【数学】2018届一轮复习人教A版第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图学案

知识点 考纲下载 空间几何体的结构及三视图和直观图 ‎1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．‎ ‎3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ ‎4．会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)‎ 空间几何体的表面积与体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．‎ 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义．‎ ‎2．了解可以作为推理依据的公理和定理．‎ ‎3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ 空间中的平行关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．‎ 空间中的垂直关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．‎ 第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P119])‎ ‎1．空间几何体的结构特征 ‎(1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 ‎(2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或 等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰 三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或 等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ‎2.三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．‎ ‎②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．‎ ‎3．直观图 ‎(1)画法：常用斜二测画法．‎ ‎(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．‎ ‎(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．‎ ‎(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．‎ ‎2．由三视图还原几何体的方法 ‎3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”‎ ‎“三变” ‎“三不变” ‎1. 如图，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)‎ A．棱台　　　　　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 ‎[答案] C ‎2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 ‎　A　[解析] 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.‎ ‎3. 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ ‎　B　[解析] 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.‎ ‎4. 用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] 设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为sin 45°＝b的平行四边形，‎ 所以＝＝.故选D.‎ ‎5. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．‎ ‎[答案] 四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体 ‎　空间几何体的结构特征[学生用书P120]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　给出下列几个命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；‎ ‎③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】　①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．‎ ‎【答案】　B 判定与空间几何体结构特征有关命题的方法 ‎(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．‎ ‎(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．‎ ‎　给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．‎ 其中错误的命题的序号是________．‎ ‎[解析] 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．‎ ‎[答案] ①②③④‎ ‎　空间几何体的三视图(高频考点)[学生用书P121]‎ 空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，属于中档题．‎ 高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)根据几何体的结构特征确认其三视图．‎ ‎(2)根据三视图还原直观图．‎ ‎(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A．①②⑥　　　　　　　 B．①②③‎ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ ‎(2) (2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ ‎【解析】　(1)正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.‎ ‎(2)由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，‎ 还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　根据几何体的结构特征确认其三视图 ‎1．(2017·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的(　　)‎ A．①②③ B．②③④‎ C．①③④ D．②④③‎ ‎　B　[解析] 由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.‎ ‎ 角度二　根据三视图还原直观图 ‎2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B． C． D．2‎ ‎　C　[解析] 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝，‎ 在Rt△VBD中，VD＝＝.‎ ‎ 角度三　由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图 ‎3．(2017·安徽黄山模拟)已知一个正方体被一平面所截后的几何体如图所示，则它的侧视图是(　　)‎ ‎　A　[解析] 由题意可知侧视图为.‎ ‎　空间几何体的直观图[学生用书P122]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知△ABC是边长为a的正三角形，求直观图△A′B′C′的面积．‎ ‎【解】　如图所示的实物图和直观图．‎ 由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.‎ 在图中作C′D′⊥A′B′交x′轴于点D′，‎ 则C′D′＝O′C′＝a.‎ 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.‎ 平面图形直观图与原图形面积间的关系 对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．　 ‎ ‎　如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．‎ ‎[解析] 直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝.故原平面图形的面积S＝＝2＋.‎ ‎[答案] 2＋ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P122])‎ ‎——三视图中的易误辨析 ‎　将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎【解析】　侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.‎ ‎【答案】　B ‎　(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线 都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求．‎ ‎　(2017·云南玉溪一中月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎　D　[解析] 根据几何体的结构特征进行分析即可．‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P333(独立成册)])‎ ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 ‎　B　[解析] A错，如图(1)；B正确，如图(2)，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3)；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．‎ ‎2. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)‎ ‎　A　[解析] 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.‎ ‎3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ ‎　D　[解析] A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.‎ ‎4．(2017·山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎　A　[解析] 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V＝3×2×1＋×3×2×x＝10，解得x＝2.‎ ‎5．(2017·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为(　　)‎ A． B．6＋ C．＋3 D．4 ‎　A　[解析] 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为，高为，其面积为××＝，‎ 所以侧视图的面积为6＋＝.‎ ‎6．(2017·河北石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(　　)‎ ‎　D　[解析] 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.‎ ‎7．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．‎ ‎[解析] 过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．‎ ‎[答案] 两个圆锥的组合体 ‎8．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．‎ ‎[解析] 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．‎ ‎[答案] 2‎ ‎9. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．‎ ‎[解析] 由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为，所以正视图的面积为2.‎ ‎[答案] 2 ‎10．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大面的面积是________．‎ ‎[解析] 由三视图可知该四面体为DBD1C1，由直观图可知，面积最大的面为△BDC1.‎ 在正三角形BDC1中，BD＝2，所以面积S＝×(2)2×＝2.‎ ‎[答案] 2 ‎11. 如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．‎ ‎(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；‎ ‎(2)求PA.‎ ‎[解] (1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.‎ ‎(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6 cm.‎ 由正视图可知AD＝6 cm，‎ 且AD⊥PD，‎ 所以在Rt△APD中，‎ PA＝＝　＝6 cm.‎ ‎12．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(　　)‎ ‎　C　[解析] 当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.‎ ‎13．(2017·湖南株洲二中月考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是(　　)‎ A．4 B．5‎ C．3 D．3 ‎　D　[解析] 作出直观图如图所示，通过计算可知AF最长且AF＝＝3.‎ ‎14．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4 ‎　C　[解析] 由三视图可知该四面体的直观图如图所示．其中AC＝2，PA＝2，△ABC中，边AC上的高为2，所以BC＝＝2，而PB＝＝＝2，PC＝＝2，因此在四面体的六条棱中，长度最长的是BC，其长为2，选C.‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示．‎ ‎(1)判断该几何体是什么几何体？‎ ‎(2)画出该几何体的直观图．‎ ‎[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体．‎ ‎(2)直观图如图所示．‎