【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第5节指数与指数函数学案
第5节 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)(－1)＝(－1)＝.( )
(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(4)函数y＝a x2＋1 (a>1)的值域是(0，＋∞).( )
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错.
(2)(－1)＝＝1，故(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，
故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝a x2＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则
f(－1)＝( )
A.1 B.2 C. D.3
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
答案 C
3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )
A.y＝a(1＋p%)x(00，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A.a B.a C.a D.a
解析 由题意得＝a2－－＝a.
答案 C
5.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数.
又y＝3x在R上是增函数，函数y＝在R上是减函数，
∴函数f(x)＝3x－在R上是增函数.
答案 B
6.(2019·福州检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a1，∴b0，b>0).
解 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a+-1＋b1+-2-＝.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·÷.
解 (1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2019·衡水中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A. B.
C. D.
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当01，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.01.73 B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－30，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
解析 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当01且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是( )
A.M＝N B.M≤N C.MN
(2)函数f(x)＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
(3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.
解析 (1)因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1，且a≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性.
所以a>2.
因此M＝(a－1)0.2>1，N＝<1.
故M>N.
(2)依题意知x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，令u＝＝，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数.而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f(x)＝在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数.
(3)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得结合a>0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝＋在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.
答案 (1)D (2)[4，＋∞) (－∞，1] (3)
[思维升华]
1.
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
[易错防范]
1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )
A.y＝sin x B.y＝x3
C.y＝ D.y＝log2x
解析 y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；y＝是非奇非偶函数，不符合题意；
y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；
y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.
答案 B
2.函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
解析 若a>1时，y＝ax－在R上是增函数，
当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足.
若00，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y＝ B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)
解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝的图象不过点A(1，1).
答案 A
4.设x>0，且10时，11.
又x>0时，bx0时，>1.
∴>1，∴a>b，∴10，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞，2] B.[2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.
答案 B
二、填空题
6.化简＝________.
解析 原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
答案
7.函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________.
解析 令t＝，因为x∈[－3，2]，所以t∈，故y＝t2－t＋1＝＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为.
答案
8.设偶函数g(x)＝a|x+b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.
解析 由于g(x)＝a|x+b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，
故g(a)>g(1)＝g(b－1).
答案 g(a)>g(b－1)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
解 (1)由已知得＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝，
∴－－2＝0，
令＝t，则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即＝2，解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
10.(2018·长沙一中月考)已知函数f(x)＝为奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.
解 (1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝＝0，所以a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增.
证明：设x10，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p+q＝36pq，则a＝________.
解析 因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，
则f(p)＝＝，即＝－，①
f(q)＝＝－，即＝－6，②
①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，
所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.
答案 6
14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞).
