安徽省合肥市2019-2020学年高二第二学期开学考试数学试卷

安徽省合肥市2019-2020学年高二第二学期开学考试数学试卷

高二数学 考试时间：120分钟 满分150分 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）‎ ‎1. 直线的方程为，则（ ）‎ A.直线过点，斜率为 B. 直线过点，斜率为 ‎ ‎ C. 直线过点，斜率为 D. 直线过点，斜率为 ‎2．双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知空间两点,则间的距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 双曲线的一条渐近线的方程为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 已知圆与圆关于直线对称 ，则直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为（ ）‎ A.相切 B.内含 C.外离 D.相交 ‎8. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9.下列命题是真命题的是（ ）‎ A.“若,则”的逆命题 ‎ B.“若，则”的否定 C. “若都是偶数，则是偶数”的否命题 D. “若函数都是R上的奇函数，则是R上的奇函数”的逆否命题 ‎ ‎10.已知抛物线焦点为，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于,若，则抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知两个平面垂直，下列命题 ‎①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 ‎②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ‎③一个平面内任一条直线必垂直于另一个平面 ‎④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知正方形的边长为，分别为边上的点，且.将分别沿和折起，使点和重合于点，则三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ A. 26 B. 13 C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“”的否定为： .‎ ‎14.焦点在轴上，离心率，且过的椭圆的标准方程为 .‎ ‎15.已知定点，点在圆上运动，则线段中点的轨迹方程是 .‎ ‎16.已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17. （本小题满分12分）如图，正方体中 ‎(1)求证：‎ ‎(2)求证：平面 ‎18. （本小题满分10分）‎ 设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于对称轴的直线和对称轴交于点，设，，，求证：成等比数列.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的 方程为 ‎（1）求顶点和的坐标；‎ ‎（2）求外接圆的一般方程.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点是椭圆：上两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为1，直线与圆相切，且与椭圆交于点，求线段的长.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，，, E是PD的中点．‎ ‎(1)证明：直线∥平面；‎ ‎(2) 若的面积为，求四棱锥的体积．‎ ‎22. （本小题满分12分）已知抛物线：，直线:与轴交于点，与抛物线的准线交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）过的直线交抛物线于两点，设，，当时，‎ 求的取值范围.‎ 数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A C C B B A D D C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16.36‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。） ‎ ‎17.证明：(1)连结、‎ 平面，平面 ‎ ………………………………2分 又，，平面 ‎ 平面，又平面 …………4分 ‎ ………………………………6分 ‎(2)由，即同理可得，……………………9分 又，平面 平面 ………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎18. 证明：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示 ‎ 的平面直角坐标系， ………………………………2分 设抛物线方程为，则焦点，…4分 ‎∵轴，∴…………………6分 ‎∴ ………………………………7分 又∵轴于点，，，‎ ‎ ∴，………………………………8分 ‎∵在抛物线上，‎ ‎∴， ………………………………9分 ‎∴即成等比数列. ………………………………10分.‎ ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎19. 解：（1）由可得顶点,………………………………1分 又因为得， ………………………………2分 ‎ 所以设的方程为， ………………………………3分 将代入得 ………………………………4‎ 由可得顶点为 ………………………………5分 所以和的坐标分别为和 ………………………………6分 ‎（2）设的外接圆方程为，…………………7分 将、和三点的坐标分 别代入得则有………………………………11分 所以的外接圆的一般方程为.………………12分.‎ ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎20. 解：（1）设椭圆的方程为：， ………………………………1分 点是椭圆：上两点，‎ ‎ 则………………………………3分 ‎ 解得：，………………………………5分 ‎ 故椭圆的方程为：.………………………………6分 ‎（2）∵直线的斜率为1，故设直线的方程为：即，‎ ‎ ………………………………7分 ‎ ∵直线与圆相切，∴， ………………………………8分 ‎ 由，即………………9分 ‎ ∴ ………………………………10分 ‎ ∴. ………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎21. 解：(1)取的中点，连，‎ 是的中点, ‎ ‎， ………………………………2分 又 ‎ ‎ 四边形是平行四边形…………………………4分 ‎∥‎ 又平面，平面………………5分 ‎∥平面 ………………………6分 ‎ ‎ ‎(2)在平面内作于，不妨设，则 由是等边三角形，则，为的中点，‎ ‎………………………………7分 平面平面，平面平面，平面 又，，、平面；，平面 ‎、平面；平面………………………………8分 ‎， ………………………………9分 ‎， ………………………………10分 取的中点，连，可得为等腰直角三角形，‎ ‎，则，，‎ ‎，即………………………………11分 ‎.‎ ‎ ………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎ ‎22. 解：抛物线：的焦点为，准线为直线，……1分 又直线:与轴交于点，……2分 ‎∴的焦点为， ……3分 由已知和抛物线定义得，且，， ……4分 ‎∴， ……5分 ‎∴的面积.…………………6分 ‎ （2）由（1）知，抛物线的方程为，设，‎ 由得，…………8分 不妨设，故,………………………………9分 ‎∴‎ ‎　 ∴‎ ‎ ,………………………………11分 ‎ ∴当时，最小为0；当时，最大为3，‎ 即的取值范围是.………………………………12分 ‎（其他解法参照赋分）‎