【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版4-5-2简单的三角恒等变换学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版4-5-2简单的三角恒等变换学案

第2课时　简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 ‎1．化简：＝________.‎ 答案　2cos α 解析　原式＝＝2cos α.‎ ‎2．化简：＝________.‎ 答案　cos 2x 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎3．化简：－2cos(α＋β)．‎ 解　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ 题型二　三角函数的求值 命题点1　给角求值与给值求值 例1 (1)(2018·阜新质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.‎ 答案　 解析　原式＝·sin 80°‎ ‎＝·cos 10°‎ ‎＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎(2)(2018·赤峰模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.‎ 答案　 解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.‎ 因为cos＝>0，θ∈，‎ 所以0<θ<，2θ∈，‎ 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，‎ 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ‎＝×－×＝.‎ 命题点2　给值求角 例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝－，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．‎ 答案　－ 解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.‎ 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．‎ 跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.‎ 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，‎ 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，‎ 又∵α∈，sin α＋cos α>0，‎ ‎∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.‎ 答案　 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，所以cos α＝，‎ 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.‎ 所以β＝.‎ 题型三　三角恒等变换的应用 例3 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得 f＝2－2－2××＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，‎ 得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质，得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 思维升华 三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．‎ 跟踪训练2 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)．‎ ‎(1)求sin 2α－tan α的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．‎ 解　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.‎ ‎∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.‎ ‎(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，‎ ‎∴g(x)＝cos－2cos2x ‎＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，‎ ‎∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ ‎∴－2≤2sin－1≤1，‎ 故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．‎ 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．‎ 例 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－ ‎＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为x∈，‎ 所以2x－∈，‎ 由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递减；‎ 当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎1．(2018·乌海质检)若sin＝，则cos 等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　cos＝cos ‎＝－cos＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎2．4cos 50°－tan 40°等于(　　)‎ A. B. C. D．2－1‎ 答案　C 解析　原式＝4sin 40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎3．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C．－ D. 答案　A 解析　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.‎ ‎4．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 答案　B 解析　因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以 sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.‎ ‎5．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　)‎ A．5 B. C. D．2‎ 答案　B 解析　由题意知f(x)＝sin x＋4× ‎＝sin x＋2cos x＋2＝sin(x＋φ)＋2，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝，‎ ‎∵x∈R，∴f(x)max＝＋2＝，故选B.‎ ‎6．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　f(x)＝5cos x＋12sin x ‎＝13＝13sin(x＋α)，‎ 其中sin α＝，cos α＝，‎ 由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，‎ 得θ ＝2kπ－－α(k∈Z )，‎ 所以cos θ＝cos＝cos ‎＝－sin α＝－.‎ ‎7．若cos＝，则sin 2α＝________.‎ 答案　－ 解析　由cos＝，可得cos α＋sin α＝，‎ 两边平方得(1＋2sin αcos α)＝，‎ ‎∴sin 2α＝－.‎ ‎8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.‎ 答案　 解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)‎ ‎＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，‎ ‎∴sin 2α＝＝，‎ ‎∴cos＝cos 2α－sin 2α ‎＝×－×＝.‎ ‎9．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.‎ 答案　 解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，‎ 故cos(α－β)＝＝，‎ 而cos α＝，∴sin α＝，‎ 于是sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ 又0<β<，故β＝.‎ ‎10．函数f(x)＝sin x－2sin2x的最小值是________．‎ 答案　－1‎ 解析　f(x)＝sin x－ ‎＝2sin－1，‎ 又≤x≤，∴≤x＋≤，‎ ‎∴f(x)min＝2sin －1＝－1.‎ ‎11．(2018·抚顺模拟)已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，则α＋β＝________.‎ 答案　 解析　由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴<α＋β<，∴α＋β＝.‎ ‎12．(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎(1)求sin(α＋π)的值；‎ ‎(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ 解　(1)由角α的终边过点P，‎ 得sin α＝－.‎ 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎(2)由角α的终边过点P，‎ 得cos α＝－.‎ 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α，‎ 得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ ‎13．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.‎ 答案　－ 解析　∵α∈，∴－α∈，‎ 又cos＝，‎ ‎∴sin＝－，‎ ‎∵sin＝－，‎ ‎∴sin＝，‎ 又∵β∈，＋β∈，‎ ‎∴cos＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×－×＝－.‎ ‎14．在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)＝2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为________．‎ 答案　 解析　f(A)＝2cos sin ＋sin2－cos2 ‎＝sin A－cos A＝sin，‎ 因为0

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