2017年安徽省合肥市高考一模数学理

2017年安徽省合肥市高考一模数学理

2017 年安徽省合肥市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|log2x＜1}，集合 N={x|x2-1≤0}，则 M∩N=( ) A.{x|1≤x＜2} B.{x|-1≤x＜2} C.{x|-1＜x≤1} D.{x|0＜x≤1} 解析：集合 M={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}， 集合 N={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1}， 则 M∩N={x|0＜x≤1}. 答案：D. 2.已知复数 z= 2 1 i i   (i 为虚数单位)，那么 z 的共轭复数为( ) A. 33 22i B. 13 22i C. 13 22i D. 33 22i 解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 答案：B. 3.要想得到函数 y=sin2x+1 的图象，只需将函数 y=cos2x 的图象( ) A.向左平移 4  个单位，再向上平移 1 个单位 B.向右平移 4  个单位，再向上平移 1 个单位 C.向左平移 2  个单位，再向下平移 1 个单位 D.向右平移 2  个单位，再向上平移 1 个单位 解析：利用诱导公式化简成同名函数，在平移变换(左加右减，上加下减)即可. 答案：B. 4.执行如图的程序框图，则输出的 n 为( ) A.9 B.11 C.13 D.15 解析：算法的功能是求满足 1 1 1 11 3 5 2017S n    ＜ 的最大的正整数 n+2 的值，验证 S=1·3·…·13＞2017，从而确定输出的 n 值. 答案：C. 5.已知双曲线 2 4 y -x2=1 的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p＞0)的准线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为 1，则 p 的值为( ) A.1 B. 2 C.2 2 D.4 解析：求出双曲线 -x2=1 的两条渐近线方程与抛物线 y2=2px(p＞0)的准线方程，进而求 出 A，B 两点的坐标，再由△AOB 的面积为 1 列出方程，由此方程求出 p 的值. 答案：B. 6.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosC= 22 3 ，bcosA+acosB=2，则△ABC 的外接圆的面积为( ) A.4π B.8π C.9π D.36π 解析：由余弦定理化简已知等式可求 c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值， 进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解. 答案：C. 7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是 两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设 A、B 为两个同高的几何体， p：A、B 的体积不相等，q：A、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 pq，反之不成立. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案：A. 8.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 的方程为 x2-y=0) 的点的个数的估计值为( ) A.5000 B.6667 C.7500 D.7854 解析：由题意，阴影部分的面积 S=  1 2 3 1 00 1 3 | 21 3x dx x x       ，正方形的面积为 1， 利用正方形中随机投掷 10000 个点，即可得出结论. 答案：B. 9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积 为( ) A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π 解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公 式，可得答案. 答案：A. 10.已知(ax+b)6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与-18，则(ax+b)6 展开式 所有项系数之和为( ) A.-1 B.1 C.32 D.64 解析：由题意先求得 a、b 的值，再令 x=1 求出展开式中所有项的系数和. 答案：D. 11.已知函数 f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1 在[-1，3]上的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0 解 析 ： 把 已 知 函 数 解 析 式 变 形 ， 可 得 f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x-1+2 ，令 g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1)，结合 g(2-x)+g(x)=0，可得 g(x)关于(1，0)中心对 称，则 f(x)在[-1，3]上关于(1，2)中心对称，从而求得 M+m 的值. 答案：A. 12.已知函数 f(x)= 2 2 1 0 1 2 1 02 x x x x x       ， ＜ ， ，方程 f2(x)-af(x)+b=0(b≠0)有六个不同的实数 解，则 3a+b 的取值范围是( ) A.[6，11] B.[3，11] C.(6，11) D.(3，11) 解析：作函数 f(x)= 2 2 1 0 1 2 1 02 x x x x x       ， ＜ ， 的图象，从而利用数形结合知 t2-at+b=0 有 2 个 不同的正实数解，且其中一个为 1，从而可得-1-a＞0 且-1-a≠1；从而解得. 答案：D. 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.命题：“ x∈R，x2-ax+1＜0”的否定为_____. 解析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 答案： x∈R，x2-ax+1≥0. 14.已知 a =(1，3)，b =(-2，k)，且( a +2 )∥(3 a - )，则实数 k=_____. 解析：利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出. 答案：-6. 15.已知 sin2α-2=2cos2α，则 sin2α+sin2α=_____. 解析：利用同角三角函数的基本关系，求得 cosα=0 或 tanα=2，从而求得要求式子的值. 答案：1 或 8 5 . 16.已知直线 y=b 与函数 f(x)=2x+3 和 g(x)=ax+lnx 分别交于 A，B 两点，若|AB|的最小值为 2，则 a+b=_____. 解析：设 A(x1，b)，B(x2，b)，则 2x1+3=ax2+lnx2=b，表示出 x1，求出|AB|，利用导数，结 合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得 a=1，进而得到 b，求出 a+b. 答案：2. 三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S4=24，S7=63. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)若 bn= 2 na +(-1)n·an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析：(Ⅰ)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出. (Ⅱ)通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 答案：(Ⅰ)因为{an}为等差数列， 所以 41 1 71 434 24 32 76 27 632 S a d a dS a d                an=2n+1. (Ⅱ)∵bn= 2 na +(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1) ∴Tn=2(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=  8 4 1 3 n  +Gn， 当 n=2k(k∈N*)时，Gn=2× 2 n =n，∴Tn= +n 当 n=2k-1(k∈N*)时，Gn=2× 1 2 n  -(2n+1)=-n-2， ∴Tn= -n-2，∴Tn=     * * 8 4 1 23 8 4 1 2 2 13 () () n n n n k k N n n k k N             ， ， . 18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 4 5 ，第一次抽奖，若未中奖， 则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定： 若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则 须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得 1000 元；若未中奖，则所获得奖 金为 0 元. 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 2 5 ，每次中奖均可获得奖金 400 元. (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列； (Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解析：(Ⅰ)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出. (Ⅱ)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出. 答案：(Ⅰ)P(X=0)= 1 4 1 1 7 5 5 2 5 25    ，P(X=500)= 4 1 2 5 2 5，P(X=1000)= 4 1 4 8 5 2 5 25   ， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金 X 的均值 E(X)=500× 2 5 +1000× 8 25 =520， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B(3， 2 5 )，则 E(ξ)=3× 2 5 = 6 5 ， 抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480， 故选择方案甲较划算. 19.如图所示，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1⊥底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，∠BAD=120°， AB=AA1=2A1B1=2. (Ⅰ)若 M 为 CD 中点，求证：AM⊥平面 AA1B1B； (Ⅱ)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值. 解析：(Ⅰ)推导出 AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1，由此能证明 AM⊥平面 AA1B1B. (Ⅱ)分别以 AB，AM，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，利用 向量法能求出直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值. 答案：(Ⅰ)∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结 AC， ∴△ACD 为等边三角形， 又∵M 为 CD 中点，∴AM⊥CD， 由 CD∥AB 得，∴AM⊥AB， ∵AA1⊥底面 ABCD，AM 底面 ABCD，∴AM⊥AA1， 又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面 AA1B1B 解：(Ⅱ)∵四边形 ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2， ∴DM=1，AM=3，∠AMD=∠BAM=90°， 又∵AA1⊥底面 ABCD， 分别以 AB，AM，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz， 则 A1(0，0，2)、B(2，0，0)、D(-1， 3 ，0)、D1(- 1 2 ， 3 2 ，2)， ∴ 1DD =( ，- ，2)， BD =(-3， ，0)， 1AB=(2，0，-2)， 设平面 A1BD 的一个法向量 n =(x，y，z)， 则有 1 · 0 3 3 0 33 2 2 0· 0 n BD xy y x z xzn A B           ，令 x=1，则 =(1， ，1)， ∴直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值：sinθ=|cos＜ n ， 1DD ＞|= 1 1|| 1 5 n DD n DD    . 20.已知点 F 为椭圆 E： 22 22 xy ab =1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一 个等边三角形，直线 42 xy =1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)设直线 42 xy =1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线与椭圆 E 交于两不同点 A，B，若λ |PM|2=|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围. 解析：(Ⅰ)由题意可得 a，b 与 c 的关系，化椭圆方程为 22 2243 xy cc =1，联立直线方程与椭 圆方程，由判别式为 0 求得 c，则椭圆方程可求； (Ⅱ)由(Ⅰ)求得 M 坐标，得到|PM|2，当直线 l 与 x 轴垂直时，直接由λ|PM|2=|PA|·|PB| 求得λ值；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=kx+2，联立直线方程与椭圆方 程，利用判别式大于 0 求得 k 的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|2=|PA|·|PB|， 把λ用含有 k 的表达式表示，则实数λ的取值范围可求. 答案：(Ⅰ)由题意，得 a=2c，b= 3 c，则椭圆 E 为： 22 2243 xy cc =1， 联立 22 2 43 142 y cx xy          ，得 x2-2x+4-3c2=0， ∵直线 42 xy =1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M， ∴△=4-4(4-3c2)=0，得 c2=1， ∴椭圆 E 的方程为 22 43 xy =1； (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M(1， 3 2 )， ∵直线 =1 与 y 轴交于 P(0，2)，∴|PM|2= 5 4 ， 当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|·|PB|=(2+ )(2- )=1， 由λ|PM|2=|PA|·|PB|，得λ= 4 5 ， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=kx+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 22 2 3 4 12 0 y kx xy      ，得(3+4k2)x2+16kx+4=0， 依题意得，x1x2= 2 4 34k ，且△=48(4k2-1)＞0， ∴|PA||PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)· =1+ 2 1 34k = 5 4 λ， ∴λ= 4 5 (1+ )， ∵k2＞ 1 4 ，∴ ＜λ＜1， 综上所述，λ的取值范围是[ ，1). 21.已知函数 f(x)=ex- 1 2 ax2(x＞0，e 为自然对数的底数)，f′(x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ)当 a=2 时，求证 f(x)＞1； (Ⅱ)是否存在正整数 a，使得 f′(x)≥x2lnx 对一切 x＞0 恒成立？若存在，求出 a 的最大值； 若不存在，说明理由. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可； (Ⅱ)求出函数的导数，得到 a≤e，问题转化为证明当 a=2 时，不等式恒成立，设 g(x)= 2 2xe xx -lnx，根据函数的单调性证明即可. 答案：(Ⅰ)证明：当 a=2 时，f(x)=ex-x2，则 f′(x)=ex-2x， 令 f1(x)=f′(x)=ex-2x，则 f′1(x)=ex-2， 令 f′1(x)=0，得 x=ln2，故 f′(x)在 x=ln2 时取得最小值， ∵f′(ln2)=2-2ln2＞0，∴f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)＞f(0)=1； (Ⅱ)f′(x)=ex-ax， 由 f′(x)≥x2lnx，得 ex-ax≥x2lnx 对一切 x＞0 恒成立， 当 x=1 时，可得 a≤e，所以若存在，则正整数 a 的值只能取 1，2. 下面证明当 a=2 时，不等式恒成立， 设 g(x)= 2 2xe xx -lnx，则 g′(x)=      3 2 3 22 21 xx x e xxe x x x x     ， 由(Ⅰ)ex＞x2+1≥2x＞x，∴ex-x＞0(x＞0)， ∴当 0＜x＜2 时，g′(x)＜0；当 x＞2 时，g′(x)＞0， 即 g(x)在(0，2)上是减函数，在(2，+∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(2)= 1 4 (e2-4-4ln2)＞ (2.72-4-4ln2)＞ (3-ln16)＞0， ∴当 a=2 时，不等式恒成立， 所以 a 的最大值是 2. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐 标系与参数方程] 22.已知直线 l 的参数方程为 11 2 33 xt yt     (t 为参数)以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的方程为 sinθ- 3 ρcos2θ=0. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标. 解析：(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)将 ，代入 y- x2=0 得， + t- (1+ 1 2 t)2=0，求出交点坐标， 即可直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标. 答案：(Ⅰ)∵sinθ- ρcos2θ=0，∴ρsinθ- ρ2cos2θ=0， 即 y- x2=0； (Ⅱ)将 ，代入 y-3 2=0 得， + t- (1+ t)2=0，即 t=0， 从而，交点坐标为(1， )， 所以，交点的一个极坐标为(2， 3  ). [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x-m|-|x+3m|(m＞0). (Ⅰ)当 m=1 时，求不等式 f(x)≥1 的解集； (Ⅱ)对于任意实数 x，t，不等式 f(x)＜|2+t|+|t-1|恒成立，求 m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)将 m=1 的值带入，得到关于 x 的不等式组，求出不等式的解集即可； (Ⅱ)问题等价于对任意的实数 xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min 恒成立，根据绝对值的性质求出 f(x) 的最大值以及[|2+t|+|t-1|]min，求出 m 的范围即可. 答案：(Ⅰ)f(x)=|x-m|-|x+3m|= 4 2 2 3 43 m x m x m m x m m x m          ＜ ＜ ， 当 m=1 时，由 2 2 1 31 x x     ＜ ＜ 或 x≤-3，得到 x≤- 3 2 ， ∴不等式 f(x)≥1 的解集为{x|x≤- 3 2 }； (Ⅱ)不等式 f(x)＜|2+t|+|t-1|对任意的实数 t，x 恒成立， 等价于对任意的实数 xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min 恒成立， 即[f(x)]max＜[|2+t|+|t-1|]min， ∵f(x)=|x-m|-|x+3m|≤|(x-m)-(x+3m)|=4m， |2+t|+|t-1|≥|(2+t)-(t-1)|=3， ∴4m＜3 又 m＞0，所以 0＜m＜ 3 4 .