2018-2019学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一年级第二学期期中质量调研数学试题

2018-2019学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一年级第二学期期中质量调研数学试题

‎2018-2019学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高一年级第二学期期中质量调研数学试题 注意事项：‎ ‎1．作答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.‎ 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎2．球的体积公式为(其中为球的半径) . ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.直线的斜率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.在下列命题中，不是公理的是（ ）‎ ‎ A. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.‎ ‎ B. 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.‎ ‎ C. 垂直于同一条直线的两个平面相互平行.‎ ‎ D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.‎ ‎3.在锐角中，角，所对的边分别为，.若，则角等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若，则直线一定不过（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5.设两条不同的直线，，两个不同的平面，.下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A．若，，，则.‎ ‎ B．若，，，则.‎ ‎ C．若，，，则.‎ ‎ D．若，，，则.‎ ‎6.设直线在轴上截距为，在轴上的截距为，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为，则实数的值为（ ）‎ ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎9.记，方程表示的直线为，直线不过点， 直线 ‎，则直线，的位置关系为（ ）‎ ‎ A．一定平行 B．平行或重合 C．一定垂直 D．不能确定 ‎10.在中，角，，所对应的边分别为，，.‎ ‎ 已知，则（ ）‎ ‎ A．一定是直角三角形 B．一定是等腰三角形 ‎ C．一定是等腰直角三角形 D．是等腰或直角三角形 ‎11.已知函数，当时，，其图像的右端点为，‎ ‎ 当时，其图象是以为端点且斜率为的射线，若，，互不相等，且 ‎ ，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ B A D A1‎ B1‎ C C1‎ F ‎12.如图，直三棱柱中，侧棱长为， ‎ ‎ ，，点是的中点，是 ‎ ‎ 侧面（含边界）上的动点.要使平面， ‎ ‎ 则线段的长的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.与直线有相同的纵截距且与直线垂直的直线方程为 ▲ ．‎ ‎14.已知直线：和两点，使得直线与线段有公共点（含端点）的的范围是 ▲ ．‎ ‎15.用一个边长为的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为 ▲ ．‎ ‎16.在中，内角所对应的边分别为,边上的高为，则的最大值为 ▲ .‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本题满分10分)‎ ‎ 在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，‎ 顶点的坐标为. ‎ ‎（1）求边上的高所在的直线方程；‎ ‎（2）若的中点分别为，，求直线的方程.‎ A B C P D ‎18.(本题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，，，面面．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 在中，，，，‎ 点在边上．‎ ‎（1）求的长度及的值；‎ ‎（2）求的长度及的面积．‎ ‎20.(本题满分12分)‎ E A B C C1‎ B1‎ A1‎ D 如图，在三棱柱中，，，，分别为，中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：面，并求与面 所成的角；‎ ‎（3）若，，求四棱锥的体积．‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上）,并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位:百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图．请你为规划部门解决以下问题：‎ ‎（1）如果，求四边形的区域面积；‎ ‎（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值．‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内有定点和射线，已知，的倾斜角分别为，，，，轴上的动点与，共线．‎ ‎（1）求点坐标（用表示）；‎ ‎（2）求面积关于的表达式；‎ ‎（3）求面积的最小时直线的方程．‎ 常州市“教学研究合作联盟”‎ ‎2018学年度第二学期期中质量调研 高一数学参考答案和评分标准 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6．‎ ‎7． 8． 9． 10． 11． 12．‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．(本题满分10分)‎ 解：（1）边上的高过,斜率为3,方程为: ………………4分 ‎(2) 点坐标为,的中点 ………………6分 是的一条中位线,所以,的斜率为 ………………8分 所以直线的方程为. ………………10分 ‎18．(本题满分12分)‎ 解：(1) 面,面,∴平面…………5分 ‎(2) ∵ ∴‎ ‎∵面面,面面,面, ∴面,‎ ‎ ……………10分 又面 ,∴面面 ………………12分 ‎19．(本题满分12分)‎ 解:(1) 在中,由余弦定理得:‎ ‎ …………3分 在中,由正弦定理得: ‎ 得: …………6分 ‎(2) ∵,,记,在中,由余弦定理得:‎ ‎,得 (另:得 )…………9分 ‎…………12分 ‎20．(本题满分12分)‎ 解:(1)连,在三棱柱中，四边形是平行四边形, 过的中点,是中点, 是的中位线,所以,‎ 面,面,所以∥平面 …………4分 ‎(2)在中,由余弦定理得,所以,‎ 同理: ,面,面,‎ 所以面,所以与面所成的角为 …………8分 ‎(3)由(2)知,‎ 是三棱锥的高, ,即,‎ ‎ …………12分 ‎21．(本题满分12分)‎ 解：（1）∵，‎ 在和中分别使用余弦定理得：‎ ‎，‎ 解得：，∴ …………3分 ‎∴四边形的面积 ‎ …………6分 ‎（2）∵圆形广场的面积为 ∴圆形广场的半径，‎ 在中由正弦定理知：, …………8分 在中由余弦定理知：,‎ ‎∴ 化简得：‎ 解得：或 …………11分 答：要使，四边形的区域面积为万平方米；要使圆形广场的面积为万平方米，的值为或． …………12分 ‎22．(本题满分12分)‎ 解(1) ，‎ 又 …………2分 ‎(2)直线,设共线,∴‎ 解得:,∴ …………6分 ‎(3)法一、‎ 记…………8分 ‎(ⅰ)若即,函数在上递减，当且仅当即时 取得最小值,此时,直线的方程为:‎ ‎(ⅱ)若即,函数在上递增，上递减，当且仅当即时取得最小值,此时,直线的方程为: …………12分 法二、记,‎ ‎ …………8分 以下用单调性的定义证明“对勾”函数的单调性（略）‎ ‎(ⅰ)若,,在上递减,当且仅当 即时取得最小值,此时,直线的方程为:‎ ‎(ⅱ)若,,在上递减, 在上递增,‎ 当且仅当即时取得最小值,此时,直线的方程为: …………12分 ‎（法二中“对勾”函数的单调性未证明的不扣分）‎