求进行准确的 分类 . 2. 熟练掌握实数 大小的比较方法 . 素养目标 3. 了解实数和数轴上的点 一一对应 ， 能用数轴上的点表示无理数 . （ 1 ）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？ （ 2 ）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？ 探究新知 知识点 1 实数的概念和分类 事实上，任何一个有理数都可以写成 有限小数 或 无限循环小数 . 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 有理 数 . 探究新知 无限不循环的小数 ---------- 叫做 无理数 . 你能举出一些无理数吗？ 0.1010010001… 〔 两个 1 之间依次多 1 个 0 〕 － 168.3232232223 … 〔两个 3 之间依次多 1 个 2 〕 探究新知 =1.41421356237309504880168… =1.70997594667669698935310 … 【 思考 】 我 们将有理数和无理数统称为 实数 ，仿照 有理 数的分类，据 此你能给实数分类吗？ 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数 或 无限循环小数 实 数 （ 1 ） 按定义分 分数 整数 女孩子 男孩子 妈妈 含开方开不尽的数 有规律但不循环的小数 含 有 π 的 数 探究新知 负 实数 正 实数 数实 正有理数 负有理数 （ 2 ） 按性质分 0 正无理数 负无理数 探究新知 （ 相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1 ） 有理数集合 无理数集合 1. 把 下列各数分别填入相应的集合内： 巩固练习 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例 1 将下列各数分别填入下列相应的括号内： 探究新知 素养考点 1 实数的分类 2. 把下列各数填入相应的集合内： （ 1 ）有理数集合： （ 2 ）无理数集合： （ 3 ）整数集合： （ 4 ）负数集合： （ 5 ）分数集合： （ 6 ）实数集合： 巩固练习 如图，直径 为 1 个 单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到 达 A 点 ，则 点 A 的 坐标为多少？ -4 -2 0 1 2 3 4 -1 -3 无 理数 可以用数轴上的点来表示 . A 问题 1 无 理数能在数轴上表示出来吗？ 探究新知 知识点 2 实数与数轴的关系 － 2 － 1 0 1 2 - 问题 2 （ 1 ） 你 能在数轴上表示出 吗？ 探究新知 （ 2 ）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数 轴能填 满吗？ － 2 － 1 0 1 2 B A C 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数 大 . 数轴上的点有些 表示有理数，有 些表示无理数 . 探究新知 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实 数 . 即 实数和数轴上的点是 一一对应 的 . 例 2 如 图所示，数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 -1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，求点 C 所表示的实数． 解： ∵数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 -1 和 ， ∴点 B 到点 A 的距离为 1 ＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1+ ， 设点 C 表示的实数为 x ，则点 A 到点 C 的距离为 -1- x ， ∴ -1- x ＝ 1 ＋ ， ∴ x ＝ -2- 探究新知 素养考点 1 求数轴上的点表示的实数值 A B -1 0 3. 如果 以 2 为 边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ______ ，与负半轴的交点就表示 ________. 4. 请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来： ， -1.5 ， ， ， 3 解： 点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 分别对应 _____ 、 ___ 、 ___ 、 ___ 、 ___. 4 3 巩固练习 -1.5 C D E A B 与有理数一样，实数也可以比较大小： 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 . 原点 0 正实数 负实数 < 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 ； 与有理数一样，在实数范围内： 探究新知 知识点 3 实数大小的比较 ， 2可以分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此 同样，因为5<9，所以 不用计算器， 与 2 比较哪个大？与 3 比较 呢？ 探究新知 例 3 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用 “ < ” 连接它们 . - 2 - 1 0 1 2 3 1 - 2 探究新知 素养考点 1 比较实数的大小 解 : -2< < 1< < 5. 试在数轴上标出 π, , 的大致位置,并借助数轴比较它们的大小. 解析 ： 因为 π ≈ 3.14 , ≈-2.24, ≈1.73 ,所以可以近似地标出它们在数轴上的位置,如图(其中点 A 表示π,点 B 表示 ,点 C 表示 ). 巩固练习 因为数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数,所以可知 < < π . （2019•宜昌）如图， A ， B ， C ， D 是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（　　） A．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 D 巩固练习 连接中考 D C D A B 4 3 2 1 0 -1 -2 1. 判断 对错 （ 1 ）实数不是有理数就是无理数 . （ ） （ 2 ）无理数都是无限不循环小数 . （ ） （ 4 ）无理数都是无限小数 . （ ） （ 3 ）带根号的数都是无理数 . （ ） （ 5 ）无理数一定都带根号 . （ ） × × 基础巩固题 课堂检测 2. 下列说法正确的是（ ） A . a 一定是正实数 B . 是有理数 C . 是有理数 D . 数轴上任一点都对应一个 有理数 B 课堂检测 基础巩固题 3. 有一个数值转换器，原理如下，当输 x =81 时，输出 的 y 是（ ） 输入 x 取算术平方根 是无理数 输出 y 是有理数 A . 9 B . 3 C . D . ±3 C 课堂检测 基础巩固题 4. 你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗 ? 试试看？ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 正数 负数 课堂检测 基础巩固题 比较下列各组数的大小 ： 解 ： （ 1 ）因为 12 < 4 2 ， 所以 < 4 ， 所以 － 1 < 3 ； （ 2 ）因为 10 > 3 2 ， 所以 所以 能力提升题 课堂检测 （ 1 ） 与 3; （ 2 ） 与 -3. 如 图所示， 数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 和5.1，点 A 关于原点的对称点是 C , 则 B ， C 两点之间表示整数的点共有 (　　 ) A． 7 个 B． 6 个 C． 5 个 D． 4 个 解析： ∵ ≈ - 1.414， ∴ 和5.1之间的整数有 -1,0,1, 2，3，4，5， ∴ B ， C 两点之间表示整数的点共有 7 个． A 拓广探索题 课堂检测 实数 无理数的概念 实数的 概念 实数的 分类 实数的 数轴表示 实数的 大小比较 课堂小结 实数的性质和运算 第二课时 返回 只有符号不同的两个数 , 其中一个是另一个的相反数 . ① 相反数 ② 绝对值 数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值 , 用︱ a ︱表示 . ③ 倒数 如果两个数的积是 1, 则这两个数互为倒数 . 【 讨论 】 无 理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ 导入新知 2. 知道有理数的 运算律 和运算性质同样适合于实数的运算 . 1. 理解在实数范围内的 相反数、倒数、绝对值 的意义 . 素养目标 3. 掌握实数的 运算法则 ，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题 . 你能解答下列问题吗？ （ 1 ） 的 相反数是 ， 的 相反数是 ， 0 的相反数是 ； （ 2 ） ＝ ， ＝ ， ＝ ． 探究新知 知识点 1 实数的性质 0 0 结 合有理数相反数和绝对值的意义 ，你 能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗？ 数 a 的相反数 是 - a . 一个 正实数 的绝对 值是它 本身 ； 一个 负实数 的绝对 值是它的 相反数 ； 0 的绝对值是 0 ． 探究新知 例 1 （ 1 ）分别写出 的相反数； （ 2 ）指出 分别是 什么数的相反数； （ 3 ）求 的绝对值； （ 4 ）已知一个数的绝对值是 ，求这个数． 探究新知 素养考点 1 实数性质的应用 （ 1 ） 的相反数是 ； 的相反数是 ． （ 2 ） 的相反数是 ； 的 相反数是 ． （ 3 ） 的绝对值是 4 ． （ 4 ） 绝对值是 的数是 或 ． 解 : 3.14-π 1. 分别求下列各数的相反数和绝对值． 解： ( 1 )∵ ＝ -3 ， ∴ 的相反数是 3 ，绝对值是 3 . ( 2 )∵ =15 ， ∴ 的相反数是 -15 ，绝对值是 15 . ( 3 ) 的相反数是 － ，绝对值是 . 巩固练习 （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） 填空： 设 a ， b ， c 是任意实数，则 （ 1 ） a+b = （加法交换律）； （ 2 ） ( a+b )+ c = （加法结合律）； （ 3 ） a+ 0 = 0 +a = ； （ 4 ） a+ ( -a ) = ( -a ) +a = ； （ 5 ） ab = （乘法交换律）； （ 6 ） ( ab ) c = （乘法结合律）； b+a a+ ( b + c ) a 0 ba a ( bc ) （ 7 ） 1 · a = a · 1 = ； a 探究新知 知识点 2 实数的运算 （ 8 ） a ( b+c ) = （乘法对于加法的分配律）， ( b+c ) a = （乘法对于加法的分配律）； （ 9 ）实数的减法运算规定为 a - b = a + ； （ 10 ）对于每一个非零实数 a ，存在一个实数 b ， 满足 a · b = b · a =1 ，我们把 b 叫作 a 的＿＿＿； （ 11 ）实数的除法运算（除数 b ≠0 ），规定为 a ÷ b = a· ； （ 12 ）实数有一条重要性质：如果 a ≠ 0 ， b ≠ 0 ， 那么 ab ＿＿＿ 0 . ab+ac ba+ca ( -b ) 倒数 ≠ 探究新知 探究新知 归纳总结 实数的平方根与立方根的性质： 此外， 前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数 仍然成立 . 1. 每 个正实数有且只有两个平方根，它们互为 相反数 . 0 的平方根是 0 . 2. 在 实数范围内， 负实数 没有平方根 . 3. 在 实数范围内，每个实数有且只有 一个立方根 ， 而且与它本身的符号相同 . 例 2 计 算下列各式的值： 探究新知 素养考点 1 实数的运算 解 : （ 2 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 1 ） 2. 计算下列各式的值： 巩固练习 （ 1 ） （ 2 ） 解 : （ 1 ） （ 2 ） 巩固练习 （ 3 ） （ 4 ） 解 : （ 3 ） （ 4 ） 例 3 计算（结果保留小数点后两位）： 总结 ： 在实数运算中，如果遇到无理数，并且 需要求出结果的近似值 时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算 . 探究新知 素养考点 2 取实数运算的近似值 ( 1 ) ( 2 ) 解 : （ 1 ） （ 2 ） （ 2 ） （结果保留 3 位小数）． （ 1 ） （精确到 0.001 ）； 3. 计算： 巩固练习 解 : （ 1 ） （ 2 ） ≈ 2.8284 － 2.1544 ＝ 0.6740 ≈ 15 － 2× （ 5 ＋ 2.236 ） ＝ 15 － 2×7.236 ＝ 15 － 14.472 ＝ 0.528 1. （2019•湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的 值为16时，输出的数值为 ____ ．（用科学计算器计算或笔算）． 巩固练习 连接中考 2. （ 2019 •宁夏）下列各式中正确的是（　　） A． B ． C ． D ． 3 D 1. 下列各数中，互为相反数的是 ( ) A . 3 与 B. 2 与 C . 与 D . 5 与 C 2 . 的值是 ( ) A . 5 B. -1 C. D. C 4 . 是 的相反数 ;2π-6.28 的相反数是 . 6.28-2π ＞ ＜ 3. 比较大小：（1 ） ; （ 2 ） 4. 基础巩固题 课堂检测 5 ． 计算： 课堂检测 （ 1 ） （ 2 ） 基础巩固题 ＝ － 4 ＝ 0 ＝ 15 － 15 课堂检测 ( 3 ) ( 4 ) 基础巩固题 ＝ 15 － 14 ＋ 4 ＝ 5 ＝－ 8×2 － 9 ＋ 4 ＝－ 21 的 整数部分与小数部分的差是多少 ？ （ 结果保留 3 位小数） 整数部分： 1 小数部分： 解： 整数部分与小数部分的差是： 能力提升题 课堂检测 实 数 a 、 b 、 c 在数轴上的对应点如图所示，其中点 c 是点 a 与点 b 的中点． 0 c b a 试化简： 解： 拓广探索题 课堂检测 解： ＝－ a － b － c － c+ b ＝－ a － 2 c ＝－ ( a + b ) + ( － c ) － ( c － b ) 实数 在实数范围内，相反数 、绝对值、 倒数的意义和有理数范围内的相反数 、绝对值 、倒数的 意义完全一样 . 实数的运算 实数的 运算律 用 计算器 计算 课堂小结 人教版七年级数学下册精 编版课件 第七章 平面直角坐标系 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 7.1 平面直角坐标系 人教版 数学 七年级 下册 7.1.1 有 序数对 小华母女俩周末去电影院看国产大片《 流浪地球 》，买了两张票去观看，座位号分别是 7 排 5 号和 5 排 7 号 . 怎样才能既快又准地找到座位？ 导入新知 1. 了解 有序数对 的概念 . 2. 结合实例进一步体会有序数对的意义，并会用有序数对表示 物体的位置 . 素养目标 3. 通过有序数对表示物体的位置，培养学生的 符号感和抽象思维能力 ，并增强数学应用意识 . 问题 1 ： 同 学们都有去影剧院看电影的经历，你怎么找到自己的座位？ 　　根据入场卷上的“排数”和“号数”便可以准确地“对号入座 ” ． 探究新知 知识点 1 有序数对的概念 追 问 ： 在 只有一层的电影院内，确定一个座位一般需 要 几个数 据？ 答 : 两个 数据 : 排数和号数 . 问题 2 ： 你 若发现一本书某页有一处印刷错误，怎样告诉其他同学这一处的位置？ 　　说明该页上“第几行”和“第几个字”，同学就可以快速找到错误的位置了． 探究新知 追 问 ： 在 一本书的一页内，确定一个字的位置一般需 要 几 个数据？ 答 : 两个 数据 : 行数和个数 . 问题 3 ： 如图是一个教室平面图，你能根据以下座位找到对应的同学参加数学问题讨论吗？ （ 1 ， 3 ），（ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 6 ），（ 4 ， 5 ）， （ 6 ， 2 ），（ 2 ， 4 ） ． 　　 在教室里排数与列数的先后顺序没有约定的情况下， 不能 确定参加数学问题讨论的同 学 . 探究新知 追问 1 : 假 设在问 题 3 中 约定“列数在前，排数在后”，你能在图中标出参加数学问题讨论的同学的座位吗？ 探究新知 追问 2 : 由 上面可知，“第 1 列第 3 排”简记为 （ 1 ， 3 ） （约定列在前，排在后），那么“第 3 列第 5 排”能简记成什么？ （ 6 ， 7 ） 表示的含义是什么？ 答 ： “第 3 列第 5 排” 记为 （ 3 ， 5 ）；（ 6 ， 7 ） 表示的含义是第 6 列第 7 排． 追问 3 : 同 样约定“列数在前，排数在后”， （ 2 ， 4 ） 和 （ 4 ， 2 ） 在同一个位置吗？ 答 ： 二者 不在 同一个位置．因为 （ 2 ， 4 ） 表示第 2 列第 4 排， （ 4 ， 2 ） 表示第 4 列第 2 排． 探究新知 追问 4 : 假 设在问 题 3 中 约定“排数在前，列数在后”，你能在图中标出参加数学问题讨论的同学的座位吗？ 　上面的活动是通过像“第 2 列第 4 排、第 5 列第 6 排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的表示列，后边的表示排，我们把这种有顺序的两个数 a 与 b 所组成的数对，叫做 有序数对 ，记作（ a ， b ）． 问题 4 : 现 在给出班里一部分同学的姓名，约定“列数在前，排数在后”，你能快速说出这些同学座位对应的有序数对吗？ 追 问 : 如 果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？ 探究新知 我们把这种 有顺序 的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做 有序数对 . 记 作 （ a , b ） . 有序数对 的概念 提示 : （ a , b ） 与 （ b , a ） 是两个不同的数据 . 探究新知 “ 怪兽吃豆豆”是一种计算机游戏，图中的●标志表示“怪兽”先后经过的几个位置，如果用 (1,2) 表示“怪兽”经过的第 2 个位置，那么你能用同样的方式表示出 图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 排 列 (3,2) (4,3) (3,3) (4,5) (5,4) (5,5) (7,4) (7,3) (8,3) (1,1) (1,2) 在生活中 , 确定物体的位置 ， 还有其他方法吗 ? 探究新知 5 可 明 喜 万 女 4 中 我 的 常 学 3 爱 数 天 唱 活 2 球 里 非 生 大 1 欢 孩 打 习 歌 A B C D E 区 域 划 分 若用 C3 表示“天”，请按下列顺序组成两句话： ① B4 A3 B3 E4 ② B4 C2 D4 C5 A1 D3 E1 答 : ①我爱数学 ②我非常喜欢唱 歌 探究新知 右图：若黑马的位置用 （ 3 ， 7 ） 表示，请你用有序数对表示黑马可以走到的哪几个位置 . （ 1 ， 6 ） （ 1 ， 8 ） （ 2 ， 9 ） （ 4 ， 9 ） （ 5 ， 6 ） 探究新知 答 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C D E F G 　 1. （ 1 ）图中五角星五个 顶点的位置如何表示？ C 点是 (7 ， 10) D 点是 (3 ， 7) E 点是 (4 ， 2) F 点是 (10 ， 2) G 点是 (11 ， 7) （ 2 ） 图中 (6 ， 1) ， (10 ， 8) ，位置上分别是什么物体？ 分别表示足球和草莓 巩固练习 答 : （ 1 ） （ 2 ） 【 讨论 】 在 地球上如何确定城市的位置？ 在地球上有横线和竖线，连接两极点的竖线叫 经线 ，垂直于经线的横线圈为 纬线 . 根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置. 探究新知 据 新华社报道， 2008 年 5 月 12 日 14:28 ，我国四川省发生里氏 8.0 级强烈地震，震中位于阿坝州汶川县境内，即北纬 31˚ ，东经 103.4 ˚ . 这是新中国成立以来破坏最强、波及范围最大的一次地震 . 你能在地图上找到震中的大致位置吗？ 探究新知 北京 ： 东 经 116° 北 纬 40° 巩固练习 2. 找一找北京在哪里？ 答 : （ 201 9 •六盘水 模拟 ）观察中国象棋的棋盘，其中红方“马”的位置可以用一个数对 （3，5） 来表示，红“马”走完“马 3 进四”后到达 B 点，则表示 B 点位置的数对是： _________ 　． 解析： 如图所示， B 点位置的数对是 （ 4 ， 7 ） ． 故答案为： （ 4 ， 7 ） ． 巩固练习 连接中考 （4，7） 1 . 七年 级 （ 1 ） 班 的座位共有 6 排 8 列，张军同学的座位在 2 排 3 列，我们规定：排数在前，列数在后，可以记作 (2 ， 3) ．那么吴灏同学的座位在 5 排 6 列，应记作 ( ). A ． (5 ， 6) B ． (6 ， 5) C ． (6 ， 8) D ． (3 ， 2) 2 . 如果七年级一班用 （ 7 ， 1 ） 表示，那么八年级四班可表示成 __________ ， （ 9 ， 2 ） 表示的含义是 _________________. A （ 8 ， 4 ） 九 年级 二 班 基础巩固题 课堂检测 3. 课间操时，小华、小军、小刚的位置如 图所 示，小华对小刚说：“就你、我、小军我们三人的位置而言，如果我的位置用 （ 0 ， 0 ） 表示，小军的位置用 （ 2 ， 1 ） 表示，那么你的位置可以表示成 _____________. （ 4 ， 3 ） 课堂检测 基础巩固题 4. 如 图所示，写出表示下列各点的有序数对 . A _______ ； B_______ ； C_______ ； D_______ ； E_______ ； F_______ ； G_______ ； H_______ ； I_______ ． 课堂检测 （ 2,3 ） （ 6,2 ） （ 2,1 ） （ 12,5 ） （ 12,9 ） （ 7,11 ） （ 5,11 ） （ 4,8 ） （ 7,7 ） 基础巩固题 李 娜和王欣相约一起去看电影，他们买了两张电影票，座位号分别是 7 排 11 座和 7 排 12 座，即表示（ 7 ， 11 ）和（ 7 ， 12 ） . （ 1 ） 怎样才能既快又准确的找到座位？（ 2 ）李娜和王欣的座位挨在一起吗？（ 3 ）（ 11 ， 7 ）和（ 12 ， 7 ）分别表示几排 几座呢？ 解 ： （ 1 ）先找 第 7 排 ，再找 11 座和 12 座 ； 能力提升题 课堂检测 （ 2 ）若 分单 号与双号区 ，则李娜和王欣的座位 没挨在一起 ；若 没分单号与双号区 ，则李娜和王欣的座 位 挨在一起 ； （ 3 ）（ 11 ， 7 ） 表示 11 排 7 座 ，（ 12 ， 7 ） 表示 12 排 7 座 . 如 下表所示，小聪家在 A 点，用 (3 ， 1) 表示，小明家在 B 点，用 (8 ， 5) 表示．若用 (3 ， 1) — (4 ， 1) — (5 ， 1) — (5 ， 2) — (5 ， 3) — (5 ， 4) — (6 ， 4) — (7 ， 4) — (8 ， 4) — (8 ， 5) 表示由 A 到 B 的一种走法，并规定从 A 到 B 只能向下或向右走 . 请你用同样的表示法写出另外一种走法 .( 只要写出一种符合题意且不与以上方法重复的方法，即可 ). 拓广探索题 课堂检测 答案： 答案不唯一，如 (3 ， 1) — (4 ， 1) — (5 ， 1) — (6 ， 1) — (7 ， 1) — (8 ， 1 ) — (8 ， 2)--(8 ， 3) — (8 ， 4) — (8 ， 5) ． 课堂检测 （ 1,1 ） （ 2,1 ） A （ 3,1 ） （ 4,1 ） （ 5,1 ） （ 6,1 ） （ 7,1 ） ( 8,1 ) （ 1,2 ） （ 2,2 ） （ 3,2 ） （ 4,2 ） （ 5,2 ） （ 6,2 ） （ 7,2 ） ( 8,2 ) （ 1,3 ） （ 2,3 ） （ 3,3 ） （ 4,3 ） （ 5,3 ） （ 6,3 ） （ 7,3 ） ( 8,3 ) （ 1,4 ） （ 2,4 ） （ 3,4 ） （ 4,4 ） （ 5,4 ） （ 6,4 ） （ 7,4 ） ( 8,4 ) （ 1,5 ） （ 2,5 ） （ 3,5 ） （ 4,5 ） （ 5,5 ） （ 6,5 ） （ 7,5 ) B ( 8,5 ) （ 1,6 ） （ 2,6 ） （ 3,6 ） （ 4,6 ） （ 5,6 ） （ 6,6 ） ( 7,6 ) ( 8,6 ) 拓广探索题 有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做 有序数对 ，记作 （ a , b ） . 有序数对 点的位置 思想方法： 知识点： （ a , b ）与（ b , a ） 表示的是两个不同的位置 . 注意点 ： 课堂小结 7.1 平面直角坐标系 人教版 数学 七年级 下册 7.1.2 平 面直角坐标系 神 州九号、七号、六号和五号的发射和回收都那么成功 ，圆了几代中国人的梦想，让全中国人为之骄傲和自豪 ! 但是你们知道我们的科学家是怎样迅速地找到返回舱着陆的位置的吗？这全依赖于 GPS —— 卫星全球定位系统” . 大家一定觉得很神奇吧！学习了今天的内容，你就会明白其中的奥妙 . 导入新知 2. 理解各象限内及坐标轴上点的 坐标特征 . 1. 理解平面直角坐标系以及 横轴、纵轴、原点、坐标等 概念，认识并能画出平面直角坐标系 . 素养目标 3. 会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位 置，能 根据横、纵坐标的 符号确定点 的位置 . 问题 ： 如何确定直线上点的位置？ 在直线上规定了原点、正方向、单位 长度就 构成了 数轴 . 数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个 点在数轴上的坐标 ． 例如 点 A 在数轴上的 坐标 为 -3 ， 点 B 在数轴上的 坐标 为 2 . 反过来，知道数轴上一个 点的坐标 ，这 个点 在数轴上的 位置 也就确定了 . · 单位长度 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 原点 • • A B 探究新知 知识点 1 平面直角坐标系的有关概念 小红 小明 小强 问题： 如何确定平面上点的位置？ 探究新知 如何确定平面上点的位置？ 0 -3 -2 -1 -4 1 2 4 3 小红 小强 小明 0 -2 -1 1 2 4 3 （ -2,3 ） （ 0,0 ） （ 3,2 ） 探究新知 问题 ： 小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？ 周末小明和小丽约好一起去图书馆学习 . 小明告诉小丽，图书馆在 中山北路西边 50 米，人民西路北边 30 米 的位置 . 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 探究新知 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 4. 如果小明只说在“中山北路西边 50 米”，或只说在“人民西路北边 30 米”，你能找到吗？ 1 . 小明是怎样描述图书馆的位置的？ 2. 小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？ 3. 如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？ 探究新知 思 考 ： x y o 30 20 10 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （ -50, 北 西 30 ） 人民路 中山路 探究新知 若 将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系 . 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O y 在平面内画两条互相垂直的数轴 , 构成 平面直角坐标系 . 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 竖直的 叫 y 轴或纵 轴； y 轴取 向上 为正方向 水 平的叫 x 轴或横轴 ； x 轴取 向右 为正方向 x 轴与 y 轴的交点叫平面直角坐标系的 原点 . 探究新知 x O 1. 下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ） -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y x x y （ A ） 3 2 1 -1 -2 -3 x y （ B ） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 （ C ） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y （ D ） O D 巩固练习 3 2 1 - 1 -2 -3 问题 1 ： 在平面直角坐标系中，能用有序数对来表示 图中 点 A 的位置吗？ 由点 A 分别向 x 轴， y 轴作垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 3 ，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 4 ，有序数对 （ 3 ， 4 ） 就叫做点 A 的坐标，其中 3 是横坐标， 4 是纵坐标． 注意： 表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． 知识点 2 确定平面直角坐标系内点的坐标 探究新知 -3 -2 - 1 1 2 3 4 5 x 5 4 3 2 1 -1 -2 O y A （ 3 ， 4 ） 问题 2 ： 如图，在平面直角坐标系中，点 B ， C ， D 的坐标分别是什么？ 答 ： B （ -2 ， 3 ）， C （ 4 ， -3 ）， D （ -1 ， -4 ） ． 探究新知 问题 3 ： 如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点 A ， B ， C ， D 的坐标吗？ x 轴和 y 轴上的点的坐标有什么特点？原点的坐标是什么？ 答 ： A （ 4 ， 0 ）， B （ -2 ， 0 ）， C （ 0 ， 5 ）， D （ 0 ， -3 ）， ① x 轴上的点的纵坐标为 0 ，一般记为 （ x ， 0 ） ； ② y 轴上的点的横坐标为 0 ，一般记为 （ 0 ， y ） ； ③ 原点 O 的坐标是 （ 0 ， 0 ） ． 探究新知 A B C E F D 例 1 写 出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标 . 1 2 3 4 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 y O x 答案 : A （ -2 ， 0 ） , B （ 0 ， -3 ） C （ 3 ， -3 ） , D （ 4 ， 0 ） E （ 3 ， 3 ） , F （ 0 ， 3 ） 探究新知 素养考点 1 确定平面直角坐标系内点的坐标 2 . 写 出图中点 A 、 B 、 C 、 D ，的 坐 标 . 答 ： A （ 4 ， 3 ）， B （ -2 ， 3 ）， C （ -4 ， -1 ）， D （ 2 ， -2 ） . 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 巩固练习 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的 Ⅰ ， Ⅱ ， Ⅲ ， Ⅳ 四个区域 . 提示 ： 坐标轴上的点不属于任何一个象限 . 知识点 3 探究新知 平面直角坐标系内点的坐标性质 分 别称为第一，二，三， 四象限 . 观察坐标系 , 填写各象限内的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标 的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 【 讨论 】 不 看平面直角坐标系 , 你能迅速说出 A (4,5) , B (-2,3) , C (-4,-1), D (2.5,-2), E (0,-4) 所在的象限吗？你的方法又是什么？ 探究新知 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在 x 轴的正半轴上 在 x 轴的负半轴上 在 y 轴的正半轴上 在 y 轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 【 讨论 】 不 看平面直角坐标系 , 你能迅速说出 A ( 4 ,0), B (0,3), C (- 4, 0), E (0,- 4 ), O (0,0) 所在的位置吗？你的方法又是什么？ A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 观 察坐标系 , 填写坐标轴上的点的坐标的特征： 探究新知 【 思考 】 坐 标平面内的点与有序数对 ( 坐标 ) 是什么关系 ? 类似数轴上的点与实数是 一一对应 的 . 我们可以得出： ①对于坐标平面内任意一点 M ,都有 唯一的一对 有序实数 ( x , y ) (即点 M 的坐标）和它对应； ②反过来，对于任意一对有序实数 ( x , y ) , 在坐标平面内都有 唯一的一点 M (即坐标为 ( x , y ) 的点）和它对应 . 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是 一一对应 的 . 探究新知 例 2 在 平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限 . A (5 ， 4) ， B (-3 ， 4) ， C (-4 ， -1) ， D (2 ， -4) . 探究新知 素养考点 1 在平面直角坐标系内确定已知点 y 5 -5 - 2 -4 -1 2 3 1 -6 6 4 -5 5 -3 -4 4 -2 3 -1 2 1 -6 6 x -3 A ( 5,4 ) O B (- 3,4 ) C (- 4,-1 ) D ( 2,-4 ) 解： 如 图，先在 x 轴上找到表示 5 的点，再在 y 轴上找出表示 4 的点，过这两个点分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂线的交点就是点 A. 类似地，其他各点的位置如图所示 . 点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，点 C 在第三象限，点 D 在第四象限 . 3. 下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ A （ 3 ， 2 ） B （ 0 ，－ 2 ） C （－ 3 ，－ 2 ） D （－ 3 ， 0 ） E （－ 1.5 ， 3.5 ） F （ 2 ，－ 3 ） 第一象限 第三象限 第二象限 第四象限 y 轴上 x 轴上 巩固练习 例 3 已知在 平面直角坐标系中，点 P ( m ， m- 2 ) 在第一象限内，则 m 的取值范围是________． 解析 ： 根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于 m 的一元一次不等式组 解得 m ＞2 . m ＞ 2 求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组， 解不等式或不等式组 即可求出相应字母的取值范围． 探究新知 素养考点 2 利用平面直角坐标系内点的坐标确定字母的值 4 . 点 A ( m ＋3， m ＋1) 在 x 轴上，则 A 点的坐标为(　　) A ．( 0 ， -2 ) B ．( 2 ， 0 ) C ．( 4 ， 0 ) D ．( 0 ， -4 ) B 巩固练习 5 . 点 A ( n ＋ 6 ， n - 1) 在 y 轴上， 则 A 点 的坐标为(　　) A ．( 0 ， -7 ) B ．( -7 ， 0 ) C ．( 5 ， 0 ) D ．( 0 ， -5 ) A 正 方形 ABCD 的边长为 4 ，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点 A,B,C,D 在这个平面直角坐标系中的坐标 . A B C D 知识点 4 探究新知 建立平面直角坐标系确定点的坐标 4 4 y x （ A ） B C D 解 ： 如图，以顶点 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点 A , B , C , D 的坐标分别为： A (0 ， 0), B (4 ， 0), C (4 ， 4), D (0 ， 4). O 探究新知 A B C D A (0 ， -4), B (4 ， -4), C (4 ， 0), D (0 ， 0). y x O 【 讨论 】 还 可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点 A , B , C , D 的坐标吗？ A (-4 ， 0), B (0 ， 0), C (0 ， 4), D (-4 ， 4). A ( -4 ， -4 ), B (0 ， -4), C (0 ， 0), D (-4 ， 0). A ( -2 ， -2 ), B (2 ， -2 ), C (2 ， 2), D (-2 ， 2). 探究新知 【 思考 】 由前面得 知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？ 方法点 拨 ： 建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标 容易 确定，例如以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系 , 又如以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但正方形的形状和性质不会改变． 探究新知 例 4 长 方形的两条边长分别为 4 ， 6 ，建立适当的直角坐标 系，使 它的一个顶点的坐标为 ( -2 ， -3 ) ．请你写出另外三个 顶点的坐标． 解 ： 如图 , 建立直角坐标系，∵长方形的一个顶点的坐标为 A ( -2 ， -3 ) ，∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为 B ( 2 ， -3 )， C ( 2 ， 3 )， D ( -2 ， 3 )． 探究新知 素养考点 1 建立平面坐标系确定点的坐标 O 东 北 50 50 单位： m 张明 6. 李强同学家在学校以东 100 m 再往北 150 m 处，张明同学家在学校以西 100 m 再往南 50 m 处，王玲同学家在学校以南 150 m 处，如图 ，在 坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来 . 李强 王玲 (100,150) (-100,-50) (0,-150) 巩固练习 学校 1. （2019•株洲）在平面直角坐标系中，点 A （2，﹣3） 位于哪个象限？（　　） A ．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 巩固练习 连接中考 2. （ 2019 •甘肃）已知点 P （ m +2，2 m ﹣4） 在 x 轴上，则点 P 的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） D A 1 . 如图所示，点 A 的坐标是 ( ). A ． (3 ， 2) B ． (3 ， 3) C ． (3 ， -3)   D ． (-3 ， -3 ) 　 B 课堂检测 基础巩固题 2 . 在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为 （ -3 ， 2 ） ，则点 P 所在的象限是（　　） . A. 第一象限 B. 第二 象 限 C. 第三 象限 D. 第四 象 限 3. 如果点 M （ 3 ， x ） 在第一象限，则 x 的取值范围是 ___________. 4. 若第二象限内的点 P （ x ， y ） 满足 | x |= 3, y 2 =25 ， 则点 P 的坐标是 ___________. B x ＞ 0 （ -3 ， 5 ） 基础巩固题 课堂检测 5. 如图 所示 ，在平面直角坐标系 中 , 描 出以下各点： A （ 4 ， 3 ）， B （ -2 ， 3 ） , C （ -3 ， -1 ） , D （ 2 ， -2 ） , E （ 0 ， -1 ） , F （ -1 ， 0 ）， G （ 0 ， 0 ） ．并指出各点所在的象限或坐标轴 . 解 ： 如图 所示 ，点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，点 C 在第三象限，点 D 在第四象限，点 E 在 y 轴上，点 F 在 x 轴上，点 G 在原点 . 基础巩固题 课堂检测 6. 如 图 所示 ，写出坐标系中各点的坐标 . 解 ： A （ -3 ， 1 ） ， B （ 0 ， 1 ） ， C （ 1 ， -1 ） ， D （ -2 ， 0 ） ， E （ 2 ， 0 ） ， F （ -1 ， -2 ） ． O 基础巩固题 课堂检测 2. 已知 P 点坐标为 （ a +1， a －3） ① 点 P 在 x 轴上，则 a = ； ② 点 P 在 y 轴上，则 a = ； 3 . 若点 P （ x ， y ） 在第四象限， | x |=5，| y |=4 ，则 P 点的坐标为 . 3 （ 5 ， － 4 ） － 1 1 . 已知 a < b <0 , 那 么点 P （ a ，－ b ） 在第 象限. 二 能力提升题 课堂检测 如 图所示，建立平面直角坐标系，使点 B ， C 的坐标分别为 （ 0 ， 0 ），（ 4 ， 0 ） ．写出点 A ， D ， E ， F ， G 的坐标，并指出它们所在的象限 . 拓广探索题 解 ： 如 图， A （ -2 ， 3 ） 第二象限， D （ 6 ， 1 ） 第一象限， E （ 5 ， 3 ） 第一象限， F （ 3 ， 2 ） 第一象限， G （ 1 ， 5 ） 第一象限 . x y o 课堂检测 平面直角坐标系及点的坐标 定义：原点、坐标轴 点 的坐标 定义与符号 特征 点的坐标的 确定 建立 合适的平面直角坐标系 课堂小结 7.2 坐标方法的简单应用 人教版 数学 七年级 下册 7.2.1 用 坐标表示地理位置 不 管出差办事，还是出去旅游，人们都愿意带上一副地图，它给人们带来了很大的方便 . 这是 北京 市地图 的一 部分 . 导入新知 【 思考 】 你 能用平面直角坐标系确定图中建筑的位置吗？ 1. 掌握 建立适当 的直角坐标系，描述物体位置的方法 . 2. 会结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的 位置 . 素养目标 3. 通过学习如何用坐标表示地理位置，培养解决实际问题的能力，发展 空间观念 . 根 据以下条件画出示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置 . 小刚家：出校门向东走 1500 米，再向北走 2000 米 . 小强家：出校门向西走 2000 米，再向北走 3500 米，最后向东走 500 米 . 小敏家：出校门向南走 1000 米，再向东走 3000 米，最后向南走 750 米 . 探究新知 知识点 1 建立平面直角坐标系确定点的位置 N 500m 校门 小刚家 小强家 小敏家 探究新知 学校 问题 1 ： 如何建立平面直角坐标系呢？以何参照点为原点？如何确定 x 轴、 y 轴？如何确定单位长度？ 解 ： 以 _______ 为坐标原点，分别以正东、正北方向为 _____ 轴、 _____ 轴正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度代表 500m 长，则小刚家（ 1500 ， 2000 ），小强家（ ， ），小敏家（ ， ） . x y - 15 00 3500 3000 - 175 0 探究新知 (- 1500 ， 3500) 小刚家 500m 小强家 (1500 ， 2000) x y 校门 (3000 ， -1750) 小敏家 探究新知 问题 2 ： 选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向有什么优点？ 答 ： 因小刚、小强、小敏都是从学校出发的，所以选取 ________ 为原点，可以很方便地得到他们的坐标 . 学校 探究新知 问题 3 ： 图中学校右边的数字“ 500 ” 表示什么 ？为 什么 ? 答 ： 数 字“ 500 ” 表示一个 单位长度为 500 m ，因为小刚 家的点的横坐标是 3 个单位表示为 1500 m . 探究新知 (1500,2000) 探究新知 归纳总结 利 用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情 况 平 面图的过 程： （ 1 ）建立坐标系，选择 一个适当的 _____ 为原点，确定 x 轴、 y 轴的 _____ 方向 ； （ 2 ）根据具体问题 确定 _________ ， 在坐标轴上标出 ________ ； （ 3 ）在坐标平面内画出这些 点，写出各点的 _____ 和 各个地点 的名称． 参照点 正 单位长度 单位长度 坐标 例 1 根 据以下条件画一幅示意图， 标出学校、书店、电影院、汽车站的位置 . （ 1 ）从学校向东走 500 m ，再向北走 450 m 到书店 . （ 2 ）从学校向西走 300 m ，再向南走 300 m ，最后向东走 50 m 到电影院 . （ 3 ）从学校向南走 600 m ，再向东走 400 m 到汽车站 . 探究新知 素养考点 1 建立平面直角坐标系确定点的位置 解： 如图，以 学校 所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐 标系，规定 1 个 单位长度代表 100m 长 . 根据题目条件，点 A （ 5 ， 4.5 ） 是书店的位置，点 B （ -2.5 ， -3 ） 是电影院的位置，点 C （ 4 ， -6 ） 是汽车站的位置 . 探究新知 (1,3) (3,3) (-1,1) (-3,-1) (2,-2) (-3,-4) (3,-3) 和同学比较一下 , 大家建立的直角坐标系的位置是一样的吗 ? (4,4) (2,4) (0,2) (-2,0) (-2,-3) (3,-1) (4,-2) O x y 1. 如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置： 巩固练习 这是用什么方法来表述各地的位置 ? 用平面直角坐标来表述各地的位置 如 图，一艘船在 A 处遇险后向相距 35 n mile 位于 B 处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前去救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于 救生船的位置？ 探究新知 知识点 2 用方位角和距离表示物体位置 答 ： 救生船在遇险船 ____________ 的方向上，与遇险船的距离是 ________ ，用 __________________________ 可以确定救生船相对于遇险船的位置 . 反过来，用 ___________________ 可以确定遇险船相对于救生船的位 置 . 北偏东 60 0 35 n mile 南偏西 60 0 ， 35 n mile 北偏东 60 0 ， 35 n mile 探究新知 例 2 如 图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中 1 cm 表示 20 n mile ），对我方潜艇 O 来说： O 探究新知 素养考点 1 用方位角和距离表示物体位置 ˚ 敌方 舰艇 C 敌方 舰艇 A 敌方舰艇 B 小岛 40 ˚ O 1cm 1cm ( 1 ) 北偏东 40 ° 的方向上有哪些目标 ? 要想确定敌舰 B 的位置 , 还需要什么数据 ? 解 : 有 敌方舰艇 B 和小岛；还需要敌方舰艇 B 与我方潜艇 O 的 距离 . ( 2 ) 距离我方潜艇 20 n mile 的敌舰有 哪几艘 ? 解 : 有 敌舰 A 和敌舰 C . 探究新知 解 : （ 3 ）要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据： 距离和方位角 . 如，对我方潜艇 O 来说，敌舰 A 在正南方向，图上距离为 1 cm 处； 敌舰 B 在北偏东 40° 方向，图上距离 为 1.4 cm 处； 敌舰 C 在正东方向， 图上距离为 1 cm 处 . ˚ 敌方 舰艇 C 敌方 舰艇 A 敌方舰艇 B 40 ˚ O 1cm 1cm ( 3 ) 要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据 ? 1.4cm 探究新知 2 . 长方形零件如图 1 （单位： mm ），建立适当的坐标系，用坐标表示孔心的位置 . 如图 2 ，货轮与灯塔相距 40 n mile ，如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？ 巩固练习 图 1 图 2 解 ： 1 、以长方形左下角的顶点为原点，长所在的直线为 x 轴（向右为正方向），宽所在的直线为 y 轴（向上为正方向）建立直角坐标系，则孔心的坐标是 （ 15 ， 25 ） . 2 、 灯塔在货轮的南偏东 50 0 ， 40 n mile 处， 货轮在灯 塔的 北偏西 50 0 ， 40 n mile 处 . 巩固练习 （2019 • 白银）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点 （0，﹣2）， “马”位于点 （4，﹣2）， 则“兵”位于点 ___________ 　． 巩固练习 连接中考 （﹣1，1） 1. 如图 所示 ，若 用（ 2 ， 3 ）表示图上校门 A 的位置，则图书馆 B 的位置可表示为 ___________ ，（ 5 ， 5 ）表示点 _______ 的位置 . （ 1 ， 6 ） D 基础巩固题 课堂检测 2 . 如图 所示 ，小明在与同伴玩“找宝”游戏，他们准备到 A 、 B 、 C 三个点去找宝，现已知点 A 的坐标是 （ 1 ， 0 ） ，点 B 的坐标是 （ 3 ， 2 ） ，则点 C 的坐标是 ___________. 图 7-2-27 （ 5 ， 1 ） 课堂检测 基础巩固题 3. 已知 A 在灯塔 B 的北偏东 30 ° 的方向上，且距灯塔 B 处 500 米，则灯塔 B 在小岛 A 的 _____________ 的方向 上 , 距离 A 处 ______ 米 . 南偏西 30 ° 500 4. 如 图 所示 ，用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是 __________ _______ __________ ．若仓库的位置用 (1 ， 1) 表示，那么火车站的位置表示为 ____________. 北偏东 70 °， 50 km 处 (6 ， 3) 课堂检测 基础巩固题 5 . 小明的爷爷退休生活可丰富了 ! 下表是他某日的活动安排 . 和平广场位于爷爷家东 400 米，老年大学位于爷爷家西 600 米．从爷爷家到和平路小学需先向南走 300 米，再向西走 400 米 .   早晨 6 ： 00-7 ： 00 与奶奶一起到和平广场锻炼     上午 9 ： 00-11 ： 00   与奶奶一起上老年大学   下午 4 ： 30-5 ： 30   到和平路小学讲校史 请依据图示中给定的单位长度，在图中标出和平广场 A 、老年大学 B 与和平路 小学 C 的位 置 . 课堂检测 基础巩固题 课堂检测 基础巩固题 解： 以爷爷家为坐标原点，东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴建立坐标系（如图 所示 ） . 可得： 和平广场 A 坐标为（ 400 ， 0 ）；老年大 学 B （ -600 ， 0 ） ； 和 平 路小 学 C （ -400 ， -300 ） ． 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为 （ 3 ， 2 ） 和 （ 3 ， -2 ） 的两个标志点， 并且知道藏宝地点的坐标 为 （ 4 ， 4 ） ，如何确定直 角坐标系找到“宝藏”？ · 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 y · O （ 3 ， -2 ） x （ 3 ， 2 ） · · （ 4 ， 4 ） 解： 如图所示 能力提升题 课堂检测 · 仙鹤 （ 2 ， 1 ） · 大树 （ 8 ， 2 ） 已知仙鹤的坐标为 （ 2 ， 1 ） 大树的坐标为 （ 8 ， 2 ） 而狮子的坐标为 （ 6 ， 6 ） 你能在图中标出狮子的位置吗？（向上、向右为正） 1 2 0 8 4 5 6 7 3 x y 1 2 6 3 4 5 7 8 狮子 （ 6 ， 6 ） · 提示 ： 由仙鹤和大树的坐标确定原点位置和单位长度 解： 如右图所示： 拓广探索题 课堂检测 1. 利用平面直角坐标系表示 地理位置 ： （ 1 ） 建 立坐标系 , 选择一个适当的参照点为原点、确定 x 轴、 y 轴的正方向； （ 2 ）根 据具体问题确定适当的比例尺 , 在坐标轴上 标出单位长度 ； （ 3 ）在 坐标平面内画出这些点、写出各点的 坐标 和各个地点的名称 . 2 . 用 方位角 和 距离 表示 具体位置 . 课堂小结 7.2 坐标方法的简单应用 人教版 数学 七年级 下册 7.2.2 用 坐标表示平移 　如图，已知点 A 的坐标是 （ -2 ， -3 ） ，把它的横坐标加 5 ，纵坐标不变，得到点 A 1 ， 点 A 1 的坐标是什么？点 A 所在位置发生了什么变化？若点 A 的横坐标不变，纵坐标加 4 呢？ 导入新知 x y 1 2 3 -3 -2 4 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 A A 1 A 2 2. 会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的 移动 过程 . 1. 掌握坐标变化与图形 平移 的关 系 ， 能 利用点的平移规律将 平面图形 进行平移 . 素养目标 3. 体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感 受 代数与几何 的相互转化，初步建立 空间 概念 . O -3 -2 -1 1 2 3 -4 4 x -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 y A (-2,-3) 如 图，将点 A (-2,-3) 向右平移 5 个单位长度，得到点 A 1 ， 在图 上标出 这个点，写出坐标 . 将点 A (-2,-3) 向上平 移4个 单位长度呢？将点 A 向左或向下平移，观察它们的坐标变化，你能从中发现什么规律吗？ 再 找几个点，进行平移，它们的坐标是否按照你的规律变化 . A 1 (3,-3) A 2 (-2,1) 知识点 1 平面直角坐标系点的移动 探究新知 探究新知 归纳总结 在 平面直角坐标系中，将点（ x , y ） 向右（或左）平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x + a , y ）（ 或 ( ＿＿， ＿＿ ））；将点（ x , y ） 向上（或下）平移 b 个单位长度，可以得到对应点（ x , y + b ）（ 或 ( ＿＿， ＿＿ ））. x - a y x y - b 向 左 平移 a 个 单位 对 应点 P 2 ( x-a,y ) 向 右 平移 a 个单位 对应点 P 1 ( x+a,y ) 向 上 平移 b 个单位 对应点 P 3 ( x,y+b ) 向 下 平移 b 个单位 对应点 P 4 ( x,y-b ) 图形上的点 P ( x,y ) 点的 平移规律 探究新知 例 1 平面直角坐标系中 , 将点 A ( － 3 ，－ 5) 向上平移 4 个单位 , 再向左平移 3 个单位到点 B , 则点 B 的坐标为 ( 　　 ) A.(1, － 8) B.(1, － 2) C .( － 6, － 1) D.(0, － 1) C 解析 ： 点 A 的坐标为 ( － 3, － 5) ，将点 A 向上平移 4 个单位，再向左平移 3 个单位到点 B ，点 B 的横坐标是 － 3 － 3 ＝－ 6 ，纵坐标为 － 5 ＋ 4 ＝－ 1 ，即 ( － 6, － 1) ． 提示 ： 点的平移变换：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 探究新知 素养考点 1 平面直角坐标系内点的平移 ① 将 点 (2 ， 1) 向右平移 3 个单位长度， 可以得到对应点坐标 __________ ； ② 将 点 (2 ， -1) 向左平移 3 个单位长度 , 可以得到对应点坐标 __________ ； ③ 将 点 (2 ， 5) 向上平移 3 个单位长度， 可以得到对应点坐标 __________ ； ④将点 (-2 ， 5) 向下平移 3 单位长度， 可以得到对应点坐标 __________ . (5,1) (-1,-1) (2,8) (-2,2) 1. 根据平移填 空 . 巩固练习 （ 1 ）将三角形 ABC 三个顶点的横坐标都减去 6 ，纵坐标不变，分别得到点 A 1 ， B 1 ， C 1 ，点 A 1 ， B 1 ， C 1 坐标分别是什么？并画出相应的三角 形 A 1 B 1 C 1 ． 问题 1 ： 如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是： A （ 4 ， 3 ）， B （ 3 ， 1 ）， C （ 1 ， 2 ）． 知识点 2 探究新知 平面直角坐标系内图形的平移 （ 2 ）三角形 A 1 B 1 C 1 与三角形 ABC 的大小、形状和位置上有什么关系，为什么？ （ 3 ）若三角形 ABC 三个顶点的横坐标都加 5 ，纵坐标不变呢？ 探究新知 问题 1 ： 如图，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是： A （ 4 ， 3 ）， B （ 3 ， 1 ）， C （ 1 ， 2 ）． 解： A 1 （ -2 ， 3 ）， B 1 （ -3 ， 1 ）， C 1 （ -5 ， 2 ） ， 即三角形 ABC 向左平移了 6 个单位长度，因此所得三角形 A 1 B 1 C 1 与三角形 ABC 的 大小、形状完全相同 ． 用 类比的思想，把三角形 ABC 三个顶点的横坐标都加 5 ，纵坐标不变，即三角形 ABC 向右平移了 5 个单位长度，因此所得三角形与三角形 ABC 的 大小、形状完全相同． 探究新知 问题 2 ： 如图，将三角形 ABC 三个顶点的纵坐标都减去 5 ，横坐标不变，猜想 : 三角形 A 2 B 2 C 2 与三角形 ABC 的大小、形状和位置上有什么关系？ 探究新知 用 类比的思想，探究得到三角形 A 2 B 2 C 2 与三角形 ABC 的 大小、形状完全相同 ，可以看作将三角形 ABC 向下平移 5 个单位长度． 问题 3 ： 如图，将三角形 ABC 三个顶点的横坐标都减去 6 ，同时纵坐标减去 5 ，又能得到什么结论？ 探究新知 　　 将三角形 ABC 三个顶点的 横坐标都减去 6 ，同时纵坐标 减去 5 ，分别得 到点 的坐 标是 （ -2 ， -2 ），（ -5 ， -3 ）， （ -3 ， -4 ） ，依次连接这三点，可以发现所得三角形可 以由 三角形 ABC 先 向 左平移 6 个 单位 长度，再向下平 移 5 个 单位 长 度得到． 三角形的 大小、形 状完 全相同． 问题 4 ： 如 图所示，正方形 ABCD 四个顶点的坐标分别是 A （ -2 ， 4 ）， B （ -2 ， 3 ）， C （ -1 ， 3 ）， D （ -1 ， 4 ） ，将正方形 ABCD 向下平移 7 个单位长度，再向右平移 8 个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点 E ， F ， G ， H ． （ 1 ）点 E ， F ， G ， H 的坐标分别是什么？ 探究新知 问题 4 ： 如 图所示，正方形 ABCD 四个顶点的坐标分别是 A （ -2 ， 4 ）， B （ -2 ， 3 ）， C （ -1 ， 3 ）， D （ -1 ， 4 ） ，将正方形 ABCD 向下平移 7 个单位长度，再向右平移 8 个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点 E ， F ， G ， H ． （ 2 ）如果直接平移正方形 ABCD ，使点 A 移到点 E ，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？ 探究新知 　　 点 E ， F ， G ， H 的坐标分别是： （ 6 ， -3 ），（ 6 ， -4 ），（ 7 ， -4 ），（ 7 ， -3 ） ． 若直接平移正方形 ABCD ，使点 A 移到点 E ，它就和我们前面得到的正方形 位置相同 ． 探究新知 问题 5 ： 通过前面问题的探究，你能总结图形上点的坐标的某种变化引起了图形怎样的平移吗？ 　　在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都 加（或减去）一个正数 a ，相应的新图形就是把原图形 向右（或向左）平移 a 个单位长度 ；如果把它各个点的纵坐标都 加（或减去）一个正数 b ，相应的新图形就是把原图形 向上（或向下）平移 b 个单位长度． 探究新知 探究新知 归纳总结 ( 1 ) 原图形向右（左）平移 a 个单位长度： ( a >0 ) 向右平移 a 个单位 原图形上的点 P ( x,y ) 　　　　 　 　　　　　 向左平移 a 个单位 原图形上的点 P ( x,y ) 　　　　　　　　　 P 1 ( x+a,y ) P 2 ( x-a,y ) ( 2 ) 原图形向上（下）平移 b 个单位长度： ( b >0) 向上平移 b 个单位 原图形上的点 P ( x,y ) 　　　　 　 　　　　　 向下平移 b 个单位 原图形上的点 P ( x,y ) 　　　　　　　　　　 P 3 ( x,y+b ) P 4 ( x,y-b ) 例 2 如图 , 在平 面直角坐标系中 , P ( a , b ) 是三角形 ABC 的边 AC 上一点 , 三角形 ABC 经平移后点 P 的对应点为 P 1 ( a ＋ 6, b ＋ 2) ． ( 1 ) 请画出上述平移后的三角 形 A 1 B 1 C 1 ，并写出点 A 、 C 、 A 1 、 C 1 的坐标； 1 y O 1 x A B C A 1 B 1 C 1 解 ： （ 1 ）三角形 A 1 B 1 C 1 如图所示，各点的坐标分别为 A ( － 3 ， 2) 、 C ( － 2 ， 0) 、 A 1 (3 ， 4) 、 C 1 (4 ， 2) ； P P 1 探究新知 素养考点 1 平面直角坐标系内图形的平移 C 1 y O 1 x A B C A 1 B 1 C 1 ( 2 ) 求出以 A 、 C 、 A 1 、 C 1 为顶点的四边形的面积 . 解 ： ( 2 ) 连接 AA 1 , CC 1 , P P 1 探究新知 一个图形依 次沿 x 轴方向、 y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对 应点的坐标之间有怎样的关系？ 平移方向和平移距离 对应点的坐标 向右平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度 向右平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度 向左平移 a 个单位长度，向上平移 b 个单位长度 向左平移 a 个单位长度，向下平移 b 个单位长度 （ x+a , y+b ） （ x+a , y-b ） （ x-a , y+b ） （ x-a , y-b ） 探究新知 2. 如图，将平行四边形 ABCD 向左平移 2 个单位长度，然后再向上平移 3 个单位长度，可以得到平行四边形 A ＇ B ＇ C ＇ D ＇ ，画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标 . A ′ B ′ C ′ D ′ 解 ： 如图所示，四边形 A′B′C′D′ 就是所要画的四边 形， A′ (-3,1), B ′(1,1), C ′(2,4), D ′(-2,4 ) . 巩固练习 1 . （ 2019 •大连）在平面直角坐标系中，将点 P （3，1） 向下平移 2 个单位长度，得到的点 P′ 的坐标为（　　） A．（3，﹣ 1） B ．（3，3） C．（1，1） D．（5，1） 巩固练习 连接中考 2. （ 2019 •海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （ 2 ， 1 ） ，点 B （ 3 ， -1 ） ，平移线段 AB ，使点 A 落在点 A 1 （ -2 ， 2 ） 处，则点 B 的对应点 B 1 的坐标为（　　） A ．（ -1 ， -1 ） B ．（ 1 ， 0 ） C ．（ -1 ， 0 ） D ．（ 3 ， 0 ） A C 1 . ( 1 ) 如图所 示 , 将 点 A 向右平移 (  ) 个单位长度可得到点 B . A.3 个单位长度   B. 4 个单位长度   C.5 个单位长度 D.6 个单位长度 ( 2 ) 如图所示，将点 A 向下平移 5 个单位长度后，将重合于图中的 (   ). 　 A ． 点 C       B ． 点 F      C ． 点 D    D ． 点 E B D 课堂检测 基础巩固题 F y x 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 C D A B E G ( 3 ) 如图所示，点 G (-2 ， -2) ，将点 G 先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到 G ′ ，则 G ′ 的坐标为 (   ). 　　 A ． (6 ， 5)      B ． (4 ， 5)      C ． (6 ， 3)      D ． (4 ， 3) D 课堂检测 基础巩固题 F y x 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 C D A B E G ( 4 ) 如图所示，将点 A 先 向 右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到 A ′ 为 __________ ；将点 B 先向下平移 5 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到 B ′ 为 ________ ，则 A ′ 与 B ′ 相距 ____ 个单位长度 . （ 0 ， -3 ） （ 4 ， -3 ） 4 课堂检测 基础巩固题 F y x 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 C D A B E G 2. 把 一个图形上的各点的横坐标都减去 1 ，再把它的各点的纵坐标都加上 2 ，则这个图形的平移方式是 _____________________ _____________________. 先向左平移 1 个单位 ， 再向上平移 2 个单位 3. 点 P （ a ， b ） 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到点 （ 3 ， -4 ） ，则 a= ____ ， b = ______. 4 -5 基础巩固题 课堂检测 1. 已知线段 MN =4， MN ∥ y 轴，若点 M 坐标为 ( -1 , 2 ) ，则 N 点坐标为 ____________________; 2. 已知线段 MN = 4 ， MN ∥x 轴，若点 M 坐标为 ( -1 , 2 ) ，则 N 点坐标为 ___________________. （ -1 ， -2 ）或（ -1 ， 6 ） （ 3 ， 2 ）或（ -5 ， 2 ） 能力提升题 课堂检测 A B C -4 -5 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -1 -2 -3 o x y (-3,2) (-2,-1) (3,0) 如 图，三角形 ABC 上任意一点 P ( x 0 , y 0 ) 经平移后得到的对应点为 P 1 ( x 0 +2, y 0 +4) ，将三角形 ABC 作同样的平移得到三角形 A 1 B 1 C 1 . 求 A 1 、 B 1 、 C 1 的坐标 . P ( x 0 , y 0 ) P 1 ( x 0 +2, y 0 +4) B 解： A （ -3,2 ） 经平移后得到 （ -3+2,2+4 ） ，即 A 1 (-1,6); B （ -2,-1 ） 经平移后得到 （ -2+2,-1+4 ） ，即 B 1 (0,3); C （ 3,0 ） 经平移后得到 （ 3+2,0+4 ） ，即 C 1 (5,4) . C O A 1 C 1 B 1 拓广探索题 课堂检测 图形在坐标系中的平移 沿 x 轴 平移 沿 y 轴 平移 纵 坐标 不变 向 右 平移，横坐标 加上 一个正数 向 左 平移，横坐标 减去 一个正数 横 坐标 不变 向 上 平移 ， 纵坐标 加上 一个正数 向 下 平移，纵坐标 减去 一个正数 课堂小结 人教版七年级数学下册精 编版课件 第八章 二元一次方程组 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 8.1 二元一次方程组 人教版 数学 七年级 下册 篮 球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分 . 如果某队为了争取较好名次，想在全 部 10 场 比赛中 得 16 分 ，那么这个队胜负场数应分别是多少 ? 用学过的一元一次方程能解决此问题吗？ 这可是两个未知数呀？ 导入新知 1. 了解二元一次方程（组）及其 解的定义 . 2. 会 检验 一对数值是不是某个二元一次方程组的解 . 素养目标 3. 能根据简单的实际问题 列出 二元一次方程组 . 2 x +(10 － x ) =16 篮 球联赛中 , 每场比赛都要分出胜负 , 每队胜一场得 2 分 , 负一场得 1 分 . 如果某队为了争取较好名次 , 想在全 部 10 场 比赛中 得 16 分 , 那么这个队胜、负场数应分别是多少 ? 【 思考 】 你 能设一个未知数 ( 比如设胜 x 场 ,) , 根据题意列出一元一次方程吗？ 胜 负 合计 场数 积分 (10 － x ) 10 (10 － x ) x 16 2 x 探究新知 知识点 1 二元一次方程的概念 x + y =10 2 x +y =16 【 思考 】 你 能设两个未知数 ( 比如设胜 x 场 , 负 y 场 ) , 根据题意列出方程吗？ 胜 负 合计 场数 积分 y 10 y x 16 2 x 探究新知 篮 球联赛中 , 每场比赛都要分出胜负 , 每队胜一场得 2 分 , 负一场得 1 分 . 如果某队为了争取较好名次 , 想在全 部 10 场 比赛中 得 16 分 , 那么这个队胜、负场数应分别是多少 ? x + y =10 2 x+ y =16 1. 这 两个方程是一元一次方程吗？为什么？ 2. 这 两个方程有什么共同特点？ ① 含有两个未知数； ② 含有未知数的项的次数都是 1. 二元一次方程 含有 两个未知数 , 并且含有 未知数的项的次数都 是 1 的方程 叫做 二元一次方程 . 3. 二 元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？ 不同 : 相同 : 含未知数 个数不同 都是 一次方程 探究新知 观察思考 ( 3 ) ( 1 ) 3 y -2 x = z +5 ( 4 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 6 ) 3 - 2 xy =1 是 不是 不是 不是 不是 不是 例 1 判 断下列方程是否为二元一次方程： ( 7 ) 4 x + π =0 ( 8 ) 2 x =1-3 y 不是 是 探究新知 素养考点 1 二元一次方程的判断 探究新知 方法点拨 判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一 看原方程是否是整式方程且只含有 两个 未知数 ； 二 看整理化简后的方程是否具备两个未知数的 系数都不为 0 ， 且含未知数的项的 次数都是 1 . ( 8 ) 4 xy +5=0 ( 1 ) x + y =11 ( 3 ) x 2 + y =5 ( 2 ) m +1=2 ( 4 ) 3 x － π=11 ( 5 ) － 5 x =4 y +2 ( 6 ) 7+ a =2 b +11 c 二元一次方程 不是二元一次方程 1. 判断下列方程是不是二元一次方程？ 巩固练习 ( 7 ) 例 2 已知 | m － 1| x | m | ＋ y 2 n － 1 ＝ 3 是二元一次方程， 则 m ＋ n ＝ ________ ． 解析 ： 根据题意得 | m | ＝ 1 且 | m － 1|≠0 ， 2 n － 1 ＝ 1 ，解得 m ＝－ 1 ， n ＝ 1 ， 所以 m ＋ n ＝ 0 . 0 探究新知 素养考点 2 根据二元一次方程的定义求字母的值 方法小结 ： 由方程是二元一次方程可知： ( 1 ) 未知数的系数不为 0 ； ( 2 ) 未知数的次数都是 1 . 2. （ 1 ） 若 x 2m-1 +5 y 3n-2m =7 是二元一次方程，则 m =____ ， n =___ . 2 m -1=1 1 3 n -2 m =1 1 巩固练习 （ 2 ） 如果 是二元一次方程，那么 k 的值是 ( ) A. 2　 B. 3　 C. 1　 D. 0 B x + y = 16 像 这样 , 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个 二元一次方程组 . 篮球联赛中 , 每场比赛都要分出胜负 , 每队胜一场得 2 分 , 负一场得 1 分 . 某队为了争取较好名次 , 想在全部 16 场比赛中得到 28 分 , 那么这个队胜负场数分别是多少 ? 解 ： 设该队胜 了 x 场 ，负了 y 场 , 根据题意可得方程： 2 x + y = 28 等量关系 : 胜的场数 + 负的场数 = 总场数 胜场积分 + 负场积分 = 总积分 探究新知 二元一次方程组的定义 知识点 2 在这两个方程中 , x 的含义相同吗 ? y 呢 ? 下列哪些是二元一次方程组？ ( 1 ) x+y = 2 ( 2 ) x-y =1 x = y ( 3 ) x =0 ( 4 ) z=x+1 y= 1 2 x-y= 5 ( 5 ) x -3 y =8 ( 6 ) 3 x =5 y xy =6 2 x - y =0 ( 是 ) ( 是 ) ( 不是 ) ( 不是 ) ( 是 ) ( 不是 ) 探究新知 通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？ 把具有相同未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 . 请你说说二元一次方程组有哪些特点？ ① 方程组中 共 有 2 个不同未知数； ② 方程组有 2 个一次方程； ③ 一般用大括号把 2 个方程连起来。 x + y = 16 2 x + y = 28 x + y = 2 x – y = 1 探究新知 例 3 在方程组 程组的有 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1个　 　B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个 D 中，是二元一次方 探究新知 素养考点 1 二元一次方程组的判断 提示 ：三个要素： 含有两个未知数 含有未知数的项的次数为 1 整式方程 3. 下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________ （ 3 ） （ 5 ） （ 6 ） 巩固练习 x y 　 满足课堂开始篮球联赛问题中的方程 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中 . 【 思考 】 如 果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x , y 还可取到小数 , 如 x= 0.5 ,y= 9.5 ; 有无数组这样的值 . 知识点 3 二元一次方程的解的定义 探究新知 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 , 叫做这个 二元一次方程的一个解 . 探究新知 判断一对数值是不是二元一次方程的解 , 只需把这对数值分别代入方程的左右两边 , 若 左边 = 右边 , 则这对数值 是 这个方程的解 ; 若 左边 ≠ 右边 , 则这对数值 不是 这个方程的解 . 温馨提示 : 一般情况下 , 二元一次方程有无数组解 , 但若对其未知数取值附加某些条件 , 那么也可能只有有限个解 . 6. 判断给 出的 x 、 y 的值是否 是方程的解 ( 1 ) 2 x -3 y =6 ( ) ( 2 ) 5 x +2 y =8 ( ) × √ 5. 二元一次方程的解有什么特点 ? 7. 在 中 , 是方 程 x + y =22 的解 的有 ( 填序号 ) . ① 使 二元一次方程两边的值相等的 两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 . 一般有 无数多 个 . 4. 什么叫二元一次方程的解？ 巩固练习 ② ③ ④ ⑤ 0 16 2 1 3 6 4 5 7 9 8 12 10 13 15 14 15 16 11 0 2 1 3 6 4 5 7 9 12 10 13 14 11 8 1. 方程 x+ y = 16 中 , 符合实际意义的 x , y 的值有哪些 ? 把它们填入表格中 . x y x y 20 28 22 26 24 0 2 1 3 6 4 5 7 9 8 12 10 13 14 11 0 2 8 4 6 10 14 16 18 12 2. 再找出方程 2 x + y = 28 的 符合实际意义的解 , 并用表格罗列 . 12 4 4 12 探究新知 知识点 4 二元一次方程组的解的定义 二 元一次方程组中各个方程的公共解 , 叫做这个 二元一次方程组的解 . 【 思考 】 上 表中哪对 x ， y 的值还满足方程 2 x + y =28 ②？ x =12 ， y =4 还满足方程②．也就是说 , 它是方程 x+y= 16 ①与方程②的 公共解 ，记作 探究新知 8. 填表 : 使 每对 x , y 的值是方程 3 x + y =5 的解 ． 9. 已知下列三对数值 ________ 是方程 x + y =7 的解 ; ________ 是方程 2 x + y =9 的解 ， _______ 是方程组 的解． x -2 0 0.4 2 y -0.4 -1 0.5 2 11 5 3.8 -1 1.8 2 1 x =2 y =5 x =1 y =7 x + y =7 2 x + y =9 x =2 y =5 1.5 x =1 y =6 x =2 y =5 x =1 y =7 , , x =2 y =5 x =1 y =6 巩固练习 解 ： 把 代 入到方程组 , 得： 解 得 a =2, b =11 . x = 1 y =-2 例 4 已 知二元一次方程 组 的解是 求 a 与 b 的值 . 探究新知 素养考点 1 利用二元一次方程组的解求字母的值 10. 若 是方程 x - ky =1 的解 , 则 k 的值为 . 解析 ： 将 代 入原方程得 - 2 -3 k =1 ，解得 k ＝ -1 . ｛ x =-2 , y= 3 -1 巩固练习 ｛ x =-2 , y= 3 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：吴秀青 例 5 对 下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解 . 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件 . 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？ 探究新知 素养考点 2 根据实际问题列二元一次方程组 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：吴秀青 分析 ： 第一道工序的人 数＋ _______________ ＝总人数； 第一道工序的件数＝ ________________. 设安排第一道工序 x 人，第二道工序 y 人，用方程把这些条件表示出来：   ___________. x+y= 7 900 x =1200 y 第二道工序的人数 第二道工序的件数 解 ： 所以可列方程组为 探究新知 是该问题的解 . 11. 根 据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（ 　 　） 哦 …… 我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本花了 42 元钱，第二次买了 10 支笔和 5 本笔记本花了 30 元钱． 小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？ D A.0.8 元 / 支， 2.6 元 / 本 B.0.8 元 / 支， 3.6 元 / 本 C.1.2 元 / 支， 2.6 元 / 本 D.1.2 元 / 支， 3.6 元 / 本 设小红所买的笔和笔记本的价格分别为 x 元和 y 元 , 可 列 将选项代入判断是否是方程组的解 . 巩固练习 （2019•天津）方程组 的解是（　　） A ． B ． C ． D． 巩固练习 连接中考 D 1 . 方程 　　　　 3 x ＋ y ＝0,2 x ＋ xy ＝1,3 x ＋ y －2 x ＝0， x 2 － x ＋1＝0 中，二元一次方程的个数是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1 个　　 B. 2 个　 C. 3 个 　 D. 4 个 B 基础巩固题 课堂检测 2. 下列方程组中是二元一次方程组的是 ( ) C 课堂检测 A. B. C. D. 基础巩固题 3. 解为 的方程组是 ( ) D 课堂检测 A. B. C. D . 基础巩固题 4. 小刘同学用 10 元钱购买了两种不同的贺卡共 8 张， 单 价分别是 1 元与 2 元．设他购买了 1 元的贺卡 x 张， 2 元的贺卡 y 张，那么可列方程组 ( 　　 ) A . B. C . D. D 基础巩固题 课堂检测 1. 已知 是方程 2 x -4 y +2 a =3 的一组解，则 a =____. 2. 若方程 2 x 2 m +3 +3 y 3 n -7 =0 是关于 x 、 y 的二元一次方程，则 m =______ ， n =______ ； x =3 ， y =1 -1 能力提升题 课堂检测 把 一根长 13m 的钢管截成 2m 长或 3m 长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？ 解 ：设截成 2m 长的钢管 x 根， 3m 长的钢管 y 根 , 则 2 x +3 y =13 , ∵ x,y 均为非负整数， ∴ 或 ∴ 有 2 种不同的截法 . 3m 长 1 根、 2m 长 5 根以及 3m 长 3 根、 2m 长 2 根 . x= 5 ， y =1 x= 2 ， y= 3 拓广探索题 课堂检测 认识二元一次方程组 二元一次方程及二元一次方程组的 定义 二元一次方程 及 二元一次方程 组的 解 根据实际问题 列二元一次方程组 课堂小结 8.2 消元 —— 解二元一次方程组 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 代入消元法解二元一次方程组 第一课时 返回 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ ( 1 ) 如 果设胜的场数 是 x ，则负的场数 是 10- x, 可得一元一次方程 ； ( 2 ) 如 果设胜的场数 是 x , 负的场数 是 y , 可得二元一次方程组 那么怎样解这个二元一次方程组呢？ 导入新知 1. 掌握 代入消元法 解二元一次方程组的步骤 . 2. 了解解二元一次方程组的 基本思路 . 素养目标 3. 初步体会 化归思想 在数学学习中的运用 . 一 个苹果和一个梨的质量合计 200g , 这个苹果的质量加上一个 10g 的砝码恰好与这个梨的质量相等 , 问苹果和梨的质量各是多少 g ？ 探究新知 知识点 1 代入消元法解二元一次方程组 + ＝ 200 x y ＝ + 10 x y +10 + ＝ 200 x x 探究新知 x + y = 200 y = x + 10 ( x +10) x +( x +10) = 200 ① ② x = 95 y = 105 ∴ 方程组 的解是 y = x + 10 x + y = 200 x = 95 ， y =105 . 将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做 消元思想 . 转化 探究新知 求方程组解的过程叫做 解方程 组 . 解二元一次方程组的基本思路“ 消元 ” 二元一次方程组 一元一次方程 消元 转化 用“ 代入 ”的方法进行“ 消元 ”，这种解方程组的方法称为 代入消元法 ，简称代入法 . 代入法 是解二元一次方程组常用的方法之一 . 探究新知 例 1 解方程组 2 x+ 3 y= 16 ① x+ 4 y= 13 ② 解 ： 由② ，得 x= 13 - 4 y ③ 将③代入① ，得 2（13 - 4 y ） + 3 y= 16 26 – 8 y + 3 y = 16, - 5 y= -10, y= 2 将 y= 2 代入③ ，得 x= 5 . 所以原方程组的解是 x= 5 y= 2 探究新知 素养考点 1 利用代入消元法解二元一次方程组 探究新知 归纳总结 解二元一次方程组的步骤： 第一步 ：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来 . 第二步 ：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程 . 第三步 ：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值 . 第四步 ：回代求出另一个未知数的值 . 第五步 ：把方程组的解表示出来 . 第 六步 ：检验 ( 口算或在草稿纸上进行笔算 ), 即把求得的解代入每一个方程看是否成立 . 1. 用代入法解下列方程组： 解 ： 把①代入②，得 3 x +2 （ ） =_ 解这个方程，得 x ＝ . 把 x ＝ 代入①，得 y = __ ∴ 原方程组的解是 2 x -3 8 2 2 2 1 1 巩固练习 ① （ 1 ） ② 2 -1 巩固练习 （ 2 ） ① ② 2 x -5 2 2 x -5 -1 解 ： 由①，得 y = … ③ 把 ③代入②，得 3 x +4 （ ） = 解这个方程，得 x ＝ 把 x ＝ 代 入③，得 y = ∴ 原方程组的解是 2 2 例 2 根 据市场调查，某种消毒液的大瓶装（ 500 g ）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为 2: 5 ． 某厂每天生产这种消毒液 22.5t ，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 分析 ： 等量关系： ( 1 ) 大 瓶数 小瓶数 ( 2 ) 大 瓶所装消毒液 小瓶所装消毒液 总生产量． 探究新知 素养考点 2 利用二元一次方程组解答实际问题 解 ： 设这些消毒液应该分装 x 大瓶、 y 小瓶 . 根据题意可列方程组： ③ ① 由 得： 把 代入 得： ③ ② 解得： x = 20000 把 x =20000 代入 得： y = 50000 ③ 答 ： 这些消毒液应该分装 20000 大瓶和 50000 小瓶 . ① ② î í ì = + = 22500000 250 500 2 5 y x y x 探究新知 二元一次方程组 消去 一元一次方程 变形 代入 解得 解得 用 代替 ，消去未知数 50 000 y = 代入消元法的 思路 探究新知 探究新知 方法点拨 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的 绝对值是 1 的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是 1 ，则选取系数的 绝对值较小 的方程变形 . 累死我了 真的 ?! 他们各驮多少包裹 ? 巩固练习 2. 根据对话解答问 题 . 你还累 ? 这么大的个才比我多驮两个 . 哼 , 我从你背上拿来一个 , 我的包裹数就是你的 2 倍 ! 解： 设马驼了 x 个包裹，骆驼驼了 y 个包裹，由题意得： 解得 ： 答： 马驼了 5 个包裹，骆驼驼了 7 个包裹 . 巩固练习 解 ： ， 由 ①得， x ＝ y +1 ③ ， 把 ③ 代入②得， y +1+3 y ＝ 9 ，解得 y ＝ 2 ， 把 y =2 代入 x = y +1 得 x =3. 故原方程组的解为 ． 巩固练习 连接中考 ① ② （2019 •广州）解方程组： 1. 二元一次方程组 的解是（ ） D 课堂检测 基础巩固题 A ． C ． B ． D. 2. 下列是用代入法解方程组 ① ② 的开始 步骤，其中最简单、正确的是（ ） A . 由①，得 y= 3 x- 2 ③ ，把③代入②，得 3 x =11-2(3 x -2) . B . 由 ① ，得 ③，把③代入②，得 . C . 由②，得 ③，把③代入①，得 . D . 把②代入 ① ，得 11-2 y - y =2 ， ( 把 3 x 看作一个整体 ) D 课堂检测 基础巩固题 3. 把下列方程分别用含 x 的式子表示 y ，含 y 的式子表示 x ： （ 1 ） 2 x － y ＝ 3 　　　　 （ 2 ） 3 x ＋ 2 y ＝ 1 课堂检测 基础巩固题 解 : （ 1 ） （ 2 ） 4. 解方程组 3 x+ 2 y= 14 ① x-y= 3 ② 所以原方程组的解是 x= 4 y= 1 解 ： 由②变形得 x = y +3 ③ 将 ③代入① ，得 3（ y+ 3） + 2 y= 14 3 y+ 9 + 2 y= 14 　 将 y= 1 代入②，得 x= 4 5 y= 5 ， y= 1 课堂检测 基础巩固题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分 . 负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部 20 场比赛中得到 35 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 解 ： 设胜的场数是 x ，负 的场数是 y , 可 列方程组： 由 ①得 y =20- x . ③ 将 ③ 代入 ② , 得 2 x+ 20- x =35 . 解得 x =15 . 将 x =15 代入 ③ 得 y =5 . 则这个方程组的解是 答： 这个队胜 1 5 场，负 5 场. ① ② 能力提升题 课堂检测 李 大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解 : 设甲、乙两种蔬菜各种植了 x 、 y 亩，依题意得： x + y =10 ① 2000 x +1500 y =18000 ② 由①得 y =10- x . ③ 将 ③ 代入② , 得 2000 x+ 1500(10- x )=18000 . 解得 x =6 . 将 x =6 代入 ③ ，得 y =4 . 答： 李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、 4 亩 . 拓广探索题 课堂检测 解二元一次方程组 基本思路“ 消元 ” 代入法 解二元一次方程组的一般步骤 课堂小结 加减法解二元一次方程组 第二课时 返回 一 个长方形的周长是 50cm ，长比宽多 5cm , 设长为 xcm , 宽为 y cm ，可列出的二元一次方程组是 x – y = 5 ① 2 x + 2 y = 50 ② 上面方程组的两个方程中， y 的系数有什么关系？ 利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 导入新知 2. 熟练 运用消元法解简单的二元一次方程组 . 1. 掌握用 加减消元法 解二元一次方程组的步骤 . 素养目标 3. 培养学生的 分析能力 ，能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组 . 怎样解下面的二元一次方程组呢？ ① ② 探究新知 知识点 1 加减法解二元一次方程组 把②变形得： 代入①，不就 消去 x 了 ！ 小彬 探究新知 把②变形得 可以直接代入①呀！ 小明 探究新知 （ 3 x ＋ 5 y ） + （ 2 x － 5 y ）＝ 21 + ( － 11) 3 x +5 y = 21 2 x － 5 y = -11 和 互为相反数 …… 按小丽的思路，你能消去 一个未知数吗？ 小丽 分析： ， ① . ② ① 左边 + ② 左边 = ① 右边 + ② 右边 探究新知 探究新知 把 x ＝ 2 代入①，得 y ＝ 3 ， 的解是 所以 x ＝ 2 3 x +5 y +2 x － 5 y ＝ 10 5 x +0 y ＝ 10 5 x ＝ 10 2 x -5 y =7 ， ① 2 x +3 y =-1. ② 参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？ 分析 ： 观察方程组中的两个方程，未知数 x 的系数相等，即都是 2 ．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数 x ，得到一个一元一次方程． 探究新知 解 ： 由 ② －①得： 8 y ＝－ 8 y ＝－ 1 把 y =-1 代入①，得 2 x － 5 × （ -1 ）＝ 7 解得： x ＝ 1 所以原方程组的解是 探究新知 上面这些方程组的特点是什么？ 解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？ 主要步骤 ： 特点 ： 基本思路 ： 写解 求解 加减 二元 一元 . 加减消元： 消去一个元； 分别求出两个未知数的值； 写出原方程组的解 . 同一个未知数的系数 相同或互为相反数 . 探究新知 例 1 解下列二元一次方程组 解： 由② -① 得 ： 解得： 把 代入①，得： 注意 : 要检验哦 ! 解得： 所以方程组的解为 方程①、②中未知数 x 的系数 相等 ，可以利用两个方程 相减 消去未知数 x .   探究新知 素养考点 1 加减法解系数相等的二元一次方程组 ① ② 3 x +2 y =23 5 x +2 y =33 1. 解方程组 解 ： 由 ②－ ①得 : 将 x =5 代 入①得： 15+2 y =23 y =4. 所以原方程组的解是 x =5 y =4 2 x =10 x =5. 与前面的代入法相比，是不是更加简单了！ 巩固练习 3 x + 10 y =2.8 ① 15 x - 10 y =8 ② 解 ： 把 ①+②得: 18 x ＝10.8 x ＝0.6 把 x ＝0.6 代入①，得： 3×0.6+10 y ＝2.8 解得: y ＝0.1 例 2 解 方程组 所以这个方程组的解是 x =0.6 y =0.1 探究新知 素养考点 2 加减法解系数为相反数的二元一次方程组 互为相反数 相加 同一未知数的 系数 _ 时，把两个方程 的两边分别 ！ ① ② 解 : 由① +② 得 : 把 x ＝ 2 代入①，得： y =3 x =2 所以原方程组的解是 5 x= 10 2. 解二元一次方程组 : 巩固练习 像上面这种解二元一次方程组的方法 , 叫做 加减消元法 , 简称 加减法 . 当 方程组中两个方程的某个未知数的 系数互为相反数或相等 时 , 可以把方程的两边分别 相加 ( 系数互为相反数 ) 或相减 ( 系数相等 ) 来 消去这个未知数 , 得到一个 一元一次方程 , 进而求得二元一次方程组的解 . 探究新知 例 3 用 加减法解方程组： ① ② 解 : ① × 2 得 : 4 x - 6 y ＝ 8 ③ ③ + ② 得 ： 7 x ＝ 14 x ＝ 2 把 x ＝ 1 代入①，得 ： y ＝ 0 ∴原方程组的解是 x ＝ 2 y ＝ 0 ｛ 探究新知 素养考点 3 加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组 同 一未知数的系数 时， 利等 式的性质，使得未知数的系数 . 不相等也不互为相反数 相等或互为相反数 找系数的最小公倍数 探究新知 3. 用加减法解方程组 : ① ② ① ×3 得： 所以原方程组的解是 解 ： ③-④ 得 : y =2 把 y ＝ 2 代入①， 解得 : x ＝ 3 ② ×2 得 ： 6 x +9 y =36 ③ 6 x +8 y =34 ④ 巩固练习 解 ： ② ×4 得： 所以原方程组的解为 ① 4. 解方程组： ② ③ ① ＋③得： 7 x = 35 ， 解得： x = 5. 把 x = 5 代入 ②得， y = 1. 4 x -4 y =16 巩固练习 例 4 2 台大收割机和 5 台小收割机均工作2h共收割小麦 3.6 hm 2 ，3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm 2 . 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷 ？ 分析： 题目中存在的两个等量关系： 2 ×（ 2 台大收割量+ 5 台小收割量）=______ 5 ×（ 3 台大收割量+ 2 台小收割量）=______ 3.6 hm 2 8 hm 2 知识点 2 列二元一次方程组解实际问题 探究新知 3.6 整理，得 解 ： 设一台大收割机和一台小收割机每小时各收割小麦 x hm 2 和 y hm 2 .根据题意，得 ②-①，得 _ ____ _____ 解得 x =_______ 把 x =_____ 代入①，得 y =_______ ∴这个方程组的解为 答 ： 一台大收割机和一台小收割机每小时分别收割小麦 0.4hm 2 和 0.2hm 2 4 x +10 y 15 x +10 y 8 11 x =4.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.4 探究新知 3.6 3 x +2 y 8 2 x +5 y ① ② 探究新知 归纳总结 利 用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是： （ 1 ）依题意，找 ________ 关系； （ 2 ）根据等量关系设 _______ ； （ 3 ）列 __________ ； （ 4 ）解 __________ ； （ 5 ）检验并作答 . 等量关系 未知数 方程组 方程组 5. 一条船顺流航行，每小时行 20km ，逆流航行，每小时行 16km ，求轮船在静水中的速度与水的速度 . 巩固练习 解 ： 设轮船在静水中的速度为 x km/h ，水流的速度为 y km/h 由题意得： 解得 答 ： 轮 船在静水中的速度为 18km/h ，水流的速度为 2km/h . 1. （2019•贺州） 已知方程组 ，则 2 x +6 y 的值是（　　） A ．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 巩固练习 连接中考 2. （2019•菏泽）已知 是方程 组 的解 ， 则 a + b 的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 C A 1. 方程组 的解是 ． ① ② 2. 用加减法解方程组 6 x +7 y = － 19① 6 x -5 y =17 ② 应用（ ） A.①-② 消去 y B.①-② 消去 x C. ②- ① 消去常数项 D. 以上都不对 B 基础巩固题 课堂检测 （ 1 ） （ 2 ） 解 ： ①－ ②得 2 x =4 ， x =2 把 x =2 代入②得 2+2 y =4 ， 2 y =2 y =1 所以方程组的解是 解 ： ① + ② 得 4 x =12 ， x =3 把 x =3 代入②得 3+ y =4 ， y =1 所以方程组的解是 3. 解方程组 课堂检测 基础巩固题 4. 已知 x 、 y 满足方程组 求代数式 x － y 的值． 解 ： ② - ①得 2 x － 2 y ＝－ 1 － 5 ， 得 x － y ＝－ 3 . ① ② 课堂检测 基础巩固题 ① ② 解 方程组 解 ： 由 ① + ②，得 4( x + y )=36 所 以 x + y =9 ③ 由 ① - ②，得 6( x - y )=24 所 以 x - y =4 ④ 解由 ③④ 组成的方程组 解得 法二 ： 整理得 能力提升题 课堂检测 2 辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨 , 那么1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运多少吨垃圾？ 解 ： 设 1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运 x 吨和 y 吨垃圾 . 根据题意可得方程组： 化简可得： ① ② ② - ①得 11 x =44 ，解得 x =4 . 将 x =4 代入①可得 y =2 . 因此这个方程组的 解 . 答： 1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运 4 吨和 2 吨垃圾 . 课堂检测 拓广探索题 解二元一次方程组 基本思路“ 消元 ” 加减法解二元一次方程组的一般 步骤 课堂小结 8.3 实际问题与二元一次方程组 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 利用二元一次方程组解答实际问题 第一课时 返回 悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟 . 归时四分行六百，风速多少才称雄？ 导入新知 1. 能够根据具体的 数量关系 ，列出二元一次方程组 解决简单 的实际问题 . 2. 学会利用二元一次方程组解决 几何、行程 问题 . 素养目标 3. 经历用方程组解决实际图形问题的过程 ， 体会方程组是刻画现实世界的有效 数学模型 . 养 牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛， 1 天约用饲料 675 kg ；一周后又购进 12 只大牛和 5 只小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg . 饲养员李大叔估计每只大牛 1 天约需饲料 18 到 20 kg ，每只小牛 1 天约需饲料 7 到 8 kg . 你认为李大叔估计的准确吗？ 探究新知 知识点 1 列二元一次方程组解答较简单问题 问题 1 ： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量 : 每头大牛 1 天需用的饲料 ; 每头小牛 1 天需用 的 饲料 . 问题 2 ： 题中有哪些等量关系？ ( 1 ) 30 只大牛和 15 只小牛一天需用饲料为 675kg ; ( 2 ) ( 30+12 ) 只大牛和 ( 15+5 ) 只小牛一天需用饲料为 940kg . 设未知数： 设每 头 大牛和每 头 小牛平均 1 天各需用饲料为 x kg 和 y kg ， 探究新知 解 : 设每 头 大牛和小 牛 平均 1天各需用 饲料为 x kg 和 y kg ， 根据等量关系，列方程组： 答 : 每 头 大牛和每 头 小牛 1 天各需用饲料为 20kg 和 5kg ，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料 18 到 20 千克，每 头 小牛一天需用 7 到 8 千克与计算有一定的出入 . + = 675, + = 940. 30 x 15 y 42 x 20 y 解方程 组，得： x = , y = . 20 5 探究新知 例 1 医 院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品 , 每克甲原料含 0.5 单位蛋白质 和 1 单位铁 质 , 每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质 , 若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质 , 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要 ? 素养考点 1 探究新知 列二元一次方程组解答数量问题 解 : 设每餐甲、乙原料各 x 克， y 克 . 则有下表 : 甲原料 x 克 乙原料 y 克 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5 x x 0.7 y 0.4 y 35 40 探究新知 根据题意 , 得方程组 化简 , 得 ①- ②, 得 5 y =150 y =30 把 y =30 代入① , 得 x =28 答 ： 每餐甲原料 28 克 , 乙原料 30 克恰好满足病人的需要 . 0.5 x +0.7 y =35 ， x +0.4 y =40. 5 x +7 y =350 ， ① 5 x +2 y =200. ② 探究新知 探究新知 归纳总结 用二元一次方程组解决实际问题的步骤： ( 1 )审题 ： 弄清题意和题目 中的_________； ( 2 )设元： 用 ___________表示 题目中的未知数； ( 3 )列方程组： 根 据___个等 量关系列出方程组； ( 4 )解方程组： 利 用__________法或___________ 解出未知数的值； ( 5 )检验并答： 检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 1 . 某 高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，经过测试：同时开放 1 个大餐厅和 2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅和 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐 . （ 1 ）求 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐？（ 2 ）若 7 个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的 5300 名学生就餐？请说明理由 . 巩固练习 解 : ( 1 ) 设 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供 x 名 , y 名学生就餐， x +2 y =1680 2 x + y =2280 解得 : x =960 y =360 ( 2 ) 若 7 个餐厅同时开放，则有 5×960+2×360=5520 答 ： ( 1 ) 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供 960 名 , 360 名学生就餐 . ( 2 ) 若 7 个餐厅同时开放，可以供应全校的 5300 名学生就餐 . 5520>5300 依题意得 巩固练习 据 统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比 1:2 ．现要把一块长 200m 、宽 100m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3:4 ？ 请提取数学信息 探究新知 知识点 2 列二元一次方程组解答几何问题 转换成数学语言 ： 已知：长方形 ABCD ， AB=CD= 200m ， AD=BC= 100m ， 长方形 ABCD 分割为两个小长方形，长方形 1 和长方形 2 分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是 1:2. A D C B 这里研究的实际上是 什么问 题？ 把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 方法 1 竖着画，把长分成两段，则宽不变 方法 2 横着画，把宽分成两段，则长不变 长方形的面积分割 我们可以画出示意图来帮助分析 动手试着画一画 探究新知 目标：甲、乙两种作物的总产量的比是 3:4 问题分析 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1. 大长方形的长 =200m 2. 甲、乙两种作物总产量比 =3:4 等量关系式有几个？ 探究新知 方法 1 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 1. 大长方形的长 =200m 2. 甲、乙两种作物总产量比 =3:4 设 AE ＝ x m ， BE ＝ y m . 先求出两种作物的面积 S AEFD = 100 x S EFCB = 100 y 再写出两种作物的总产量 甲： 100 x ×1 乙： 100 y ×2 则列方程为 100 x :200 y =3:4 总产量 = ？ 1 : 2 x y 200m 100 如何设未知数呢 ？ 则列方程为 x + y =200 单位面积产量 × 面积 探究新知 方法 1 竖着画，把长分成两段，则宽不变 A D C F B E 根据题意列方程组为 100 x :200 y =3:4 x y 200m 100 m x + y = 200 解得 x =120 y =80 你觉得该如何答题比较完整呢？ 甲种作物 乙种 作物 解 ： 过点 E 作 EF ⊥ AB ，交 CD 于点 F. 设 AE ＝ x m ， BE ＝ y m . 答： 将这块土 地分为长 120m, 宽 100m 和长 100m, 宽 80m 的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物 . 探究新知 方法 1 解法一 横着画，把宽分成两段，则长不变 A D C B E x y F x + y =100 乙种作物 甲种作物 解 ： 过点 E 作 EF ⊥ BC ，交 BC 于点 F . 设 DE ＝ x m ， AE ＝ y m . 200 x :400 y =3:4 200 y 200 x x =60 y =40 解得 根据题意列方程组为 200m 100 m 答 ： 将这块 土地分为长 200m, 宽 60m 和长 200m, 宽 40m 的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物 . 探究新知 方法 2 解法二 例 2 某 校现有校舍 20000m 2 计划拆除部分旧校舍，改建新校舍， 使校舍 总面积增加 30%. 若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4 倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为 m 2 ） 解 ： 设应拆 除旧校舍 x m 2 ，建造新校舍 y m 2 拆 20000 m 2 新建 素养考点 1 探究新知 列二元一次方程组解答几何问题 由题意得： 解得： 答 ： 应该拆除 2000m 2 旧校舍，建造 8000m 2 新校 舍 . 2. 8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 ? （单位 cm ） 60 x + y =60 x =3 y 解 : 设小长方形地砖 的长为 x , 宽为 y , 由题意 , 得 解此方程组得： x =45, y =15. 答 : 小 长方形地砖的长为 45cm, 宽为 15cm. 巩固练习 小 华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路 . 假设他始终保持平路每分钟走 60m ，下坡路每分钟走 80m ，上坡路每分钟走 40m ，则他从家里到学校需 10min ，从学校到家里需 15min. 问小华家离学校多远？ 知识点 3 列二元一次方程组解答行程问题 探究新知 分析： 小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路 . 平路： 60 m/min 下坡路： 80 m/min 上坡路： 40 m/min 走平路的时 间+走下坡路的时间=________， 走上坡路的时间+走平路的时间= _______． 路程 = 平均速度×时间 10 15 探究新知 方法一 （直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解： 设 小华家到学校平路长 x m，下坡 路 长 y m. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所 以小 明家到学校的距离为 700m. 探究新知 方法二 （间接设元法） 平路 距离 坡路距离 上学 放学 解： 设小华下坡路 所花时间为 x min, 上坡路所花时间为 y min . 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所 以小 明 家到学校的距离为 700m. 故 平路距离： 60× （ 10-5 ） =300 （ m ） 坡路距离： 80×5=400 （ m ） 探究新知 例 3 张 强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而 行 . 若 张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千 米 . 求 张强、李毅每小时各走多少千米？ 探究新知 素养考点 1 列二元一次方程组解答行程问题 2 y 千米 张强 2.5 小时走的路程 李毅 2 小时走的路程 11 千米 0.5 x 千米 2 x 千米 ( 1 ) A B x 千米 y 千米 ( 2 ) A B 解： 设张强、李毅每 小时各走 x, y 千米，由 题意得 答 ： 张 强、李毅每小时各走 4 , 5 千 米 . 分析 ： 如下图（ 1 ）、（ 2 ）所示 探究新知 3. 巴广高速公路在 5 月 10 日正式通车，从巴中到广元全长约 126 km ， 一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过 45 分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行 6 km ，设小汽车和货车的速度分别为 x km/h 、 y km/h ，则下列方程组正确的是（ ） 巩固练习 A . B. C. D. D （ 2019 •舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹 x 两，牛每头 y 两，根据题意可列方程组为（　　） A ． B． C ． D ． 巩固练习 连接中考 D 1. 某校春季运动会比赛中，八年级（ 1 ）班、（ 5 ）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（ 1 ）班与（ 5 ）班得分比为 6:5 ；乙同学说：（ 1 ）班得分比（ 5 ）班得分的 2 倍少 40 分．若设（ 1 ）班得 x 分，（ 5 ）班得 y 分，根据题意所列的方程组应为（ ） 课堂检测 基础巩固题 B. C. D. D 2. 一只蛐蛐 6 条腿，一只蜘蛛 8 条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共 10 只，共有 68 条腿，若设蛐蛐有 x 只，蜘蛛有 y 只，则列 出方程组为 ______________ ． x+y =10 6 x +8 y =68 解析 : 根据蛐蛐和蜘蛛共 10 只，可得 x ＋ y ＝ 10 ; 蛐蛐和蜘蛛共有 68 条腿，可 得 6 x ＋ 8 y ＝ 68 . 课堂检测 基础巩固题 3. 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱 10 台和液晶显示器 8 台，共需资金 7 000 元；若购进电脑机箱 2 台和液晶显示器 5 台，共需资金 4 120 元．则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？ 课堂检测 基础巩固题 解 ： 设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为 x 元和 y 元 ， 答 ： 每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是 60 元、 800 元． 解得 则 4. A 市至 B 市的航线长 1200 km ，一架飞机从 A 市顺风飞往 B 市需 2 小时 30 分，从 B 市逆风飞往 A 市需 3 小时 20 分 . 求飞机的平均速度与风速 . 课堂检测 基础巩固题 解 ： 设飞机的平均速度为 x km/h , 风速为 y km/h , 根 据题意可列方程组 解得： x = 420 ， y = 60. 答 ： 飞机的平均速度为 420km/h ，风速为 60km/h . 我 国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有 450 千米的路程，某船从九江出发 9 个小时就能到达南京；返回时则用多了 1 个小时 . 求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速 . 解 ： 设轮船在静水中的速度为 x 千米 / 时，长江水的平均流速为 y 千米 / 时 . 答 ： 轮船在静水中的速度为 47.5 千米 / 时，长江水的平均流速为 2.5 千米 / 时 . 能力提升题 课堂检测 解得： 即 甲 、乙两人都从 A 地到 B 地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走 6 千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与甲同时到达 B 地；如果甲先走 1 小时，那么乙用 小时可追上甲，求两人的速度． 拓广探索题 课堂检测 解 ： 设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时 , 则 答 ： 甲的速度为 4 千米/时，乙的速度为 12 千米/时 . 解得： 二元一次方程组的应用 应用 步骤 简单实际问题 行程问题 路程 = 平均速度×时间 审题： 弄清题意和题目中 的 数量关系 设元： 用 字母 表 示题目中的未知数 列方程组 : 根 据 2 个 等量关系列出方程组 检验 作答 解 方程 组： 代入法； 加减法 . 几何问题 课堂小结 列二元一次方程组解答较复杂问题 第二课时 返回 1 ．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？ 2 ．把长方 形纸片折成面积之比为 1 ： 2 的两个小长方形， 又有哪些折法？ 导入新知 2. 进一步 经历和体验 方程组解决实际问题的过程 . 1. 学会运用二元一次方程组解决 较复杂 的实际问题 . 素养目标 　如图，长青化工厂与 A ， B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地 . 公路运价为 1. 5 元 /( t·km ) ，铁路运价为 1.2 元 /( t·km ) ，这两次运输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 素养考点 1 知识点 1 列二元一次方程组解答较复杂问题 列二元一次方程组解答 运费问题 探究新知 问题 1 　 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？ 销 售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道 产品的数量和原料的数量 ． 销售款 原料费 运输费（公路和铁路） 产品数量 原料数量 探究新知 问题 2 　本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？ 一类是公路运费，铁路运费，价值； 另一类是产品数量，原料数量． 探究新知 产品 x 吨 原料 y 吨 合计 公路运费 ( 元 ) 铁路运费 ( 元 ) 价值 ( 元 ) 问题 3 　 你能完成教材上的表格吗？ 产品 x 吨 原料 y 吨 合计 公路运费 ( 元 ) 1.5×20 x 1.5×10 y 1.5(20 x +10 y ) 铁路运费 ( 元 ) 1.2×110 x 1.2×120 y 1.2(110 x +120 y ) 价值 ( 元 ) 8 000 x 1 000 y 探究新知 问题 4 　 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？ 探究新知 是原方程组的解． 解 ： 先化简，得 ② ① 由①，得 代入③ ，得 ③ 代入② ，得 探究新知 问题 5 　 这个实际问题的答案是什么？ 销售款： 8 000×300=2 400 000 ； 原料费： 1 000×400=400 000 ； 运输费： 15 000+97 200=112 200 ． 2400000-400000-112200=1887800 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元． 探究新知 思考： （ 1 ）在什么情况下考虑选择设间接未知数？ 当 直接将所求的结果当作未知数 无法列出方程 时，考虑选择设间接未知数． （ 2 ） 如何更好地分 析数 量关系比较复杂的实际问题？ 探究新知 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [ 方程(组) ] 解方程（组） 数学问题的解 双检验 实际问题的答案 探究新知 1. 一批货 物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表 ( 两次两种货车都满载 ) ： 第一次 第二次 甲种货车的车辆数（辆） 2 5 乙种货车的车辆数（辆） 3 6 累计运货吨数（吨） 15.5 35 现 租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费 30 元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？ 巩固练习 解 : 设甲、乙两种货车每辆每次分别运货 x 吨、 y 吨 ， 解得 x =4 ， y =2.5 . 2 x + 3 y =15.5 ， 5 x + 6 y =35. 总运费为： 30 × (3 x + 5 y )=30 × (3 × 4+ 5 × 2.5)=735( 元 ). 巩固练习 第一次 第二次 甲种货车的车辆数（辆） 2 5 乙种货车的车辆数（辆） 3 6 累计运货吨数（吨） 15.5 35 答 : 货 主应付运 费 735 元 . 例 2 某 牛奶加工厂现有鲜奶 9 吨 , 若在市场上直接销售鲜奶 , 每吨可获利润 500 元 , 若制成酸奶销售 , 每吨可获利润 1200 元 , 若制成奶片销售 , 每吨可获利润 2000 元 . 该厂生产能力如下 : 每天可加工 3 吨酸奶或 1 吨奶片 , 受人员和季节的限制 , 两种方式不能同时进行 . 受季节的限制 , 这批牛奶必 须在 4 天内加工并销售完毕 , 为此该厂制定了两套方案 : 方案一 : 尽可能多的制成奶片 , 其余直接销售鲜牛奶 方案二 : 将一部分制成奶片 , 其余制成酸奶销售 , 并恰 好 4 天 完成 ( 1 ) 你认为哪种方案获利最多 , 为什么 ? ( 2 ) 本题解出之后 , 你还能提出哪些问题 ? 素养考点 2 探究新知 列二元一次方程组解答 利润问题 其余 5 吨直接销售 , 获利 500×5=2500 ( 元 ) ∴ 共获利 : 8000+2500=10500 ( 元 ) 方案二 : 设生产奶片用 x 天 , 生产酸奶用 y 天 另：设 x 吨鲜奶制成奶片 , y 吨鲜奶制成酸奶 x+y =4 x +3 y =9 x+y =9 方案一 : 生产奶片 4 天 , 共制成 4 吨奶片 , 获利 2000×4=8000 1.5×1×2000+2.5×3×1200 = 12000 ( 元 ) ∴ 共获利 : 1.5×2000+7.5×1200 = 3000+9000=12000 ( 元 ) ∴ 共获利 : 探究新知 x =1.5 y =2.5 解得： x =1.5 y =7.5 解得： 2. 北 京和上海都有某种仪器可供外地使用 , 其中北京可提供 10 台，上海可提供 4 台 . 已知重庆需要 8 台，武汉需要 6 台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示 . 有关部门计划用 8000 元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得 到所 需仪器，而且运费 正好够用 . 运费表 单位：（元 / 台） 终点 起点 武汉 重庆 北京 400 800 上海 300 500 巩固练习 解 : 设从北京运往武汉 x 台，则运往重庆 (10- x ) 台， 设从上海运往武汉 y 台，则运往重庆 (4- y ) 台， 解方程组得 x =4 ， y =2 . x + y =6 ， 400 x + 300 y+ 800 (10- x ) + 500 (4- y ) =8000. 运费表 单位：（元 / 台） 终点 起点 武汉 重庆 北京 400 800 上海 300 500 答 : 从北京运往武汉 4 台，运往重庆 6 台，从上海运往武汉 2 台， 运往重庆 2 台 . 巩固练习 例 3 某 车间每天能生产甲种零件 600 个或乙种零件 300 个， 或丙种零件 500 个，甲、乙、丙三种零件各 1 个就可 以配 成一套，要在 63 天内的生产中 , 使生产的零件全 部成 套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？ 素养考点 3 探究新知 列二元一次方程组解答 配套问题 解 ： 设甲零件生产 x 天，乙零件生产 y 天，则丙零件生产 （ 63- x-y ) 天，根据题意，得 所以 63- x-y =18 . 答 ： 甲、乙、丙三种零件各应生产 15 天、 30 天和 18 天 . 解得 3 . 某 车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺钉或 2 000 个螺母 . 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？ 分析 ： 将题中出现的量在表格中呈现 产品类型 所需人数 生产总量 螺钉 x 螺母 y 螺母总产量是螺钉的 2 倍 人数和为 22 人 1200 x 2000 y 巩固练习 解 ： 设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人 . 依题意，可列方程组： 解方程组，得 答： 设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人 . 巩固练习 提示 ： 解决配套问题要弄清 ： （ 1 ） 每套产品中各部分的比例； （ 2 ） 生产各部分的工人数之和 = 工人总数 . （2019 •邵阳）某出租车起步价所包含的路程为 0～2km ，超过 2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了 7km ，付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了 13km ，付了 28 元．设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收费 y 元，则下列方程正确的是（　　） A ． B． C ． D ． 巩固练习 连接中考 D 1 . 小 明家去年结余 5000 元，估计今年可结余 9500 元，并且今年收入比去年高 15 ％ ，支出比去年低 10 ％ ，求去年的收入与支出各是多少？ 解 ： 设去年收入 x 元，支出 y 元，根据题意，得 答 ： 去年小明家收入 20000 元，支出 15000 元 . 基础巩固题 课堂检测 解得 2. 某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为 21 ，如果每台挖掘机每天平均挖土 750 m 3 ，每台装卸机每天平均运土 300 m 3 ，要使挖出的土及时运走， 问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？ 解 ： 设挖掘机 x 台，装卸机 y 台，根据题意列出方程组得 解得 答 ： 挖掘机有 6 台，装卸机有 15 台 . 基础巩固题 课堂检测 3. 一个工厂共 42 名工人 , 每个工人平均每小时生产圆形铁片 120 片或长方形铁片 80 片 . 已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶 . 你认为如何安排工人的生产 , 才能使每天生产的铁片正好配套 ? 解 ： 设生产圆形铁片的工人 x 人，生产长方形铁片的工人 y 人 ， 解得 答 ：生产圆形铁片的工人 24 人，生产长方形铁片的工人 18 人 . 课堂检测 基础巩固题 根据题意列方程组得 某 村 18 位农民筹集 5 万元资金，承包了一些低产田地 . 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦 . 种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表： 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金 / 万元 蔬菜 5 1.5 荞麦 4 1 在现有情况下 , 这 18 位农民应承包多少公顷田地 , 怎样安排种植才能使所有人都参与种植 , 且资金正好够用？ 能力提升题 课堂检测 作物品种 种植面积 / 公顷 需要人数 投入资金 / 万元 蔬菜 x 5 x 1.5 x 荞麦 y 4 y y 合计 ----- 18 5 将题中出现的量在表格中呈现 解 ： 设蔬菜种植 x 公顷 , 荞麦种植 y 公顷 根据题意可列出方程组： 解得 ： 能力提升题 课堂检测 故，承包田地的面积为： x + y =4 公顷 人员安 排为： 5 x =5×2=10 ( 人 ) ； 4 y =4×2=8 ( 人 ) 答 ： 这 18 位农民应承包 4 公顷田地，种植蔬菜和荞麦各 2 公顷，并安排 10 人种植蔬菜， 8 人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用 . 能力提升题 课堂检测 李 大叔 销售牛肉干， 已知甲客户购买了 12 包五香味的和 10 包原味的共花了 146 元，乙客户购买了 6 包五香味的和 8 包原味的共花了 88 元 . （ 1 ）现在老师带了 200 元，能否买到 10 包五香味牛肉干和 20 包原味牛肉干？ 解 ： 设五香味每包 x 元，原味每包 y 元 . 依题意，可列方程组： 解得 所以老师带 200 元能买到所需牛肉干 . 拓广探索题 课堂检测 解 ： 设刚好买五香味 x 包，原味 y 包 . （ 2 ）现在老师想刚好用完这 200 元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？ 因 为 x ， y 为非负整数 拓广探索题 课堂检测 1 . 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以 借助列方程组 的方法来处理这些问题 . 3 . 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用 . 通过本课时的学习，需要我们掌握： 2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为： 课堂小结 8.4 三元一次方程组的解法 人教版 数学 七年级 下册 1. 解二 元一次方程组有哪几种方法？ 2. 解 二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 代入 加减 消元 一元一次方程 化 二元 为 一元 化归转化思想 代入消元法和加减消元法 消元法 【 思考 】 若 含 有 3 个未知 数的方程组如何求解？ 导入新知 1. 了解三元一次方程组的 概念 . 2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步 体会“消元”思想 . 素养目标 3. 会解 较复杂 的三元一次方程组 . 问 题 ： 1 ．题目中有几个条件？ 2 ．问题中有几个未知量？ 3 ．根据等量关系你能列出方程组吗？ 小明手头有 12 张面额分别是 1 元、 2 元、 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、 2 元、 5 元的纸币各多少张？ 探究新知 知识点 1 三元一次方程组的概念 1 元 2 元 5 元 合 计 （三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数 5 z 12 22 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，即 x= 4 y 探究新知 面值 张数 钱数 x y z x 2 y 注 分析 ： 在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设 1 元、 2 元、 5 元的纸币分别是 x 张、 y 张、 z 张，根据题意可以得到下列三个方程 : x + y + z =12, x +2 y +5 z =22, x =4 y . 探究新知 对 于这个问题 的解必 须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成 这 个方程组中含有 个未知数，每个方程中含未知数的项的次数是 . 三 1 探究新知 含 有 三 个不相同的未知数，且每个方程中含未知数的项的 次数都是 1 ，并且一共有 三个方程 ，像这样的方程组叫做 三元一次方程组 ． 探究新知 由此，我们得出 三元一次方程组 的定义 探究新知 例 1 下 列是三元一次方程组的是 (　　) A.　　　　　 B . C. 　　　　　 D. 素养考点 1 三元一次方 程组的 判断 D 1. 下列方程组不是三元一次方程组的 是( ) A. B. C. D. D 提示 ： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数． 巩固练习 类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个 三元一次方程组的解 . 怎样解三元一次方程组呢？ ① ② ③ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 知识点 2 探究新知 三元一次方程组的解法 例 2 解 三元一次方程组 ① ② ③ 解 ： ② ×3 ＋③，得 11 x ＋ 10 z =35 ④ ① 与④组成方程组 解这个方程组，得 探究新知 素养考点 1 三元一次方程组的解法 分析： 方程①中只含 x , z , 因此 , 可以由②③消去 y , 得到一个只含 x , z 的方程 , 与方程①组成一个二元一次方程组 . 把 x ＝ 5 ， z ＝ -2 代入②，得 因此，三元一次方程组的解为 你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较 . 探究新知 例 2 解 三元一次方程组 ① ② ③ 解 三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 探究新知 2. 解方程组 解 ： 由方程②得 x = y +1 ④ 把 ④分别代入①③得 2 y + z =22 ⑤ 3 y - z =18 ⑥ 解 由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 y =8, z =6 把 y =8 代入④，得 x =9 所 以原方程组的解是 x =9 y =8 z =6 ① ② ③ 类似二元一次方程组的“消元” , 把“三元”化成“二元” . 巩固练习 例 3 在 等 式 y=ax 2 ＋ bx ＋ c 中 , 当 x =－1 时 , y =0 ; 当 x =2 时 , y =3 ; 当 x =5 时 , y =60 . 求 a , b , c 的值 . 解 : 根据题意，得三元一次方程组 a － b ＋ c = 0 ， ① 4 a ＋ 2 b ＋ c =3 ， ② 25 a ＋ 5 b ＋ c =60. ③ ② －①， 得 a ＋ b =1 ④ ③ －①，得 4 a ＋ b =10 ⑤ ④ 与⑤组成二元一次方程组 a ＋ b =1 ， 4 a ＋ b =10. 探究新知 素养考点 2 三元一次方程组求字母的值 a ＋ b =1 ， 4 a ＋ b =10. a =3 ， b =-2. 解这个方程组，得 把 代入①，得 a =3 ， b =-2 c =-5, a =3 ， b =-2 ， c =-5. 因此 探究新知 3. 已知 是 方程组 的解,则 a+b+c 的值是 ____________ .   3 巩固练习 例 4 幼 儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、 70 单位的钙和 35 单位的维生素 . 现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A 、 B 、 C 三种食物，下表给出的是每份（ 50g ) 食物 A 、 B 、 C 分别所含的铁、钙和维生素的量（单位） 食物 铁 钙 维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 素养考点 3 探究新知 利用三元一次方程组解答实际问题 解 ： ( 1 ) 由该食谱中包含 35 单位的铁、 70 单位的钙和 35 单位的维生素，得方程组 ③ ① ② （ 1 ）如果设食谱中 A 、 B 、 C 三种食物各为 x 、 y 、 z 份，请列出方程组，使得 A 、 B 、 C 三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求 . （ 2 ）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A 、 B 、 C 的份数 . 探究新知 ( 2 ) ② - ① × 4 , ③ - ① , 得 ⑤ ① ④ ⑤ + ④ , 得 ⑥ ① ④ 通过回代，得 z= 2 ,y= 1 ,x= 2 . 答： 该食谱中包含 A 种食物 2 份， B 种食物 1 份， C 种食物 2 份 . 探究新知 4. 某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表: 巩固练习 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4人 1万元 棉花 8人 1万元 蔬菜 5人 2万元 已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用? 解: 设安排 x 公顷种水稻, y 公顷种棉花, z 公顷种蔬菜. 依题意,得 答: 安排 15 公顷种水稻, 20 公顷种棉花, 16 公顷种蔬菜. 巩固练习 解得： (201 9 ·黑龙江 模拟 )小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的购买方法有 (　　) A.6种　　　　B.5种　　　　C.4种　　　　D.3种 解析： 设 分别购买学习用品的数量为 x , y , z . 由题意 得 , 即 ① -②得: y +2 z =16,所以 y =16-2 z ③,所以满足 x 、 y 、 z 之间关系的取值可以是: 当 y =2时, z =7, x =3.当 y =4时, z =6, x =2 . 当 y =6时, z =5, x =1 .所以小明妈妈有3种不同的购买方法. 巩固练习 连接中考 D 1. 方程 　　　　 ， 3 x ＋ y ＝0,2 x ＋ 8 y ＝1,3 x ＋ y －2 x ＝0， x 2 － x ＋1＝0 中， 二元一次方程的个数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A . 1个　　 B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个 B 基础巩固题 课堂检测 2. 若 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 10 ， 4 x ＋ 3 y ＋ 2 z ＝ 15 ， 则 x ＋ y ＋ z 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 解 析 : 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得， 5 x +5 y +5 z =25 ，所以 x + y + z =5 . D 基础巩固题 课堂检测 3. 解方程组 则 x ＝ _____ ， y ＝ ______ ， z ＝ _______ . x ＋ y － z ＝ 11 ， y ＋ z － x ＝ 5 ， z ＋ x － y ＝ 1. ① ② ③ 解析： 通过观察未知数的系数，可采取① +② 求出 y ， ② + ③ 求出 z ，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可 . 6 8 3 基础巩固题 课堂检测 若 |a － b － 1 | ＋ ( b － 2 a ＋ c ) 2 ＋ | 2 c － b| ＝ 0 ， 求 a ， b ， c 的值． 解： 因为三个 非负数的和等于 0 ，所以每个非负数都为 0. 可 得方程组 解 得 能力提升题 课堂检测 解： 设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x 、 y 、 z . 由题意，得 答： 原三位数是 368 . 一 个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1 . 将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大 495 ，求原三位数． 拓广探索题 课堂检测 解得： 三元一次方程组 三元一次方程组的 概念 三元一次方程组的 解法 三元一次方程组的 应用 课堂小结 人教版七年级数学下册精 编版课件 第九章 不等式与不等式组 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 9.1 不等式 人教版 数学 七年级 下册 9.1.1 不 等式及其解集 很多人在自己的童年生活中，都做过跷跷板的游戏，当一个大人和一个小孩同时坐上等臂长的跷跷板的两边时会发生什么现象呢？ 导入新知 1. 了解 不等式 概念和不等式的 解 . 2. 理解不等式的 解集 ，能正确表示不等式的解集 . 素养目标 3. 培养数感，渗透 数形结合 的思想 . 现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系 . 例如，小明的身高为 155cm ，小聪的身高为 156cm ， 则 我们可以用不等号“ >” 或“ <” 来表示他们的身高之间的关系 . 如： 156 > 155 或 155 < 156. 155cm 156cm 探究新知 知识点 1 不等式的概念 【 思考 】 如 图所示 , 处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为 50g 的砝码 , 左盘放上一个圆球后向左倾斜 , 问圆球的质量 x g 与质量为 50g 的砝码之间具有怎样关系？ 我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即 x > 50 . 探究新知 一 辆匀速行驶的汽车在 11 :20 距离 A 地 50 千米，要在 12 :00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？ A 50 千米 11 :20 12 :00 40 分钟＝ 2/3 小时 探究新知 设车速是 x 千米 / 时 从 时间 上看，汽车要在 12 ： 00 之前驶过 A 地，则以这个速度行驶 50 千米所用的时间 不到 2/3 小时，即 从 路程 上看，汽车要在 12 ： 00 之前驶过 A 地，则以这个速度行驶 2/3 小时的路程要 超过 50 千米，即 ① ② 分析 ： 探究新知 【 思考 】 下 列式子有什么区别？ 区别 ： ①只有（ 4 ）的式子里含有“ = ”符号； ②除了（ 4 ）的式子里含有“ > ”或“ < ”或“≥”或“≤”或“≠”符号； 探究新知 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） x ≠50 （ 4 ） x =5 （ 5 ） x ≥9 （ 6 ） x ≤10 共同点： 式子里含有不是“ = ”的符号 . 式子里没有“ = ”号； 探究新知 观 察 ， ， x≥ 9 ， x ≠50 ， x ≤10 想 一想它们有 什么共同点？ 用不等号 (< ， > ，≥，≤，≠ ) 连接的式子叫做 不等 式 . 例 1 判 断 下列式子是 不是 不等式 ： ① - 1 < 3 ② - x +2=4 ③ 3 x ≠ 4 y ④ 6 > 2 ⑤ 2 x - 3 ⑥ 2 m < n 是 不是 是 是 不是 是 探究新知 素养考点 1 不等式的识别 1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ - 2 ＜ 5 ② x +3 > 6 ③4 x -2 y ≤ 0 ④ a- 2 b ⑤ a+b ≠c ⑥ 5 m +3=8 ⑦ 8+4<7 ⑧ 巩固练习 答 ： ①②③⑤⑦⑧ 是 不等式， ④⑥ 不是，因为 ④ 不含不等号， ⑥ 是等 式 . （ 1 ） a 与 1 的和是正数 ; （ 2 ） y 的 2 倍与 1 的和小于 3 ; （ 3 ） y 的 3 倍与 x 的 2 倍的和是非负数 （ 4 ） x 乘以 3 的积加上 2 最多为 5 . （ 1 ） a +1>0 （ 2 ） 2 y +1<3 （ 3 ） 3 y +2 x ≥0 （ 4 ） 3 x +2 ≤5 例 2 用 不等式表示 解 ： 素养考点 2 用不等式表示数量关系 探究新知 2. 用不等式表示: （ 1 ） a 是正数 ; （ 2 ） a 是非正数 ; （ 3 ） a 与 5 和小于 7 ; （ 4 ） a 与 2 的差不小于 －1 ; a > 0 a ≤ 0 a + 5 < 7 a -2 ≥ -1 巩固练习 交流 ： 下面给出的数中，能使不等式 x >50 成立吗？你还能找出其他的数吗？ 20 ， 40 ， 50, 100. 当 x= 20 ， 20<50 , 不 成立 ； 当 x= 40 ， 40<50 , 不 成立 ； 当 x= 50 ， 50=50 , 不成立 ； 当 x= 100 ， 100>50 , 成立 . 解： 知识点 2 不等式的解和解集 探究新知 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解 . 代入法 是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法 . 例如： 100 是 x >50 的解 . 探究新知 判 断下列数中哪些是不等式 的解： 60 ， 73 ， 74.9 ， 75.1 ， 76 ， 79 ， 80 ， 90. 你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ （ 2 ）你从表格中发现了什么规律？ （ 1 ）你发现了哪些数是这个不等式的解？ x 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90 不 是 是 是 不是 不是 是 是 是 无数个 探究新知 一般地， 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个 不等式的解集 . 【 讨论 】 1 . 不等式的解和不等式的解集是一样的吗 ? 2 . 不等式的解与解不等式一样吗？ 求不等式的解集的过程叫 解不等式 . 探究新知 满足一个不等式的未知数的 某个 值 满足一个不等式的未知数的 所有 值 个体 全体 如 : x =3 是 2 x -3<7 的 一个解 如 : x <5 是 2 x -3<7 的 解集 某个解定是解集中的一员 解集一定包括了 某个解 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 探究新知 联系 不等式的解 不等式的解集 区 别 定 义 特点 形式 例 3 下 列说法正确的是 ( ) A. x =3 是 2 x +1>5 的解 B. x =3 是 2 x +1>5 的唯一解 C. x =3 不是 2 x +1>5 的解 D. x =3 是 2 x +1>5 的解集 A 探究新知 素养考点 1 不等式的解和解集的判断 解 ： 3.2 ， 4.8 ， 8 ， 12 是 不等式的解； -4 ， -2.5 ， 0 ， 1 ， 2.5 ， 3 不是 . 3. 下列数中，哪些是不等式 x +3﹥6 的解？哪些不是？ -4 ， -2.5 ， 0 ， 1 ， 2.5 ， 3 ， 3.2 ， 4.8 ， 8 ， 12 巩固练习 4. 判断下列说法是否正确？ ( 1 ) x =2 是不等式 x +3<4 的解； （ ） ( 2 ) 不等式 x +1<2 的解有无穷多个； （ ） ( 3 ) x =3 是不等式 3 x <9 的解 （ ） ( 4 ) x =2 是不等式 3 x <7 的解集； （ ） √ × × × 巩固练习 第一种 : 用式子 ( 如 x >2 ), 即用最简形式的不等式 ( 如 x > a 或 x < a ) 来表示 . 第二种 : 用数轴 , 一般标出数轴上某一区间 , 其中的点对应 的数 值都是不等式的解 . 用数轴表示不等式的解集的步骤 : 第一步 : 画数轴 ; 第二步 : 定界点 ; 第三步 : 定方向 . 知识点 3 不等式解集的表示方法 探究新知 【 画一画 】 利用数轴来表示下列不等式的解集 . ( 1 ) x ＞ -1 ； ( 2 ) x ＜ . 0 -1 0 1 变式 : 已知 x 的取值范围在数轴上表示如图 , 你能写出 x 的取值范围 吗 ? 0 - 2 x ＜ -2 表示 -1 的点 表示 的点 方向向右 方向向左 空心圆表示不含此点 探究新知 探究新知 归纳总结 用 数轴表示不等式的解集 , 应记住下面的规律 : 1 . 大于向右画 , 小于向左画 ; 2 .>,< 画空心圆 . 0 1 2 例 4 直 接写出 x +4 ＜ 6 的解集，并在数轴上表示出来． 解： x ＜ 2 ． 这个解集可以在数轴上表示为： 解： （ 1 ） x ＜－ 4 ； （ 2 ） x ＞ 4 ． 0 -4 0 4 （ 1 ） （ 2 ） 变式 1 ： 已知 x 的解集如图所示，你能写出 x 的解集吗 ? 素养考点 1 探究新知 在数轴上表示不等式解集 变式 2 ： 直接写出不等式 2 x ＞ 8 的解集，并在数轴上表示出来． 解： x ＞ 4 ． 这个解集在数轴上表示为： 0 4 变式 3 ： 直接写出不等式 － 2 x ＞ 8 的解集． 解： x ＜－ 4 ． 探究新知 5. 在数轴上表示下列不等式的解集 ( 1 ) x >-1 ; ( 2 ) x ≥-1 ; ( 3 ) x <-1 ; ( 4 ) x ≤- 1 . 解析 ： 按画数轴 , 定界点 , 走方向的步 骤 作 答 . 答案 ： 如图： 巩固练习 （2019•河北）语句“ x 的 与 x 的和不超过5” 可以表示为（ 　　） A． B． C ． D ． 巩固练习 连接中考 A 1. 用 不等式表示下列数量关系： （ 1 ） a 是正数； （ 2 ） x 比 -3 小； （ 3 ）两数 m 与 n 的差大于 5 . a > 0 . x < - 3. m - n >5. 2. 下列不是不等式 5 x － 3<6 的一个解的是 ( 　　 ) A.1 B.2 C. － 1 D. － 2 B 课堂检测 基础巩固题 3. 在数轴上表示不等式 3 x ＞ 5 的解集，正确的是（　　） A 课堂检测 基础巩固题 A 0 1 2 0 1 2 C B 0 1 2 1 2 D 0 4. 判断下列式子是不是不等式： （ 1 ） -3>0; （ 2 ） 4 x +3 y <0 ； （ 3 ） x =3; （ 4 ） x 2 + xy + y 2 ； （ 5 ） x ≠5; （ 6 ） x +2> y +5. 解 ： （ 1 ）（ 2 ） （ 5 ） （ 6 ） 是 不等式； （ 3 ）（ 4 ） 不 是 不等式 . 课堂检测 基础巩固题 5. 直接写出下列不等式的解集 . x +3>6 的解集是 ； 2 x <18 的解集是 ； x -2>0 的解集是 . x >3 x <9 x >2 课堂检测 基础巩固题 解 ： 当 x =63 时 ， ，不等式 成立 ， 所 以 x =63 是 不等式 的解 ； 当 x =60 时 ， ，不等式 不成立 ， 所 以 x =60 不 是 不等式 的解 ； 当 x =54 时 ， ，不等式 不成立 ， 所以 x =54 不 是 不等式 的解； x =63 是 不等式 的解吗？ x =60 呢 ？ x =54 呢 ？ 能力提升题 课堂检测 已 知一支圆珠笔 x 元，签字笔与圆珠笔相比每支贵 y 元 . 小华想要买 3 支圆珠笔和 10 支签字笔，若付 50 元仍找回若干元，则如何用含 x ， y 的不等式来表示小华所需支付的金额与 50 元之间的关系？ 解 : 3 x +10( x+y )<50 拓广探索题 课堂检测 不等式 → 实际问题中不等式的 表示 概念 ↓ ↓ 解、解集 课堂小结 9.1 不等式 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 9.1.2 不等式的性质 不等式的三个性质 第一课时 返回 等 式的基本性 质 : （ 1 ）等式的两边 都加上（或都减去） 同一个 数 或同一个整式， 等式仍然成立 . （ 2 ）等式的两边 都乘 以 （或除以） 一个不 为 0 的 数， 等式仍然成立 . 猜想 ： 不等式也具有同样的性质吗？ 导入新知 2. 能够利用不等式的性质 解不等式 . 1. 掌握不等式的 三个性质 . 素养目标 3. 通过实例操作 , 培养学生观察、分析、比较问题的 能力 . 等式基本性质 1 ： 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍然成 立 . 如果 a=b , 那么 a ± c=b ± c 探究新知 知识点 1 不等式的性质 1 不等式是否具有类似的性质呢？ 如果 7 ＞ 3, 那么 7 + 5 ____ 3 + 5 , 7 - 5____3 - 5 你能总结一下规律吗？ ＞ ＞ 如果 -1< 3, 那么 -1 + 2____3 + 2, -1 - 4____3 - 4 ＜ ＜ 探究新知 + C － C ( 或 ________) 如果 _____, 那么 _______ 如果 a > b , 那么 a ± c >b ± c a>b a+c>b+c a-c ＞ b-c 探究新知 c c 不 等式的两边都 加上（ 或 减去 ） 同一个整式 ， 不等号的方向 不变 . 如 果 ____, 那么 _________. a >b a ± c>b ± c 探究新知 不等式基本性质 1 ： 解 ： 因 为 a > b ，两边都加上 3 ， 解 ： 因为 a < b ，两边都减去 5 ， 由 不等式基本性质 1 ，得 a +3 > b +3 ； 由不等式基本性质 1 ，得 a -5 < b -5 . （ 1 ）已知 a > b ，则 a +3 b +3 （ 2 ）已知 a < b ，则 a -5 b -5 > < 例 1 用 “ >” 或“ <” 填空： 素养考点 1 利用不等式的性质 1 解答问题 探究新知 1. 用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质 ： ( 1 ) 若 x ＋ 3 ＞ 6 ，则 x ______3 ， 根据 ______________ ； ( 2 ) 若 a － 2 ＜ 3 ，则 a ______5 ， 根据 ____________ ． > < 不等式性质 1 不等式性质 1 巩固练习 用不等号填空： （ 1 ） 5 3 ； 5×2 3×2 ； 5÷2 3÷2 . （ 2 ） 2 4 ； 2×3 4×3 ； 2 ÷ 4 4 ÷ 4 . > > > < < < 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？ 知识点 2 不等式的性质 2 探究新知 ×3 ÷ 3 ( 或 ) 如果 _________, 那么 _______ a>b 且 c> 0 ac > bc 探究新知 如 果 a > b ， c > 0 ，那么 ac > bc ， > . 探究新知 不 等式的两边都 乘（或除以） 同 一个 正数 ， 不 等号的方向 不变 . 不等式基本性质 2 例 2 设 a ＞ b ，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质 . （ 1 ） a ÷3____ b ÷3 （ 2 ） 0.1 a ____0.1 b ; （ 3 ） 2 a +3____2 b +3; （ 4 ） ( m 2 +1) a ____ ( m 2 +1) b ( m 为常数 ) ＞ ＞ ＞ ＞ 不等式的性质 2 不等式的性质 2 不等式的性质 1,2 不等式的性质 2 探究新知 素养考点 1 利用不等式的性质 2 解答问题 不等式 两边都 乘 （或 除以 ） 同一 正 数 不等号 方向 　 -8 ＜ 4 7 × 5___ 4 × 5 -8 ÷ 2___ 4 ÷ 2 不变 不变 7 ＞ 4 ... ... ... ＞ ＜ 巩固练习 2. 完成下表： 用不等号填空： （ 1 ） 5 3 ； 5×(-2) 3× （ -2 ） ； 5÷(-2) 3÷(-2) . （ 2 ） 2 4 ； 2×( － 3) 4×(-3 ) ； 2÷(-4) 4÷(-4) . > < < < > > 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个负数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？ 知识点 3 不等式的性质 3 探究新知 a > b - a - b a - a - b > b - a - b - b > - a ( - 1)× a < ( - 1)× b × ( - 1) 不等式两边同乘以 - 1 ，不等号方向改变 . 猜想： 不等式两边同乘以一个负数 ，不等号方向改变 . a > b × ( - 1) - a < - b × 3 - 3 a < - 3 b × c ( c >0) - a c < - b c × - c ( - c <0 ) 探究新知 如 果 a > b ， c < 0 ，那么 ac < bc ， < . 不等式基本性质 3 探究新知 不 等式的两边 都乘（或除以 ）同 一个 负数 ，不等号的方向 改变 . （ 1 ）如果 a ＞ b ，那么 ac ＞ bc . （ 2 ）如果 a ＞ b ，那么 ac 2 ＞ bc 2 . （ 3 ）如果 ac 2 ＞ bc 2 ， 那么 a ＞ b . 你能用不等式的基本性质判断下列说法的正误吗？ × × √ 因为 c≠ 0 ，所以 c 2 ＞ 0. 当 c ≤0 时，不成立 . 当 c =0 时，不成立 . 不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？ 探究新知 因为 a > b ，两边都乘 3 ， 因为 a > b ，两边都乘 -1 ， 解 ： 由不等式基本性质 2 ，得 3 a > 3 b. 由不等式基本性质 3 ，得 - a < - b. （ 1 ）已知 a > b ，则 3 a 3 b ； （ 2 ）已知 a > b ，则 - a - b . > < 例 3 用“ >” 或“ <” 填空： 素养考点 1 利用不等式的性质解答问题 探究新知 解 ： 因为 a < b ，两边都除以 -3 ， 由不等式基本性质 3 ，得 由不等式基本性质 1 ，得 （ 3 ）已知 a < b ，则 . > 因为 ，两边都加上 2 ， 探究新知 解 : 3. 若 a > b , 用“ >” 或“ <” 填空： a -5 b -5 （根据不等式的性质 ） 6 a 6 b （根据不等式的性质 ） 2 a +4 2 b +4 （根据不等式的性质 ） （ 根据不等式的性质 ） > 1 < 3 和 1 > > 2 2 和 1 巩固练习 等 式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗 ? 已知 x >5 , 那么 5< x 吗 ? 由 8< x , x < y , 可以得到 8< y 吗 ? 如： 8<10 ， 10<15 ， 8 15. x >5 5< x < 性质 4 （对称性） : 如果 a > b , 那么 b < a . 性质 5 （同向传递性） : 如果 a>b,b>c , 那么 a > c . 探究新知 例 4 利 用不等式的性质解下列不等式： ( 1 ) x - 7 ＞ 26 ； ( 2 ) 3 x <2 x +1 ； ( 3 ) ； 　　 ( 4 ) - 4 x ＞ 3 . 　 　　　 素养考点 2 利用不等式的性质解不等式 探究新知 分析 ： 解未知数为 x 的不等式，就是要使不等式逐步化为 x ＞ a 或 x ＜ a 的形式 ． 解 ： ( 1 ) 为了使不等式 x -7 ＞ 26 中不等号的 一边变为 x ，根据不等式的性 质 1 ， 不等式两边都 加 7 ， 不等号的方向 不变，得 x - 7+7 ＞ 26+7 ， x ＞ 33 . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：　 0 33 探究新知 （ 2 ） 为了使不等式 3 x <2 x +1 中不等号的一边变为 x ，根据 _____________ ，不等式两边都减去 ____ ，不等号的方向 _____ ，得 3 x -2 x ＜ 2 x +1-2 x ， x ＜ 1 . 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 0 1 不等式性质 1 2 x 不变 探究新知 （ 3 ）为了使不等式 中 不等号的一边变为 x ，根据不 等式 的性质 2 ，不等式的两边都除以　不等号的方向不变， 得 x ＞ 75 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示 : 0 75 探究新知 （ 4 ）为了使不等式 - 4 x ＞ 3 中的不等号的 一边变为 x ，根据 ______________ ，不等式两边都除以 ____ ，不等号的方 向 ______ ，得 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 0 不等式的性质 3 -4 改变 探究新知 4. 利用不等式的性质解下列不等式． ( 2 ) -2 x ＞ 3 ( 1 ) x -5 ＞ -1 ( 3 ) 7 x ＜ 6 x -6 巩固练习 解 ： x ＞ -1+5 x ＞ 4. 即 根据不等 式的性 质 1 ， 两边 都 加上 5 ， 得 （ 1 ） 根据不 等式的性 质 3 ， 两边 都 除以 - 2 ，得 （ 2 ） 7 x -6 x <-6 x <- 6. 即 根据不等式的性 质 1 ， 两边 都 减去 6 x ， 得 （ 3 ） 例 5 如 果不等式 ( a ＋1) x ＜ a ＋1 可变形为 x ＞1 ，那么 a 必须满足 ________ . 解析 ： 根据不等式的基本性质可判断， a ＋1 为负数，即 a ＋1＜0 ，可得 a ＜－1 . a ＜－1 素养考点 3 利用不等式的性质确定字母的值 探究新知 提示 ： 只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时， 不等号的方向才改变． 5. a 是 任意有理数，试比 较 5 a 与 3 a 的 大小 . 解 ： ∵ 5 ＞ 3 ∴ 5 a ＞ 3 a 这 种解法对吗？如果正确，说出它根据的是不等式的哪一条基本性质；如果不正确，请就明理由 . 答 ： 这种解法 不正确 ，因为字 母 a 的 取值范围我们并不知道 . 如果 a ＜ 0 ， 那么 5 a ＜ 3 a ；如 果 a ＝ 0 ，那么 5 a ＝ 3 a . 巩固练习 1. （2019•桂林）如果 a ＞ b ， c ＜0 ，那么下列不等式成立的是 （　　） A． a + c ＞ b B． a + c ＞ b ﹣ c C． ac ﹣1＞ bc ﹣1 D． a （ c ﹣1 ）＜ b （ c ﹣1） 巩固练习 连接中考 2. （2019•大连）不等式5 x +1≥3 x ﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． D B 1 . 若 x>y ，则 ax >ay , 那么一定有 （ ） A. a >0 B. a ≥ 0 C. a <0 D. a ≤ 0 2 . 与 x -2< 0 的解集相同的是 （ ） A . x> 1 B . x< 2 C . x< 1 D . x ≤ 2 A B 课堂检测 基础巩固题 3. 已知 a < b ，用“ >” 或“ <” 填空： （ 1 ） a +12 b +12 ； （ 2 ） b -10 a -10 . < > 解 ： x < 2 解 ： x < 6 4. 把下列不等式化为 x > a 或 x < a 的形式： （ 1 ） 5 ＞ 3 + x ； （ 2 ） 2 x ＜ x +6. 课堂检测 基础巩固题 5. 利用不等式的性质解下列不等式 , 并在数轴上表示． ( 2 ) -2 x > 3 ( 1 ) x -5 > -1 ( 3 ) 7 x < 6 x -6 x ＞ 4 x < - 6 4 0 0 0 - 6 课堂检测 基础巩固题 由不等式 3<6 ，李毅和浩轩分别得出的以下两个不等式对吗 ? ( 1 ) 李毅： 3- a <6- a ( 2 ) 浩轩： 3 a< 6 a 解 ： ( 1 ) 3<6 , 根据不等式的性质 1 得 , 3- a <6- a ( 2 ) 3<6 , 当 a> 0 时 , 根据不等式的性质 2 得 , 3 a< 6 a 当 a< 0 时 , 根据不等式的性质 3 得 , 3 a> 6 a . 能力提升题 课堂检测 已知不等式 2 a ＋ 3 b ＞ 3 a ＋ 2 b , 试比较 a 、 b 的大小 . 拓广探索题 课堂检测 解 : 根据不等式的基本性 质 1 , 不等式两边都减去 (2 a +2 b ) , 得 2 a ＋ 3 b － (2 a +2 b ) ＞ 3 a ＋ 2 b － (2 a +2 b ) 2 a ＋ 3 b － 2 a － 2 b ＞ 3 a ＋ 2 b － 2 a － 2 b b ＞ a 不等式的基本性质 不等式基本性质 2 不等式基本性质 3 → → 如果 那么 如果 那么 应用 不等式基本性质 1 如果 a>b ，那么 a+c>b+c ， a-c>b-c → 课堂小结 含“≤”“≥”的不等式 第二课时 返回 问题 前面学过哪几种形式的不等式？ 学过用符号“ <” “ >” 或“ ≠ ”连接的式子叫做 不等式 . 【 想 一 想 】 写出下列图片信息中的含义： 八达岭长城 11 月 06 天气： 小雪  -2 ～ 0℃ 导入新知 1. 进一步了解不等式的概念，认识几种 不等号的含义 . 2. 学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透 数形结合 的思想 . 素养目标 一 辆轿车在一条规定车速不低于 60km/h ，且不高于 100 km/h 的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程 s (km) 与行驶时间 x (h) 之间的关系呢？ 根据路程与速度、时间之间的关系可得： s ≥60 x ，且 s ≤100 x . 探究新知 知识 点 1 含 “≤”“≥” 的不等式 铁 路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过 160cm . 设行李的长、宽、高分别为 a cm, b cm, c cm , 请你列出行李的 长、宽、高满足的关系式 . 根 据题意可得： a+b+c≤ 160 . 探究新知 常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号 关 键 词 语 第一类：明确表明数量 的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大 于 ② 比 … 大 ③超 过 ①小 于 ②比 … 小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正 数 负 数 非 负 数 非 正 数 不 等 号 ＜ ＞ ≥ ≤ ＞ 0 ＜ 0 ≥ 0 ≤ 0 我们把用不等号（ >,<,≥,≤,≠ ）连接而成的式子叫作 不等式 . 其中 “≥” 读作 大于等于 ， “≤” 读作 小于等于 . 探究新知 例 1 某长方体形状的容器长 5cm , 宽 3cm ，高 10cm , 容器内原有水的高度为 3cm , 现准备向它继续注水 . 用 V ( 单位： cm 3 ) 表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围 . 探究新知 素养考点 1 利用不等式解答实际问题 解 ： 新注入水的 体积 V 与原有水 的体积的和不能超过容器的容积，即 V + 3×5×3 ≤ 3 × 5 × 10 解得 V ≤105 又由于新注入水的体积不能是负数，因此， V 的取值范围是 V ≥0 并且 V ≤105 . 在数轴上表示 V 的取值范围如图 在表示 0 和 105 的点上画实心圆点，表示取值范围 包括 这两个数 0 105 探究新知 探究新知 归纳总结 利用不等式的性质解不等式的注意事项 2. 要注意 区分 “大于” “不大于”“小于”“不小于” 等 数学语言 的使用，并把这些表示不等关系的语言用数 学 符号准确地表达出来 . 3. 在数轴上表示解集应注意的问题： 方向、空心或实心 . 1. 在 运用性质 3 时 , 要特别注意：不等式两边都乘以或除 以同 一个负数时，要 改变不等号的方向 . 1. 某种商品的进价为 800 元，出售标价为 1 200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于 5% ，则最多可打（ ） A.6 折 B.7 折 C.8 折 D.9 折 解析 : 设 打 x 折，由题意得 1 200×10 x %-800 ≥800×5 % ， 解得 x ≥ 7 ，即最多可打 7 折 . 故 选 B. 巩固练习 B （ 2019•贵阳 模拟 ）关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为___________． 巩固练习 连接中考 x ≤2 　 1. 如图所示,把不等式 x ≥-1的解集在数轴上表示出来,正确的是 (　　) 　 A .　 　　　　　　 B .　　　　　 　 C .　　 　　　　　D. 课堂检测 基础巩固题 B 2. 下列数值中不是不等式5 x ≥2 x +9的解的是 (　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 D 3 . 用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴 上表示解集 . （ 1 ） x 的 3 倍大于或等于 1 ； （ 2 ） x 与 3 的和不小于 6 ； （ 3 ） y 与 1 的差不大于 0 ； 分 析 ： 本题中属于第一类表示数量不等关系的关键词语 . 即大于或等于、不小于都用 “ ≥ ” 表示；不大于、小于或等于都用 “ ≤ ” 表示 . （ 4 ） y 的 小于或等于 -2 . 课堂检测 基础巩固题 解 ： ( 1 ) 3 x ≥ 1 , 解集 是 ; ( 2 ) x +3 ≥ 6 , 解集是 x ≥ 3 ; ( 3 ) y -1 ≤ 0 , 解集是 y ≤ 1 ; 0 3 0 1 0 -8 0 课堂检测 基础巩固题 ( 4 ) , 解集是 y ≤ -8 . 用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是 0.8 cm/s ，人跑开的速度是每秒 4 m ，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到 100 m 以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？ 解 ： 设导火索的长度是 x cm ．根据题意，得 × 4>100 ． 答 ： 导火索的长度应大于 20 cm ． 解得： x >20 能力提升题 课堂检测 小 希就读的学校上午第一节课上课时间是 8 点开始 . 小希家距学校有 2 千米 , 而她的步行速度为每小时 10 千米 . 那么 , 小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？ 解 ： 设小希上午 x 点从家里出发才能不迟到，根据题意得 ： 答 ： 小希上午 7:48 前 时 从家里出发才能不迟到 . 解得 拓广探索题 课堂检测 路上的时 间 2÷10= 一个概念 ： 不等式 两种思想： 数学建模、类比等式 三个注意： 一要注意 “ 负数 ” 、 “ 非负数 ” 、 “ 不大于 ” 、 “ 不小于 ” 等关键词语的含义； 二要注意仔细审题，正确列出不等式； 三要注意观察生活，让数学服务生活。 课堂小结 9.2 一元一次不等式 第一课时 第二课时 人教版 数学 七年级 下册 一元一次不等式的解法 第一课时 返回 有 一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子 . 鲁班在这里就运用了“ 类比 ”的思想方法，“ 类比 ”也是数学学习中常用的一种重要方法 . 导入新知 1. 经历 一元一次不等式 概念的形成过程 . 2. 会 用不等式的性质 熟练地 解 一元一次不等 式 . 素养目标 3. 通过在数轴上表示一元一次不等式的 解集 ，体会 数形结合 的思想 . 观 察下面的不等式，它们有哪些共同特征？ 共同特征： 1. 只含有 1 个未知数； x -7>26, 3 x <2 x +1, - 4 x >3. 2. 未知数的次数是 1 ； 3. 不等式 . 探究新知 知识点 1 一元一次不等式的概念 这 些不等式叫做什么呢？ 判别条件： ( 1 ) 不等号两边都是整式； ( 2 ) 只含一个未知数； ( 3 ) 未知数的次数是 1 ； ( 4 ) 未知数系数不为 0. 含 有 一个 未知数，未知数的 次数 都是 1 的 不等式 叫做一元一次不等式． 一元一次不等式定义： 探究新知 一元一次 方程 和一元一次 不等式 的联系与区 别 : 一元一次方程 一元一次不等式 未知数个数 未知数次数 式子形式 未知数系数 1 个 1 个 1 次 1 次 等式 不等式 不为 0 不为 0 探究新知 A 素养考点 1 一元一次不等式的识别 例 1 下 列式子中是一元一次不等式的有（ ）个 （ 1 ） x 2 +1>2 x ； ( 2 ) （ 3 ） 4 y >6 x ； ( 4 ) 7 x ≥6 A.1 B.2 C.3 D.4 探究新知 探究新知 归纳总结 判断一个不等式是否为 一元一次不等式 的步骤： 先 对所给不等式进行 化简整理 ，再看是否 同时 满足： ( 1 ) 不等式的左、右两边都是 整式 ； ( 2 ) 不等式中只含有 一个 未知数； ( 3 ) 未知数的 次数是 1 且系数不为 0 . 1. 下列不等式中，哪些是一元一次不等式 ? ( 1 ) 3 x +2> x –1 ( 2 ) 5 x +3<0 ( 3 ) ( 4 ) x ( x –1)<2 x ✓ ✓ ✕ ✕ 左边不是整式 化简后是 x 2 - x <2 x 巩固练习 例 2 已 知 是关于 x 的一元一次不等式， 则 a 的值是________． 解析 ： 由 是关于 x 的一元一次不等 式 得 2 a －1＝1 ，计算即 可求出 a 的值等于1. 1 素养考点 2 利用一元一次不等式的概念求字母的值 探究新知 B 2. 若 是 一元一次不等式，则 m 的值 为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 巩固练习 解不等式： 4 x -1<5 x +15 解方程： 4 x -1=5 x +15 解 ： 移项，得 4 x -5 x =15+1 合并同类项，得 - x =16 系数 化为 1 ，得 x =-16 解 ： 移项，得 4 x -5 x <15+1 合并同类项，得 - x <16 系数化 为 1 ，得 x >-16 知识点 2 一元一次不等式的解法 探究新知 解 一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 探究新知 它们的依据不相同 . 解一元一次方程的依据是 等式的性质 ，解一元一次不等式的依据是 不等式的性质 . 它们的步骤基本相同，都是 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1. 这些步骤中，要特别注意的是： 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向 . 这是与解一元一次方程不同的地方 . 例 3 解下列不等式，并在数轴上表示解集 ： （ 1 ） 2 （ 1+ x ）＜ 3 解 ： 去括号，得： . 移项，得： . 合并同类项，得： . 系数化为 1 ，得： . 这 个不等式的解集在数轴上的表示： 2+2 x <3 2 x <3-2 2 x <1 x< 素养考点 1 一元一次不等式的解法 探究新知 0 （ 2 ） ≥ 解 ： 去分母，得： . 去括号，得： . 移项，得： . 合并同类项，得： . 系数化为 1 ，得： . 这个不等式的解集在数轴上的表示： 6+3 x ≥ 4 x - 2 3 x -4 x ≥ -2 - 6 - x ≥ - 8 x ≤ 8 3(2+ x )≥2(2 x -1) 探究新知 8 0 注意：当不等式的两边都乘或除以同一 个 负数 时，不 等号的 方向 改变 . 探究新知 归纳总结 解 一元一次方程， 要根 据等式的性质，将方程逐步化为 的形式； 而解 一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不 等式 逐步化为 ( 或 ) 的形式 . x =a xa （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ＜ （ 4 ） ≥ 3. 解下列不等式，并在数轴上表示解集： 巩固练习 解 : 移 项，得： 5 x -4 x <-1-15 合并同类项，得： x <-16 这个不等式的解集在数轴上的表示 ： 巩固练习 ( 1 ) -16 0 ( 2 ) 解 ： 去 括号，得： 2 x +10<3 x -15 移 项， 得： 2 x -3 x <-15-10 合 并同类项，得 : - x < -25 系 数化为 1 ， 得 ： x > 25 这个不等式的解集在数轴上的表示： 巩固练习 25 0 解 ： 去分母，得 : 3( x -1 )<7(2 x +5) 去 括号，得： 3 x -3<14 x +35 移 项， 得： 3 x -14 x <35+3 合并同类项，得： -11 x < 38 系数化为 1 ，得： x > 这 个不等式的解集在数轴上的表示： 巩固练习 ( 3 ) ＜ 0 解 ： 去分母，得 : 4( x +1) ≥ 6(2 x -5)+24 去 括号，得： 4 x +4 ≥ 12 x -30+24 移 项，得： 4 x -12 x ≥ -30+24-4 合 并同类项，得： -8 x ≥ -10 系 数化为 1 ，得 ： x ≤ 这 个不等式的解集在数轴上的表示： 巩固练习 ( 4 ) ≥ 0 例 4 求 不等式 3(1- x ) ≤2( x +9) 的负整数解 . 解 ： 解不等式 3(1- x ) ≤2( x +9) ，得 x ≥-3 因为 x 为负整 数， 所以 x =-3,-2,-1 . 素养考点 2 求一元一次不等式的特殊解 探究新知 解 ： 由方程的解的定义，把 x= 3 代入 ax +12=0 中， 得 a= － 4 . 把 a= － 4 代入 （ a+ 2 ） x ＞－ 6 中， 得 － 2 x ＞－ 6 ， 解得 x ＜ 3 . 在数轴上表示如图： 其中 正整数解有 1 和 2 . 4. 已知方程 ax +12=0 的解是 x= 3 ，求关于 x 不等式 （ a+ 2 ） x ＞－ 6 的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？ 巩固练习 - 1 0 1 2 3 4 5 6 3 0 例 5 已 知不等式 x+ 8 ＞ 4 x + m ( m 是常数)的解集是 x ＜3，求 m . 解 ： 因为 x+ 8 ＞ 4 x + m ， 所以 x- 4 x ＞ m- 8 ， 即 -3 x ＞ m- 8 ， 因为其解集为 x ＜ 3 ， 所以 . 解得 m = － 1 . 探究新知 素养考点 3 利用一元一次不等式的解集求字母的值 提示 ： 已知解集求字 母的 值，通常是先解含有字母的不 等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值． 5. 关于 x 的不等式 3 x- 2 a≤- 2 的解集如图所示 , 求 a 的值 . 解 ： 移项，得 3 x ≤2 a -2 -1 0 1 由图可知： x ≤-1 巩固练习 系数化为 1 ，得： 所以 解得 （2019 •宿迁）不等式 x ﹣1≤2的非负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固练习 连接中考 D 1. 下列式子中，属于一元一次不等式的是（ ） 4 ＞ 3 B. ＜ 2 C. 3 x -2 ＜ y +7 D. 2 x -3 ＞ 1 D 课堂检测 基础巩固题 2 . 不等式 2 x ＋ 1 ≤ 3 的解集是 ( ) A. x ≤4 B. x ≥4 C. x ≤1 D. x ≥1 C D 3 .不等式 3 x ＋2＜2 x ＋3 的解集在数轴上表示的是( ) 课堂检测 基础巩固题 4. 解下列一元一次不等式 ： （ 1 ） 2-5 x < 8-6 x ； （ 2 ） 解 ： （ 1 ） 原不等式为 2-5 x < 8-6 x 移项，得 -5 x+ 6 x < 8-2 ， 课堂检测 得 x < 6 . 合并同类项， 基础巩固题 解 ： 去括号， 得 2 x -10+6 ≤9 x 去分母，得 2( x- 5 ) + 1×6≤9 x 移项， 得 2 x -9 x ≤10-6 （ 2 ） 原不等式为 合并同类项， 得 - 7 x ≤4 系数化为 1 ， 得 x ≥ . 课堂检测 基础巩固题 5. 解不等式 12-6 x ≥ 2(1-2 x ) ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解 ： 去括号，得 12-6 x ≥ 2-4 x 移项， 得 - 6 x+ 4 x ≥ 2-12 合并同类项，得 -2 x ≥ -10 两边都除以 -2 ，得 x ≤ 5 原不等式的解集在数轴上表示如图所 示： - 1 0 1 2 3 4 5 6 课堂检测 基础巩固题 a ≥1 的最小正整数解是 m , b ≤8 的最大正整数解是 n , 求关于 x 的不等式 ( m+n ) x ＞ 18 的解集． 所以， m+n= 9 解 ： 因为 a ≥1 的最小正整数解是 m , 所以 m= 1 . 因为 b ≤8 的最大正整数解是 n , 所以 n= 8 . 把 m+n= 9 代入不等式 ( m+n ) x ＞ 18 中， 得 9 x ＞ 18 ， 解得 x ＞ 2 . 能力提升题 课堂检测 解得 x ≤ 6 . x ≤6 在数轴上表示如图所示 . - 1 0 1 2 3 4 5 6 根据题意， 得 , 所以，当 x ≤6 时，代 数 式 的 值大于或等于 0. 由图可知，满足条件的正整数有 1,2,3,4,5,6 . 当 x 取什么值时，代数式 的 值大于或等于 0 ？并求出所有满足条件的正整数 . 拓广探索题 课堂检测 解 : 解一元一次不等式的一般步骤和根据如下： 步骤 根据 1 2 3 4 5 去分母 去括号 移项 合并同类项，得 ax > b ，或 ax < b ( a ≠0) 不等式的基本性质 3 单项式乘以多项式法则 合并同类项法则 不等式的基本性质 3 不等式的基本性质 1 课堂小结 系数化为 1 一元一次不等式的应用 第二课时 返回 甲 我店累计购买 50 元商品后，再购买的商品按原价的 95% 收费 乙 100 50 导入新知 我店累计购买 100 元商品后，再购买的商品按原价的 90% 收费 甲商店购物款达多少元后可以优惠？ 乙商店购物款达多少元后可以优惠？ 甲 我店累计购买 50 元商品后，再购买的商品按原价的 95% 收费 乙 导入新知 我店累计购买 100 元商品后，再购买的商品按原价的 90% 收费 如果你要分别购买 40 元、 80 元、 140 元、 160 元商品，应该去哪家商店更优惠？ 2. 培养将实际问题向 数学模型 转化的能力 . 1. 掌握用一元一次不等式解决 实际问题 的步骤 . 素养目标 3. 初步认识一元一次不等式的应用价值，发展 分析问题、解决问题 的能力 . 小华打算在星期天与同学去登山，计划上午 7 点出发，到达山顶后休息 2h ，下午 4 点以前必须回到出发点 . 如果他们去时的平均速度是 3km/h ，回来时的平均速度是 4km/h ，他们最远能登上哪座山顶（图中数字表示出发点到山顶的路程）？ 探究新知 知识点 1 一元一次不等式的应用 前面问题中涉及的数量关系是： 去时所花时间 + 休息时间 + 回来所花时间 ≤ 总时间 . 探究新知 解 ： 设从出发点到山顶的距离为 x km , 则他们去时所花时间为 h , 回来所花时间为 h . 他们在山顶休息了 2 h ，又上 午 7 点 到下午 4 点之间总共相隔 9 h ，即所用时间应小于或等于 9 h . 所以 有 . 解得 x ≤12 . 因此要满足下午 4 点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上 D 山顶 . 探究新知 探究新知 归纳总结 列 不等式解应用题的基本步骤： ( 1 ) 审 ：认真 审题 ，分清已知量、未知量； ( 2 ) 找 ：要抓住题中的关键字找出题中的 不等 关系； ( 3 ) 设 ：设出适当的未知数； ( 4 ) 列 ：根据题中的不等关系列出不等式； ( 5 ) 解 ：解出所列不等式的解集； ( 6 ) 答 ：检验是否符合题意，写出答案． 例 1 去 年广州空气质量良好（二级以上）的天数与全年 天数（ 365 天）之比达到 60% ，如果到明年（ 365 天）这样 的比值要超过 70% ，那么明年空气质量良好的天数要比 去年至少增加多少？ 明年这样的比值要超 70% 素养考点 1 一元一次不等式的实际应用 探究新知 分析 ： 题目蕴含的不等关系为 ， 转化为不等式，即 _____________________ . 解 ： 设明年比去年空气质量良好的天数增加了 . 去年有 天空气质量良好，明年有 , 天空气质量良好，并且 ＞ ， 去分母，得 + ＞ ， 移项，合并同类项，得 ＞ . 由 x 应 为正整数，得 ≥ . 答 ： 明年要比去年空气质量良好的天数至少增加 ， 才能使这一年空气质量良好的天数超过全年 天数的 70% . x 天 365×60% x +365×60% 70% 219 255.5 36.5 37 37 天 探究新知 1. 在一次知识竞赛中 , 有 10 道抢答题 , 答对一题得 10 分 , 答错一题扣 5 分 , 不答得 0 分 , 小玲有一道题没有答 , 成绩仍然不低于 60 分 , 她至少答对几道题？ 解 : 设小玲答对的题数是 x ，则答错的题数是 9 － x , 根 据题意，得 10 x -5(9- x )≥60 解这个不等式，得 x ≥7 答 ： 她至少答对 7 道题 . 巩固练习 例 2 小 颖准备用 21 元钱买笔和笔记本 . 已知每支笔 3 元，每个笔记本 2.2 元，她买了 2 个笔记本 . 请你帮她算一算，她还可能买几支笔？ 解 : 设她还可能买 n 支笔，根据题意得 　　 3 n ＋ 2.2×2≤21 得， n≤ 因 为在这个问题中 n 只能取正整数，所以小颖还可能买 1 支 、 2 支、 3 支、 4 支或 5 支笔 . 素养考点 2 一元一次不等式解答货币问题 探究新知 2 . 亮 亮准备用节省的零花钱买一台复读机，他已存有 45 元，计划从现在起以后每月节省 30 元，直到他至少有 300 元．设 x 个月后他至少有 300 元，则符合题意的不等式是 ( ) A.30 x -45≥300 B.30 x +45≥300 C.30 x -45 ≤300 D.30 x +45≤ 300 巩固练习 B 例 3 甲 、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90 ％ 收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95 ％ 收费．顾客到哪家商场购物花费少？ 分 析 ： 如果购物款累计达到 x 元，你能用含 x 的式子分别表示顾客在两家商场花费的钱数吗？ 素养考点 3 一元一次不等式解答费用问题 探究新知 购物款 甲商场 乙商场 在甲商场购物超过 100 元后享受优惠，在乙商场购物超过 50 元后享受优惠 . 因此，我们需要分三种情况讨论： （ 1 ）累计购物不超过 50 元； （ 2 ）累计购物超过 50 而不超过 100 元； （ 3 ）累计购物超过 100 元 . 当购物累 计 不超 过 50 元 时 ，甲乙消费一样 . 探究新知 解 : ①若 在甲超市花费少，则 100+0.9( x -100)<50+0.95( x -50) 得 x >150 ． ② 若 在乙超市花费少，则 100+0.9( x -100)>50+0.95( x -50) 得 x <150 ． ③ 若 在甲乙超市花费一样，则 100+0.9( x -100)=50+0.95( x -50) 得 x =150 ． 探究新知 答 ： 购物不超过 50 元和刚好是 150 元时，在两家商场购物没有区别；超过 50 元而不到 150 元时在乙商场购物花费少；超过 150 元后，在甲商场购物花费少． （ 3 ）累计购物超过 100 元时 解 : 设小明家每 月用水 x 立方米 ． ∵ 5 × 1.8 ＝ 9 ＜ 15 ， ∴小明家每月用水超过 5 立方米， 则超出 ( x -5 ) 立方米，按每立方米 2 元收费，列出不等式为： 5 × 1.8 ＋( x -5 )× 2 ≥ 15 ， 答： 小明家每月用水量至少是 8 立方米． 3. 小明家每月水费都不少于 15 元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过 5 立方米，则每立方米收费 1.8 元；若每户每月用水超过 5 立方米，则超出部分每立方米收费2元， 小明家每月用水量至少是多少？ 巩固练习 解不等式得： x ≥ 8 . （2019 •重庆）某次知识竞赛共有 20 题，答对一题得 10 分，答错或不答扣 5 分，小华得分要超过 120 分，他至少要答对的题的个数为（　　） A．13 B．14 C . 15 D．16 巩固练习 连接中考 C 1 . 某商品原价 500 元，出售时标价为 900 元，要保持利润不低于 26% ，则最低可 打 ( ) A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 2 . 某次知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分，小英得分不低于 90 分 . 设她答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式 为 ( ) A. 10 x － 5(20 － x )≥90 B. 10 x － 5(20 － x ) ＞ 90 C. 10 x － (20 － x )≥90 D. 10 x － (20 － x ) ＞ 90 B A 课堂检测 基础巩固题 3. 有 3 人携带会议材料乘坐电梯，这 3 人的体重共 210kg ，每捆材料重 20kg ，电梯最大负荷 1 050kg ，则该电梯在此 3 人乘坐的情况下最多能搭载 捆材料 . 基础巩固题 42 课堂检测 4. 我班几个同学合影留念，每人交 0.70 元 . 已知一张彩色底片 0.68 元，扩印一张相片 0.50 元，每人分一张，在将收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有几人？ 基础巩固题 课堂检测 设这张相片上的同学有 x 人，根据题意，得 0.70 x ≥0.68+0.50 x 解得 x ≥3.4 因为 x 为正整数， 所以 x =4 . 答 ：这张相片上的同学最少有 4 人 . 解 : 某 商店 5 月 1 日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用 168 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的 8 折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的 9.5 折优惠 . 已知小敏 5 月 1 日前不是该商店的会员 . （ 1 ）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为 120 元时，实际应支付多少元 ？ （ 2 ）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？ 能力提升题 课堂检测 解 ： （ 1 ） 120×0.95=114 （元） . 实际应支付 114 元 . （ 2 ）设所购买的商品的价格为 x 元时，采用方案一更合算，根据题意，得 0.95 x ＞ 0.8 x +168 ， 解这个不等式，得 x ＞ 1120 . 所以小敏所购买商品的价格超过 1120 元时，采用方案一更合算 . 课堂检测 能力提升题 某 汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7 万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元 ． ( 1 ) 符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由； 解 ： 设轿车要购买 x 辆 , 那么面包车要购买 (10 － x ) 辆， ∴ 7 x ＋ 4(10 － x )≤55 ，解得 x ≤5 ， 又 x ≥3 ，则 x ＝ 3 ， 4 ， 5 ， ∴有三种方案：①轿车 3 辆，面包车 7 辆； ②轿车 4 辆，面包车 6 辆； ③轿车 5 辆，面包车 5 辆 . 　 拓广探索题 课堂检测 ( 2 ) 如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金收入不低于 1500 元，那么应选择以上哪种购买方案？ 　 解 ： 方案一的日租金为 3×200 ＋ 7×110 ＝ 1370 ； 方案二的日租金为： 4×200 ＋ 6×110 ＝ 1460 ； 方案三的日租金为： 5×200 ＋ 5×110 ＝ 1550 ； 为 保证日租金不低于 1500 ，应选 方案 三 . 拓广探索题 课堂检测 实际问题 设 未知数 找出 不等关系 列 不等式 解 不等式 结合实际确定 答案 应用一元一次不等式解实际问题的步骤： 课堂小结 9.3 一元一次不等式组 人教版 数学 七年级 下册 嗨 , 我听管理员说 , 这头大象的体重 不足 5 吨 呢 ! 同学们 , 你能根据上图对话片断估计出这头大象的体重范围吗 ? 请说说你的理由 ! 看 , 这头大象好大呀 , 体重肯定 不少于 3 吨 ! 若 设大象的体重为 x 吨 , 请用不等式的知识分别表示上面两位同学谈话的内容 : x ≥3 ① x <5 ② 导入新知 1. 通过具体操作，在解一元一次不等式组的过程中形成正确的 解不等 式组 的 思路与方法 . 2. 掌握将一元一次不等式组的 解集在数轴 上正确的表示 . 素养目标 3. 会利用一元一次不等式组 解决实际问题 . 用 每分钟抽 30t 水的抽水机来抽污水管道积存的污水，估计积存的污水超过 1200t 而不足 1500t ，那么将污水抽完所用的时间的范围是什么？ 解 ： 设用 x min 将污水抽完，则 x 满足 类似于方程组的概念，你能说出一元一次不等式组的概念吗？ 30 x ＞ 1200 ① 30 x ＜ 1500 ② 探究新知 知识点 1 一元一次不等式组的有关概念 注意： ( 1 ) 每个不等式必须为 一元一次不等式； ( 2 ) 不等式必须是只含有 同一个未知数； ( 3 ) 不等式的数量 是两个或者多 个 . 类似于方程组，把 两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式 合起来，就组成一个 一元一次不等式 组 . 探究新知 例 1 下 列各式中，哪些是一元一次不等式组？ √ × √ × × × 探究新知 素养考点 1 一元一次不等式组的识别 （ 1 ） （ 4 ） （ 2 ） （ 5 ） （ 3 ） （ 6 ） 1. 判断下列不等式组是否为一元一次不等式组： × × √ √ 巩固练习 （ 1 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 2 ） 你能尝试找出符合一元一次不等式组 的未知数的值吗？与同伴交流 . x < 10+3 ， x >10-3 ， ｛ 知识点 2 一元一次不等式组解集的有关概念 探究新知 0 13 x < 10+3 的解集为： x >10-3 的解集为 ： 0 13 7 x < 10+3 ， x >10-3 ｛ 所以不等式组 的解集为 ： 0 13 7 记作 7< x <13 探究新知 类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的 公共部分 ，就是不等式组中的未知数的取值范围 . 通常我们运用数轴求不等式组的公共部分 . 如图 , 可以 用数轴表示出不等式 组 的 公共部分 . x > - 3 ② x ≤ 3 ① 0 - 3 3 公共部分 所以这个不等式组的 x 的取值范围是 - 3 < x ≤ 3 . 数轴表示不等式组的公共部分 探究新知 解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有几种不同情况 ? a b a b a b a b 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 x>b x 2 素养考点 1 找出一元一次不等式组的解集 探究新知 例 2 求 出下列不等式组的解集 解集 2. 填表 ： 不等式组 不等式组的解集 x ﹥ -3 -5 ﹤ x≤- 3 x ＜ -3 无解 巩固练习 下面我们来解不等式组 解不等 式 ① ，得 解不等式 ② ，得 ① ② x ＞ 105. x ＜ 109. 知识点 3 一元一次不等式组的解法 探究新知 的 解集 就是 x ＞ 105 与 x ＜ 109 的 公共部分 . 不等式组 我们在同一数轴上把 x ＞ 105 与 x <109 表示出来 ， 0 105 109 由图容易发现它们的公共部 分是 105＜ x ＜109 ， 这是不等式组 的解集 . 探究新知 　 0 　　 2 　 3 　 解 : 由 不等式① , 移项得， 2 x-x> 1 + 1 ，解得 x> 2 由 不等式 ② , 移项得， x- 4 x<- 1-8 ，合并得 - 3 x< -9 系 数化为 1, 得 x> 3 把不等式① 和 ② 的解集在数轴上表示出来 : ② ① 所以不等式组的解集 : 素养考点 1 解简单的一元一次不等式组 探究新知 例 3 解 下列不等式组 解不等式 ② ，得 x ＜－ 3. 3. 解不等式组： 解 : 解不等式 ①，得 x ≤ 3. ① ② 把不等式 ① 、 ② 的解集在数轴上表示出来，如图： 0 -3 3 由图可知，不等式① 、 ②的解集的公共部分就是 x ＜ -3 ，所以这个不等式组的解集是 x ＜－ 3 . 巩固练习 例 4 解不等式组： ① ② 解 : 解不等式 ①，得 x ＞－ 2. 解不等式 ② ，得 x ＞ 6. 把不等式 ① 、 ② 的解集在数轴上表示出来，如图： 0 － 2 6 由图可知，不等式① 、 ②的解集的公共部分就是 x ＞ 6 ，所以这个不等式组的解集是 x ＞ 6 . 素养考点 2 解有分母的一元一次不等式组 探究新知 0 8 ② ① 解 : 解不等式① , 得， 解不等式 ② , 得， 把不等式① 和 ② 的解集在数轴上表示出来 : 这两个不等式的解集没有公共部分，所以不等式组 无解 . 巩固练习 4. 解不等式组 例 5 x 取哪些整数值时，不等式 5 x +2 ＞ 3( x -1) 与 ≤ 都成立？ 素养考点 3 求一元一次不等式组的特殊解 探究新知 分析 ： 可以把两个不等式组成一个不等式组，解出其公共部分的整数，就是 x 可取的整数值 . 在数轴上表示不等式组的解集： 0 解 ： 联立 解不等式组得 : < x ≤4 4 ∴当 x 取 - 2 , -1,0,1,2,3,4 时 不等式 5 x +2 ＞ 3( x -1) 与 ≤ 都成立 探究新知 在数轴上表示不等式组的解集： 解 ： 联立 0 ∴当 x 取 4 或 5 时 , 5. x 取哪些整数值时，不等式 2 x -1 ＜ 10 与 x +3 ＞ 6 都成立？ 解不等式组得 : 3< x < 不等式 2 x -1 ＜ 10 与 x +3 ＞ 6 都成 立 . 巩固练习 0 3 个小组计划在 10 天内生产 500 件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产 1 件产品，就能提前完成任务 . 每个小组原先每天生产多少件产品？ 知识点 4 一元一次不等式组的应用 探究新知 解 ： 设每个小组原先每天生产 x 件产品，由题意，得 3×10 x <500 ， 3×10( x +1)>500 解不等式组，得 根据题意， x 的值应是整数，所以 x =16 . 答 ： 每个小组原先每天生产 16 件产品 . 探究新知 例 6 把 一篮苹果分给几个学生，若每人分 4 个，则剩余 3 个；若每人分 6 个，则最后一个学生最多分 2 个，求学生人数和苹果分别是多少？ 解 ： 设学生有 x 个 , 则苹果有 (4 x +3) 个 , 根据题意 , 得 (4 x +3) - 6( x - 1)>0 ， (4 x +3) - 6( x - 1) ≤ 2. 解不等式组，得 3.5< x <4.5 根据题 意 x 的值应是整数，所以 x =4 ，则 4 x +3=19 . 答 ： 学生有 4 人，苹果有 19 个 . 探究新知 素养考点 1 利用一元一次不等式组解答实际问题 探究新知 归纳总结 列一元一次不等式组 解 答 实 际问题的一般步骤： （ 1 ） 审 题； （ 2 ） 设 未知数，找不等量关系； （ 3 ）根据不等关系 列 不等式组； （ 4 ） 解 不等式组； （ 5 ）检验并作 答 . 因为 x 只能取整数，所以 x =6 ，即有 6 辆汽车运这批货物 . 6. 用若干辆载重量为 8 t 的汽车运一批货物，若每辆汽车只装 4 t ，则剩下 20 t 货物；若每辆汽车装满 8 t ，则最后一辆汽车不满也不空 . 请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？ 解 ： 设有 x 辆汽车，则这批货物共有 （ 4 x+ 20 ） t . 依 题 意 得 解不等式组，得 5 ＜ x ＜ 7. 巩固练习 （ 2019•云南）若关于 x 的不等式组 的解集是 x＞a ，则 a 的取值范围是（　　） A ．a ＜2 B ．a ≤ 2 C ．a ＞ 2 D． a ≥ 2 巩固练习 连接中考 D 1. 不等式组的解集为（　　） C A. x ＞ -1 B. x ＜ 3 C.-1 ＜ x ＜ 3 D. 无解 课堂检测 基础巩固题 2. 不等式组 的解集在数轴上可表示为 ( ) B 解不等式 ② ，得 x ＜ 6 . 3. 解不等式组： 解 : 解不等式 ①，得 ① ② 把不等式 ① 、 ② 的解集在数轴上表示出来，如图： 3 0 6 因此，原不等式组的解集为 课堂检测 基础巩固题 解不等式 ② ，得 x > 4 . 4. 解不等式组： 解 : 解不等式 ①，得 x > 2. ① ② 把不等式 ① 、 ② 的解集在数轴上表示出来，如图： 2 0 4 由图可知，不等式① 、 ②的解集的公共部分就是 x > 4 ，所以这个不等式组的解集是 x > 4 . 课堂检测 基础巩固题 5. x 取哪些整数值时，不等 式 2 -x ≥ 0 与 都 成立？ 解 ： 由题意可得不等式组 解 不等式 ① ，得 x ≤2 ， 解 不等式 ② ，得 x ＞－ 3. 故此不等式组的解集为 － 3 ＜ x ≤2 ， x 可取的整数 值为 － 2 ，－ 1 ， 0 ， 1 ， 2 . ①② 课堂检测 基础巩固题 某 校今年冬季烧煤取暖时间为 4 个月 . 如果每月比计划多烧 5 吨煤 , 那么取暖用煤量将超过 100 吨 ; 如果每月比计划少烧 5 吨煤 , 那么取暖用煤总量不足 68 吨 . 若设该校计划每月烧煤 x t , 求 x 的取值范围 . 解不等式 ② ，得 x ＜ 22 . 解不等式 ①，得 x > 20. 因此，原不等式组的解集为 20 ＜ x ＜ 22 . 能力提升题 课堂检测 解 ： 根据题意 , 得 4( x +5)>100 , ① 4( x -5)<68 . ② 解 ： ① ×2+② 得： 5 x =10 m -5 ，得： x =2 m -1. ①-②×2 得： 5 y =5 m +40 ，得： y = m +8 . 又∵ x ， y 的值都是正数，且 x < y .∴ 解 得 < m <9 . ∴ m 的取值范围为 ＜ m ＜ 9 . 2 m -1>0 m +8>0 2 m -1< m +8 已 知方程组 的解 x ， y 的值都 是 正 数，且 x20% ， 所 以 2008 年 我国属于可能发生“水危机”的行列 ． 拓广探索题 课堂检测 亿 m 3 ， 解 : 　　 通过本节课的学习，你对当前水资源及节约水资源带来的价值有什么新的认识 ? 课堂小结