2019届二轮复习（理）第十一章第70讲　二项式定理及其应用学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第十一章第70讲　二项式定理及其应用学案（江苏专用）

第70讲　二项式定理及其应用 考试要求　1.二项式定理(B级要求)；2.高考中对本讲的考查主要是利用通项公式求展开式中某项的系数、某特定的项、项的系数最值问题及几个二项式和或积的展开式中某项的系数等.要关注赋值法思想的运用.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)Can－rbr是二项展开式的第r项.(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)‎ ‎(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.(　　)‎ ‎(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2.(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是 .‎ 解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.‎ 答案　(－1)m－1C ‎3.(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝ .‎ 解析　C(3x)2＝54x2，∴＝6，解得n＝4.‎ 答案　4‎ ‎4.(2016·徐州模拟)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝ .‎ 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，‎ 所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.‎ 答案　63‎ 知 识 梳 理 ‎1.二项式定理 二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )‎ 二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，2，…，n})‎ ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)C＝1，C＝1，C＝C＋C.‎ ‎(2)C＝C.‎ ‎(3)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以和两者相等)最大.‎ ‎(4)C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎3.二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ 考点一　二项展开式 ‎【例1－1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是 (用数字填写答案).‎ ‎(2)(一题多解)(2015·全国Ⅰ卷改编)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为 .‎ 解析　(1)(2x＋)5展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x)5－k()k＝C25－kx5－，k∈{0，1，2，3，4，5}，令5－＝3解得k＝4，得T5＝C25－4x5－＝10x3，∴x3的系数是10.‎ ‎(2)法一　利用二项展开式的通项公式求解.‎ ‎(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.‎ 法二　利用组合知识求解.‎ ‎(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.‎ 答案　(1)10　(2)30‎ ‎【例1－2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ .‎ ‎(2)(2016·山东卷)若的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝ .‎ 解析　(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，‎ 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①‎ 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，‎ 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.‎ ‎(2)∵Tr＋1＝C(ax2)5－r＝a5－rCx10－r，∴10－r＝5，解得r＝2，‎ ‎∴a3C＝－80，解得a＝－2.‎ 答案　(1)3　(2)－2‎ 规律方法　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.‎ ‎【训练1】 (2017·全国Ⅲ卷)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 .‎ 解析　由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为 x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.‎ 答案　40‎ 考点二　二项式系数的和或各项系数的和的问题 ‎【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数的和；‎ ‎(2)各项系数的和；‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；‎ ‎(4)奇数项系数和与偶数项系数和；‎ ‎(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.‎ 解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，( )‎ 各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.‎ 由于( )是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.‎ ‎(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.‎ ‎(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.‎ ‎(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，‎ 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①‎ 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，‎ 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②‎ ‎①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，‎ ‎∴奇数项系数和为；‎ ‎①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，‎ ‎∴偶数项系数和为.‎ ‎(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；‎ x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.‎ 规律方法　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.‎ ‎(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，‎ 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·淮安月考)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝ .‎ ‎(2)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016，则＋＋…＋的结果是多少？‎ ‎(1)解析　由题意得a＝C，b＝C，‎ ‎∴13C＝7C，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝13，解得m＝6，‎ 经检验符合题意.‎ 答案　6‎ ‎(2)解　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.‎ 当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，‎ ‎∴0＝1＋＋＋…＋.‎ 即＋＋…＋＝－1.‎ 考点三　二项式定理的应用 ‎【例3】 (1)设a∈ 且0≤a＜13，若512 016＋a能被13整除，则a＝ .‎ ‎(2)1.028的近似值是 (精确到小数点后三位).‎ ‎(3)用二项式定理证明2n>2n＋1(n≥3，n∈N ).‎ 解析　(1)512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C·522 016－C·522 015＋…＋C×52·(－1)2 015＋C·(－1)2 016＋a，‎ ‎∵C·522 016－C·522 015＋…＋C×52·(－1)2 015能被13整除，且512 016＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 016＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.‎ ‎(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.‎ 答案　(1)12　(2)1.172‎ ‎(3)证明　当n≥3，n∈N .‎ ‎2n＝(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＋C≥C＋C＋C＋C＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立.‎ 规律方法　(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.‎ ‎(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.‎ ‎【训练3】 (1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C除以88的余数是 .‎ ‎(2)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值.‎ ‎(1)解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)r90rC＋…＋9010C ‎＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10‎ ‎＝8810＋C889＋…＋C88＋1，‎ ‎∵前10项均能被88整除，∴余数是1.‎ 答案　1‎ ‎(2)解　原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a ‎＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a，‎ 显然正整数a的最小值为4.‎ 一、必做题 ‎1.(2017·全国Ⅰ卷改编)(1＋x)6的展开式中x2的系数为 .‎ 解析　(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，‎ 对(1＋x)6的x2项系数为C＝＝15，‎ 对·(1＋x)6的x2项系数为C＝15，‎ ‎∴x2的系数为15＋15＝30.‎ 答案　30‎ ‎2.已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝ .‎ 解析　的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，‎ 则r＝1，‎ ‎∵T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6.‎ 答案　－6‎ ‎3.(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是 .‎ 解析　设展开式中的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C·(4x)6－r·(－2－x)r＝‎ C·(－1)r·212x－2rx·2－rx＝C·(－1)r·212x－3rx，‎ ‎∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，‎ ‎∴T5＝C·(－1)4＝15.‎ 答案　15‎ ‎4.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 .‎ 解析　由题意，C＝C，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29＝512.‎ 答案　512‎ ‎5.若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为 .‎ 解析　∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4的系数为4a－1＝15，∴a＝4.‎ 答案　4‎ ‎6.若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ .‎ 解析　在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋‎ ‎(－1)nan，‎ 即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ ‎＝(3n－1).‎ 答案　(3n－1)‎ ‎7.(2018·扬州模拟)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则＝ .‎ 解析　由题意可得a＝C＝70，‎ 再根据 得 求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴＝.‎ 答案　 ‎8.(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为 (用数字作答).‎ 解析　展开式的通项Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝C(－2x)r.令r＝2，得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系数为60.‎ 答案　60‎ ‎9.(2016·天津卷)的展开式中x7的系数为 (用数字作答).‎ 解析　先利用二项展开式的通项求出是第几项，再求出系数即可.‎ 的通项Tr＋1＝C(x2)8－r＝(－1)r·Cx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.‎ 答案　－56‎ ‎10.(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝ ，a5＝ .‎ 解析　令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，‎ 而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]‎ ‎＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；‎ 则a4＝C＋2C＋C＝5＋8＋3＝16.‎ 答案　16　4‎ ‎11.(2018·苏、锡、常、镇联考)已知(ax－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5，则二项式(ax－1)5展开后的各项系数之和为 .‎ 解析　∵(ax－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5，∴x5的系数为C·a5＝32，解得a＝2.‎ 在(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋32x5中，令x＝1可得二项式(2x－1)5展开后的各项系数之和为1.‎ 答案　1‎ ‎12.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7‎ ‎＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)法一　∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.‎ 法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，‎ 即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.‎ 二、选做题 ‎13.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.‎ ‎(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；‎ ‎(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.‎ ‎(1)解　存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成.若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，‎ 则＝＝，＝＝，‎ 即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，‎ 解得k＝27，n＝62.‎ 即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.‎ ‎(2)证明　若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2C＝C＋C，2C＝C＋C，‎ 即＝＋，‎ ＝ ‎＋，‎ 所以＝＋，‎ ＝＋，‎ 整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，‎ n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.‎ 两式相减得n＝2r＋3，‎ 所以C，C，C，C成等差数列，‎ 由二项式系数的性质可知C＝C

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