导数模拟及高考题带答案

导数模拟及高考题带答案

导数模拟及高考题 一．选择题（共23小题）‎ ‎1．（2015•重庆一模）函数f（x）=x3+bx2+cx+d，图象如图，则函数的单调递减区间为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[，+∞）‎ B．‎ ‎[3，+∞）‎ C．‎ ‎[﹣2，3]‎ D．‎ ‎（﹣∞，﹣2）‎ ‎　2．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎3．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　4．（2014•西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎　5．（2014•广西）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2e B．‎ e C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎1‎ ‎　6．（2014•陕西）定积分（2x+ex）dx的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ e+2‎ B．‎ e+1‎ C．‎ e D．‎ e﹣1‎ ‎7．（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ ‎　8．（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ c≤3‎ B．‎ ‎3＜c≤6‎ C．‎ ‎6＜c≤9‎ D．‎ c＞9‎ ‎9．（2014•包头一模）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2或2‎ B．‎ ‎﹣9或3‎ C．‎ ‎﹣1或1‎ D．‎ ‎﹣3或1‎ ‎10．（2013•聊城一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎﹣2‎ ‎　11．（2013•北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ ‎12．（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∀x∈R，f（x）≤f（x0）‎ B．‎ ‎﹣x0是f（﹣x）的极小值点 ‎　‎ C．‎ ‎﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．‎ ‎﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点 ‎13．（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 有极大值，无极小值 B．‎ 有极小值，无极大值 ‎　‎ C．‎ 既有极大值又有极小值 D．‎ 既无极大值也无极小值 ‎　14．（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B．‎ 当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 ‎　‎ C．‎ 当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D．‎ 当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值 ‎15．（2012•辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1，1]‎ B．‎ ‎（0，1]‎ C．‎ ‎[1，+∞）‎ D．‎ ‎（0，+∞）‎ ‎　16．（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎17．（2012•陕西）设函数f（x）=+lnx 则 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=为f（x）的极大值点 B．‎ x=为f（x）的极小值点 ‎　‎ C．‎ x=2为 f（x）的极大值点 D．‎ x=2为 f（x）的极小值点 ‎　18．（2012•陕西）设函数f（x）=xex，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=1为f（x）的极大值点 B．‎ x=1为f（x）的极小值点 ‎　‎ C．‎ x=﹣1为f（x）的极大值点 D．‎ x=﹣1为f（x）的极小值点 ‎19．（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B．‎ 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ ‎　‎ C．‎ 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）‎ D．‎ 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）‎ ‎　20．（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎﹣4‎ D．‎ ‎﹣8‎ ‎21．（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎22．（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，+∞）‎ B．‎ ‎（﹣1，0）∪（2，+∞）‎ C．‎ ‎（2，+∞）‎ D．‎ ‎（﹣1，0）‎ ‎23．（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 二．解答题（共7小题）‎ ‎24．（2014•广西）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎25．（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•重庆）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．‎ ‎（Ⅰ）确定a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）‎ ‎　‎ ‎28．（2014•山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．‎ ‎（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎　‎ ‎29．（2014•福建）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ ‎　‎ ‎30．（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎　‎ 导数模拟及高考参考答案与试题解析 一．选择题（共23小题）‎ ‎1．（2015•重庆一模）函数f（x）=x3+bx2+cx+d，图象如图，则函数的单调递减区间为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎[，+∞）‎ B．‎ ‎[3，+∞）‎ C．‎ ‎[﹣2，3]‎ D．‎ ‎（﹣∞，﹣2）‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；复合函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ 求出原函数的导函数，由图象得到f′（﹣2）=f（3）=0，联立求得b，c的值，代入g（x）=‎ ‎，由g（x）＞0求得x的范围，再由导数求出函数g（x）的减区间，则函数的单调递减区间可求．‎ 解答：‎ 解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，‎ ‎∴f′（x）=3x2+2bx+c，‎ 由图可知f′（﹣2）=f（3）=0．‎ ‎∴，解得．‎ 令g（x）=，‎ 则g（x）=x2﹣x﹣6，g′（x）=2x﹣1．‎ 由g（x）=x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3．‎ 当x＜时，g′（x）＜0，‎ ‎∴g（x）=x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣2）上为减函数．‎ ‎∴函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了简单的复合函数单调性的求法，关键是注意函数的定义域，是中档题．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ 考点：‎ 导数的几何意义．菁优网版权所有 分析：‎ 根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．‎ 解答：‎ 解：设切点的横坐标为（x0，y0）‎ ‎∵曲线的一条切线的斜率为，‎ ‎∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3‎ 故选A．‎ 点评：‎ 考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 导数的几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．‎ 解答：‎ 解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．‎ 点评：‎ 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）‎ ‎　‎ ‎4．（2014•西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 导数的几何意义．菁优网版权所有 分析：‎ 利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标．‎ 解答：‎ 解：已知曲线的一条切线的斜率为，∵=，‎ ‎∴x=1，则切点的横坐标为1，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．应熟练掌握斜率与导数的关系．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•广西）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2e B．‎ e C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎1‎ 考点：‎ 导数的几何意义．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的概念及应用．‎ 分析：‎ 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．‎ 解答：‎ 解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，‎ 当x=1时，f′（1）=2，‎ 即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（2014•陕西）定积分（2x+ex）dx的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ e+2‎ B．‎ e+1‎ C．‎ e D．‎ e﹣1‎ 考点：‎ 定积分．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的概念及应用．‎ 分析：‎ 根据微积分基本定理计算即可 解答：‎ 解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）﹣（0+e0）=e．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．‎ ‎　‎ ‎7．（2014•山东）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 定积分．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ 先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．‎ 解答：‎ 解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，‎ 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，‎ 而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4‎ ‎∴曲边梯形的面积是4，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ c≤3‎ B．‎ ‎3＜c≤6‎ C．‎ ‎6＜c≤9‎ D．‎ c＞9‎ 考点：‎ 函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的概念及应用．‎ 分析：‎ 由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b代入0＜f（﹣1）≤3求出c的范围．‎ 解答：‎ 解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，‎ 解得，‎ f（x）=x3+6x2+11x+c，‎ 由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，‎ 即6＜c≤9，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2014•包头一模）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2或2‎ B．‎ ‎﹣9或3‎ C．‎ ‎﹣1或1‎ D．‎ ‎﹣3或1‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．‎ 解答：‎ 解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1）‎ 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；‎ ‎∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减 ‎∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值 ‎∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点 ‎∴极大值等于0或极小值等于0‎ ‎∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0‎ ‎∴c=﹣2或2‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•聊城一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎﹣2‎ 考点：‎ 导数的几何意义．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；‎ ‎（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．‎ 解答：‎ 解：∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．‎ ‎∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2‎ 故选D．‎ 点评：‎ 函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）‎ ‎　‎ ‎11．（2013•北京）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 定积分．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ 先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．‎ 解答：‎ 解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），‎ ‎∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，‎ ‎∴直线l的方程为y=1，‎ 由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．‎ ‎∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x﹣）|=．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．‎ ‎　‎ ‎12．（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∀x∈R，f（x）≤f（x0）‎ B．‎ ‎﹣x0是f（﹣x）的极小值点 ‎　‎ C．‎ ‎﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．‎ ‎﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点 考点：‎ 函数在某点取得极值的条件；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；函数的性质及应用．‎ 分析：‎ A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；‎ B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；‎ C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；‎ D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．‎ 解答：‎ 解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大；‎ 对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；‎ 对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；‎ 对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 有极大值，无极小值 B．‎ 有极小值，无极大值 ‎　‎ C．‎ 既有极大值又有极小值 D．‎ 既无极大值也无极小值 考点：‎ 函数在某点取得极值的条件；导数的运算．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；导数的综合应用．‎ 分析：‎ 先利用导数的运算法则，确定f（x）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．‎ 解答：‎ 解：∵函数f（x）满足，‎ ‎∴‎ ‎∴x＞0时，dx ‎∴‎ ‎∴‎ 令g（x）=，则 令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增 ‎∴g（x）在x=2时取得最小值 ‎∵f（2）=，∴g（2）==0‎ ‎∴g（x）≥g（2）=0‎ ‎∴≥0‎ 即x＞0时，f（x）单调递增 ‎∴f（x）既无极大值也无极小值 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．‎ ‎　‎ ‎14．（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B．‎ 当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 ‎　‎ C．‎ 当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D．‎ 当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值 考点：‎ 函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ 通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论．‎ 解答：‎ 解：当k=1时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）．‎ 求导函数可得f'（x）=ex（x﹣1）+（ex﹣1）=（xex﹣1），‎ f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0，‎ 则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，‎ 当k=2时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2．‎ 求导函数可得f'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2），‎ ‎∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；‎ 在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2012•辽宁）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣1，1]‎ B．‎ ‎（0，1]‎ C．‎ ‎[1，+∞）‎ D．‎ ‎（0，+∞）‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由y=x2﹣lnx得y′=，由y′≤0即可求得函数y=x2﹣lnx的单调递减区间．‎ 解答：‎ 解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），‎ y′=，‎ ‎∴由y′≤0得：0＜x≤1，‎ ‎∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时，函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出正确选择 解答：‎ 解：∵函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴f′（﹣2）=0，‎ 且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，‎ 即当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，‎ 从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0，‎ 对照选项可知只有C符合题意 故选 C 点评：‎ 本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题 ‎　‎ ‎17．（2012•陕西）设函数f（x）=+lnx 则 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=为f（x）的极大值点 B．‎ x=为f（x）的极小值点 ‎　‎ C．‎ x=2为 f（x）的极大值点 D．‎ x=2为 f（x）的极小值点 考点：‎ 利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先求出其导函数，并找到导函数大于0和小于0对应的区间，即可求出结论．‎ 解答：‎ 解：∵f（x）=+lnx；‎ ‎∴f′（x）=﹣+=；‎ x＞2⇒f′（x）＞0；‎ ‎0＜x＜2⇒f′（x）＜0．‎ ‎∴x=2为 f（x）的极小值点．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题主要考察利用导数研究函数的极值．解决这类问题的关键在于先求出其导函数，并求出其导函数大于0和小于0对应的区间．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•陕西）设函数f（x）=xex，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=1为f（x）的极大值点 B．‎ x=1为f（x）的极小值点 ‎　‎ C．‎ x=﹣1为f（x）的极大值点 D．‎ x=﹣1为f（x）的极小值点 考点：‎ 利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点 解答：‎ 解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，‎ 令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1‎ 令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数 令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数 所以x=﹣1为f（x）的极小值点 故选D 点评：‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，‎ ‎　‎ ‎19．（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B．‎ 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ ‎　‎ C．‎ 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）‎ D．‎ 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）‎ 考点：‎ 函数在某点取得极值的条件；函数的图象．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．‎ 解答：‎ 解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．‎ 又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．‎ ‎　‎ ‎20．（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎﹣4‎ D．‎ ‎﹣8‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2）然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率KAP，KAQ，再根据点斜式写出切线方程然后联立方程即可求出点A的纵坐标．‎ 解答：‎ 解：∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2‎ ‎∴P（4，8），Q（﹣2，2）‎ ‎∵x2=2y ‎∴y=‎ ‎∴y′=x ‎∴切线方程AP，AQ的斜率KAP=4，KAQ=﹣2‎ ‎∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4）即y=4x﹣8‎ 切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2）即y=﹣2x﹣2‎ 令 ‎∴‎ ‎∴点A的纵坐标为﹣4‎ 故选C 点评：‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率KAP，KAQ！‎ ‎　‎ ‎21．（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为 （　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 定积分在求面积中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．‎ 解答：‎ 解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）‎ 从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1‎ ‎∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是求出被积函数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（2011•江西）若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（0，+∞）‎ B．‎ ‎（﹣1，0）∪（2，+∞）‎ C．‎ ‎（2，+∞）‎ D．‎ ‎（﹣1，0）‎ 考点：‎ 导数的加法与减法法则；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′（x）＞0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项 解答：‎ 解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣‎ 令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1‎ 结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞），‎ 故选C 点评：‎ 本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎23．（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．‎ 解答：‎ 解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，‎ 由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，‎ 所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．‎ 法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．‎ 对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0符合要求，‎ 对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0不矛盾，‎ 对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0不矛盾，‎ 对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0于原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．‎ 法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立 故选 D．‎ 点评：‎ 本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．‎ ‎　‎ 二．解答题（共7小题）‎ ‎24．（2014•广西）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，‎ 令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a）‎ ‎①若a＞1时，则△＜0，f′（x）＞0，∴f（x）在R上是增函数；‎ ‎②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，‎ 当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；‎ 当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；‎ ‎（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，‎ 当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，‎ 当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，‎ a的取值范围[）∪（0，+∞）．‎ 点评：‎ 本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ ‎25．（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，‎ ‎∴f′（x）=﹣﹣，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，‎ 解得：a=，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），‎ 令f′（x）=0，‎ 解得x=5，或x=﹣1（舍），‎ ‎∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；‎ 单调递减区间为（0，5）；‎ 当x=5时，函数取极小值﹣ln5．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•重庆）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．‎ ‎（Ⅰ）确定a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；‎ ‎（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）‎ ‎∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，‎ 由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，‎ 即a=b，‎ 又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，‎ 即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，‎ 故a=b=1；‎ ‎（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，‎ 故f（x）在定义域R为均增函数；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，‎ 而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，‎ 当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；‎ 当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，‎ 即f′（x）=0有两个根x1，x2，‎ 当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，‎ 综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎27．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）‎ 考点：‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论；‎ ‎（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，‎ 等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，‎ 令f′（x）=0得，x=﹣或x=，‎ ‎∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设过点p（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），‎ 则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，‎ ‎∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），‎ ‎∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，‎ 设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．‎ ‎∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），‎ ‎∴g（x）与g′（x）变化情况如下：‎ ‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，1）‎ ‎ 1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ g（x）‎ ‎↗‎ ‎ t+3‎ ‎↘‎ ‎ t+1‎ ‎↗‎ ‎∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．‎ 当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．‎ 当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．‎ 当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，‎ ‎∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，‎ 故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．‎ 综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．‎ ‎（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；‎ 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；‎ 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．‎ 点评：‎ 本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．‎ ‎　‎ ‎28．（2014•山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．‎ ‎（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．‎ ‎（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ ‎（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．‎ ‎（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＞0，‎ 令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．‎ 以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．‎ ‎①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）‎ ‎②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，‎ ‎∴g（x）=0的两根均大于零，计算得 当＜x＜时，g（x）＞0；‎ 当0＜x＜或x＞时，g（x）＜0．‎ 综合（1）（2）可知，‎ 当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上单调递增，在（0，），（，+∞）上单调递减；‎ 当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ 点评：‎ 导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．‎ ‎　‎ ‎29．（2014•福建）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ 考点：‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 等差数列与等比数列．‎ 分析：‎ ‎（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；‎ ‎（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；‎ ‎（3）利用（2）的结论，令x0=，则ex＞x2＞x，即x＜cex．即得结论成立．‎ 解答：‎ 解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，‎ ‎∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．‎ 由f′（x）=0得x=ln2，‎ 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ ‎∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．‎ f（x）无极大值．‎ ‎（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，‎ 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，‎ ‎∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；‎ ‎（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，‎ 由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．‎ ‎∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ 点评：‎ 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．‎ ‎　‎ ‎30．（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 专题：‎ 导数的综合应用．‎ 分析：‎ ‎（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；‎ ‎（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．‎ 解答：‎ 解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），‎ 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），‎ 由切线与y轴相交于点（0，6）．‎ ‎∴6﹣16a=8a﹣6，‎ ‎∴a=．‎ ‎（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），‎ f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，‎ 当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，‎ 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，‎ 故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．‎ 点评：‎ 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．‎ ‎　‎