【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-4随机事件的概率学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-4随机事件的概率学案

‎§11.4　随机事件的概率 考纲展示►　‎ ‎1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．‎ ‎2．了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ 考点1　随机事件的关系 ‎1.事件的分类 答案：一定会　一定不会　可能发生也可能不 ‎2．频率和概率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的________nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的________稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．‎ 答案：(1)次数　(2)频率fn(A)‎ ‎3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ ‎________‎ ‎(或A⊆B)‎ 相等 关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件 A∪B ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当__________________，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ ‎(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ ‎________‎ ‎(或AB)‎ 续表 定义 符号表示 互斥 事件 若A∩B为________事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立 事件 若A∩B为________事件，A∪B为________事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅‎ 且A∪B ‎＝U 答案：一定发生　B⊇A　事件A发生或事件B发生　事件A发生且事件B发生　A∩B　‎ 不可能　不可能　必然 ‎[教材习题改编]从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件：①3人都是男生；②至少有1名男生；③3人都是女生；④至少有1名女生．其中是必然事件的序号有__________．‎ 答案：②‎ 解析：因为只有2名女生，所以任选3人，至少有1人是男生.‎ 概率的基本概念：事件的概念；频率与概率的关系．‎ ‎(1)抛掷骰子一次，出现的点数可能是1,2,3,4,5,6，设事件A表示出现的点数是偶数或不小于5，则A＝__________.‎ 答案：{2,4,5,6}‎ 解析：出现偶数有2,4,6，不小于5有5,6，所以事件A＝{2,4,5,6}．‎ ‎(2)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：‎ 射击次数 ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ 击中靶心次数 ‎8‎ ‎19‎ ‎44‎ ‎92‎ ‎178‎ ‎455‎ 这个射手射击一次，击中靶心的概率约是__________．‎ 答案：0.90‎ 解析：击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91，易知击中靶心的频率在0.90附近摆动，故P(A)≈0.90.‎ ‎[典题1]　 (1)[2017·湖北十市联考]从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ B．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．‎ ‎(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的点数不超过‎3”‎，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于‎4”‎，则(　　)‎ A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 ‎[答案]　D ‎[解析]　根据互斥事件与对立事件的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．‎ ‎[点石成金]　判别互斥事件与对立事件的两种方法 ‎(1)定义法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．‎ ‎(2)集合法 ‎①由各个事件所含的结果组成的集合，彼此的交集为空集，则事件互斥．‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ 考点2　随机事件的概率 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ 概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：________.‎ ‎(2)必然事件的概率P(E)＝________.‎ ‎(3)不可能事件的概率P(F)＝________.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________.‎ 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝________，P(A)＝________.‎ 答案：(1)[0,1]　(2)1　(3)0　‎ ‎(4)P(A)＋P(B)　1　1－P(B)‎ ‎(1)[2017·贵州贵阳一中适应性考试]某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：甲，乙两名同学分班有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为＝，故选A.‎ ‎(2)[教材习题改编]记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．‎ 答案： 解析：‎ 根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为.‎ ‎[典题2]　某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.‎ ‎　　　　　商品 顾客人数　　　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；‎ ‎(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎[解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 ＝0.3.‎ ‎(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.‎ 所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．‎ ‎[题点发散1]　在本例条件下，估计顾客购买乙或丙的概率．‎ 解：解法一：顾客购买乙而不购买丙的概率为＝0.315，‎ 顾客购买丙而不购买乙的概率为＝0.4，‎ 顾客既购买乙又购买丙的概率为＝0.2.‎ 故顾客购买乙或丙的概率为0.315＋0.4＋0.2＝0.915.‎ 解法二：顾客既不购买乙也不购买丙的概率为＝0.085.‎ 故顾客购买乙或丙的概率为1－0.085＝0.915.‎ ‎[题点发散2]　在本例条件下，估计顾客至少购买两件商品的概率是多少？‎ 解：顾客只购买一件商品的概率为＝0.183.‎ 故顾客至少购买两件商品的概率是1－0.183＝0.817.‎ ‎[点石成金]　1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．‎ ‎2．随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.‎ 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ‎(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；‎ ‎(2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．‎ 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.‎ ‎(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.‎ 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.‎ 考点3　互斥事件与对立事件的概率 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ ‎(1)[教材习题改编]若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝__________.‎ 答案：0.3‎ 解析：∵A，B为互斥事件，‎ ‎∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)‎ ‎＝0.4＋P(B)＝0.7，‎ ‎∴P(B)＝0.7－0.4＝0.3.‎ ‎(2)[教材习题改编]经统计，在夏日超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则至少有2人排队的概率为__________．‎ 答案：0.74‎ 解析：依题意，“至少有2人排队”记为事件A，则其对立事件为至多有1人排队，‎ 所以P(A)＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.‎ 互斥事件：不同时发生；加法公式．‎ 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，设A＝{恰有1名男生}，B＝{恰有2名男生}，C＝{至少有1名男生}，D＝{至少有1名女生}，其中彼此互斥的事件是__________，互为对立事件的是__________．‎ 答案：A与B，B与D　B与D 解析：设I 为从3名男生和2名女生中，任选2名同学去参加演讲比赛所发生的所有情况．‎ 因为A∩B＝∅，B∩D＝∅，‎ 所以A与B，B与D为互斥事件．‎ 因为B∩D＝∅，B∪D＝I，‎ 所以B与D互为对立事件．‎ ‎[典题3]　[2017·河南洛阳模拟]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率是多少？‎ ‎[解]　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则 G＝A∪B∪C，‎ 所以P(G)＝P(A∪B∪C)‎ ‎＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则 H＝D∪E∪F，‎ 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.‎ ‎[点石成金]　求复杂互斥事件概率的两种方法 ‎(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．‎ ‎(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．‎ ‎[提醒]　应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差).‎ 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ 解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．‎ 设“1张奖券中奖”这个事件为M，‎ 则M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A，B，C两两互斥，‎ ‎∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ ‎∴P(N)＝1－P(A∪B)‎ ‎＝1－＝.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎[方法技巧]　1.从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ ‎2．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2014·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，‎ ‎∴所求概率为1－＝.‎ ‎2．[2015·江苏卷]袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 答案： 解析：由古典概型概率公式，得 所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎3．[2016·北京卷]A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：‎ A班 ‎6　6.5　7　7.5　8‎ B班 ‎6　 7 　8 　9　10　11　12‎ C班 ‎3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5‎ ‎(1)试估计C班的学生人数；‎ ‎(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)‎ 解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×＝40.‎ ‎(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.‎ 由题意可知，P(Ai)＝，i＝1,2，…，5；‎ P(Cj)＝，j＝1,2，…，8.‎ P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1，2，…，8.‎ 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，‎ E＝A‎1C1∪A‎1C2∪A‎2C1∪A‎2C2∪A‎2C3∪A‎3C1∪A‎3C2∪A‎3C3∪A‎4C1∪A‎4C2∪A‎4C3∪A‎5C1∪A‎5C2∪A‎5C3∪A‎5C4.‎ 因此P(E)＝P(A‎1C1)＋P(A‎1C2)＋P(A‎2C1)＋P(A‎2C2)＋P(A‎2C3)＋P(A‎3C1)＋P(A‎3C2)＋P(A‎3C3)＋P(A‎4C1)＋P(A‎4C2)＋P(A‎4C3)＋P(A‎5C1)＋P(A‎5C2)＋P(A‎5C3)＋P(A‎5C4)‎ ‎＝15×＝.‎ ‎(3)μ1<μ0.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 方程思想在概率问题中的运用探讨 ‎[典例]　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？‎ ‎[思路分析]　本题可利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解，也可逐个求各色球的个数再求其概率．‎ ‎[解]　解法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，‎ 则有P(A)＝，‎ P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，‎ P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，‎ P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，‎ 联立解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.‎ 解法二：设红球有n个，则＝，‎ 所以n＝4，即红球有4个．‎ 又得到黑球或黄球的概率是，‎ 所以黑球和黄球共5个．‎ 又总球数是12，‎ 所以绿球有12－4－5＝3(个)．‎ 又得到黄球或绿球的概率也是，‎ 所以黄球和绿球共5个，‎ 而绿球有3个，‎ 所以黄球有5－3＝2(个)．‎ 所以黑球有12－4－3－2 ＝3(个)．‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是＝，＝，＝.‎