【数学】2021届一轮复习人教版（文）40合情推理与演绎推理作业

【数学】2021届一轮复习人教版（文）40合情推理与演绎推理作业

合情推理与演绎推理 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)‎ A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 B　[A、C、D推理形式不正确，只有B推理正确．]‎ ‎2．设△ABC的周长为l，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则S＝rl，类比这个结论可知：四面体ABCD的表面积分别为T，内切球半径为R，体积为V，则V等于(　　)‎ A.RT　　　　　　 B.RT C.RT D．RT B　[△ABC的周长为l，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则S＝rl，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积为T，体积为V，内切球半径为R，V＝RT，故选B.]‎ ‎3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：‎ ‎22＝1＋3，‎ ‎32＝1＋3＋5‎ ‎42＝1＋3＋5＋7，‎ ‎23＝3＋5，‎ ‎33＝7＋9＋11，‎ ‎43＝13＋15＋17＋19.‎ 根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝(　　)‎ A．10　　　B．11 C．12　　　D．13‎ B　[m2＝1＋3＋5＋…＋11中共有6个奇数相加，故m＝6.‎ 由分解规律知53＝21＋23＋25＋27＋29，故n＝5.‎ ‎∴m＋n＝6＋5＝11，故选B.]‎ ‎4．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，……，则第2 020个图形用的火柴根数为(　　)‎ A．2 018×2 021 B．2 019×2 020‎ C．2 019×2 021 D．3 030×2 021‎ D　[由题图可知：‎ 第1个图形用了3＝根火柴，‎ 第2个图形用了9＝根火柴，‎ 第3个图形用了18＝个火柴，…，‎ 归纳得：第n个图形用3(1＋2＋3＋…＋n)＝根火柴，‎ 当n＝2 020时，＝3 030×2 021，故选D.]‎ ‎5．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)‎ A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 C　[由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.]‎ 二、填空题 ‎6．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝ .‎ n2　[由已知 ‎1＝12，‎ ‎1＋2＋1＝4＝22，‎ ‎1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，‎ ‎1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，‎ ‎…‎ 归纳猜想可得1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2.]‎ ‎7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；‎ 乙说：我没去过C城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为 ．‎ A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]‎ ‎8．已知点A(x1，x)，B(x2，x)是函数y＝x2‎ 的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论 成立．‎ ＜sin 　[函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点A，B，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，类比可知应有＜sin .]‎ 三、解答题 ‎9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ ‎[解]　f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，‎ f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.‎ 证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎[解]　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)法一：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 法二：三角恒等式为 sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎ ‎1．(2019·赣州模拟)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋等于(　　)‎ A. B. C. D. D　[由题意及题图，可知：‎ a2＝3×(2－1)，a3＝3×(3－1)＝6，‎ a4＝3×(4－1)＝9，a5＝3×(5－1)＝12，‎ ‎∴an＝3×(n－1)＝3(n－1)．‎ ‎∴＝＝＝－.‎ ‎∴＋＋＋…＋ ‎＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝，故选D.]‎ ‎2．(2019·雅安模拟)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.将此结论类比到空间四面体：设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝(　　)‎ A. B. C. D. C　[设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝.‎ 设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，‎ 设四面体的内切球的球心为O，则球心O的四个面的距离都是r，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为：V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，‎ ‎∴r＝.故选C.]‎ ‎3．(2019·延安模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：‎ ‎①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；‎ ‎②在延安工作的教师不教C学科；‎ ‎③在咸阳工作的教师教A学科；‎ ‎④乙不教B学科．‎ 可以判断乙工作的地方和教的学科分别是 、 .‎ 宝鸡，C　[由③得在咸阳工作的教师教A学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；‎ 由④得乙不教B学科，结合③乙不教A学科，可得乙必教C学科，‎ 所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作，所以乙在宝鸡工作，‎ 综上，乙工作地方和教的学科分别是宝鸡和C学科．]‎ ‎4．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，‎ ‎(1)求函数f(x)的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.f＝×3－×2＋3×－＝1.由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎…‎ f＋f＝2.‎ 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 020＝2 020.‎ ‎1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于 ．‎ 　[类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则F(－‎ c,0)，B(0，b)，A(a,0)，‎ 所以＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ 易知⊥，所以·＝b2－ac＝0，‎ 所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，‎ 又e＞1，所以e＝.]‎ ‎2．(2019·东莞模拟)下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f(n)(n∈N*)．‎ ‎(1)写出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值；‎ ‎(2)归纳出f(n＋1)与f(n)的关系(不用证明)，并求出f(n)的表达式．‎ ‎[解]　(1)由题意有f(1)＝3，‎ f(2)＝f(1)＋3＋3×2＝12，‎ f(3)＝f(2)＋3＋3×4＝27，‎ f(4)＝f(3)＋3＋3×6＝48，‎ f(5)＝f(4)＋3＋3×8＝75.‎ ‎(2)由题意及(1)知，f(n＋1)＝f(n)＋3＋3×2n＝f(n)＋6n＋3，‎ 即f(n＋1)－f(n)＝6n＋3，‎ 故f(2)－f(1)＝6×1＋3，‎ f(3)－f(2)＝6×2＋3，‎ f(4)－f(3)＝6×3＋3，‎ ‎…‎ f(n)－f(n－1)＝6(n－1)＋3，n≥2.‎ 将上面(n－1)个式子相加，得：‎ f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋3(n－1)＝6×＋3(n ‎－1)＝3n2－3，‎ 又f(1)＝3，所以f(n)＝3n2，n≥2，‎ 而当n＝1时，f(1)＝3也满足上式，‎ 故f(n)＝3n2，n∈N*.‎