【数学】2019届文科一轮复习人教A版6-4合情推理与演绎推理教案

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文档介绍

【数学】2019届文科一轮复习人教A版6-4合情推理与演绎推理教案

第四节 合情推理与演绎推理 ‎ [考纲传真] (教师用书独具)1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ ‎(对应学生用书第86页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1.合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征,推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 ‎2. 演绎推理 ‎ (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.‎ ‎ (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:‎ ‎ ①大前提——已知的一般原理;‎ ‎ ②小前提——所研究的特殊情况;‎ ‎ ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎ (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(  )‎ ‎ (2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(  )‎ ‎ (3)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(  )‎ ‎ (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(  )‎ ‎ [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.由“半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推出“半径为R的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是(  )‎ ‎ A.归纳推理       B.类比推理 ‎ C.演绎推理 D.以上都不是 ‎ B [类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).所以,由“半径为R的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为R的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是类比推理,选B.]‎ ‎3.(教材改编)已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是(  )‎ ‎ A.an=3n-1 B.an=4n-3‎ ‎ C.an=n2 D.an=3n-1‎ ‎ C [a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.]‎ ‎4.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=x是指数函数(小前提),所以函数y=x是增函数(结论)”,上面推理的错误在于(  )‎ ‎ A.大前提错误导致结论错误 ‎ B.小前提错误导致结论错误 ‎ C.推理形式错误导致结论错误 ‎ D.大前提和小前提错误导致结论错误 ‎ A [“指数函数y=ax是增函数”是本推理的大前提,它是错误的.因为实数a的取值范围没有确定,所以导致结论是错误的.]‎ ‎5.(2018·开封模拟)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ ‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ ‎ 乙说:我没去过C城市;‎ ‎ 丙说:我们三人去过同一城市.‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为________. 【导学号:79170211】‎ ‎ A [由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.]‎ ‎(对应学生用书第87页)‎ 归纳推理 ‎ (1)(2016·武汉4月调研)数列,,,,,,…,,,…,,…的第20项是(  )‎ ‎ A.     B.    ‎ ‎ C.     D. ‎ (2)(2016·山东高考)观察下列等式:‎ ‎ -2+-2=×1×2;‎ ‎ -2+-2+-2+-2=×2×3;‎ ‎ -2+-2+-2+…+-2=×3×4;-2+-2+-2+…+-2=×4×5;‎ ‎ ……‎ ‎ 照此规律,‎ ‎ -2+-2+-2+…+-2=________.‎ ‎ (1)C (2)n(n+1) [(1)数列在数列中是第1+2+3+…+m=项,当m=5时,即是数列中第15项,则第20项是,故选C.‎ ‎ (2)通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的是个固定数, 后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为×n×(n+1),即n(n+1).]‎ ‎ [规律方法]  1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:‎ ‎ (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;‎ ‎ (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.‎ ‎ 2.归纳推理的一般步骤:‎ ‎ (1)通过观察个别情况发现某些相同性质;‎ ‎ (2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.‎ ‎ [变式训练1] (1)已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,类比得x+≥n+1(n∈N*),则a=__________. 【导学号:79170212】‎ ‎ (2)下面图形由小正方形组成,请观察图641(1)至图(4)的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是__________.‎ 图641‎ ‎ (1)nn(n∈N*) (2)(n∈N*) [(1)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.‎ ‎ (2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n.所以总个数为(n∈N*).]‎ 类比推理 ‎ (1)(2016·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列,则数列 ‎ {bn}也是等差数列,类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为(  )‎ ‎ A.dn=    B.dn= ‎ C.dn= D.dn= ‎ (2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中,△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中(如图642),平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则得到类比的结论是________________.‎ 图642‎ ‎ (1)D (2)= [(1)法一:从商类比开方,从和类比到积,则算术平均数可以类比几何平均数,故dn的表达式为dn=.‎ ‎ 法二:若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,‎ ‎ ∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,∴dn==c1·q,即{dn}为等比数列,故选D.‎ ‎ (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得=.]‎ ‎ [规律方法]  1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想,其中找到合适的类比对象是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(和与积、乘与乘方,差与除,除与开方).数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.‎ ‎[变式训练2] (2018·江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定出来x=2,类似地不难得到1+=(  )‎ ‎ 【导学号:79170213】‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ C [1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=,故1+=,故选C.]‎ 演绎推理 ‎ 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).证明:‎ ‎ (1)数列是等比数列;‎ ‎ (2)Sn+1=4an.‎ ‎ [证明] (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,‎ ‎ ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 2分 ‎ ∴=2·,又=1≠0,(小前提)‎ ‎ 故是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)‎ ‎ (大前提是等比数列的定义,这里省略了) 5分 ‎ (2)由(1)可知=4·(n≥2),‎ ‎ ∴Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1‎ ‎ =4an(n≥2),(小前提) 8分 ‎ 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=‎4a1,(小前提)‎ ‎ ∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)‎ ‎ (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 12分 ‎ [规律方法]  演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.‎ ‎[变式训练3] (2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(  )‎ ‎ A.乙可以知道四人的成绩 ‎ B.丁可以知道四人的成绩 ‎ C.乙、丁可以知道对方的成绩 ‎ D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎ D [由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.‎ ‎ 故选D.]‎
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