【数学】2018届一轮复习人教A版(理)8-6空间向量及其运算和空间位置关系学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版(理)8-6空间向量及其运算和空间位置关系学案

‎§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系 考纲展示► ‎ ‎1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.‎ ‎2.会推导空间两点间的距离公式.‎ ‎3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ ‎6.理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎7.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.‎ ‎8.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理).‎ 考点1 空间向量的线性运算 空间向量的有关概念 ‎(1)空间向量:在空间中,具有________和________的量叫做空间向量.‎ ‎(2)相等向量:方向________且模________的向量.‎ ‎(3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量.‎ ‎(4)共面向量:________________的向量.‎ 答案:(1)大小 方向 (2)相同 相等 ‎ ‎(3)平行或重合 (4)平行于同一个平面 ‎(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则化简+(+)=________.‎ 答案: 解析:+(+)=+=.‎ ‎(2)[教材习题改编]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,M为A‎1C1与B1D1‎ 的交点.若=a,=b,=c,则可用a,b,c表示为________.‎ 答案:-a+b+c 解析:由图可知,=+=+=+(-)=c+(b-c)=-a+b+c.‎ ‎[典题1] (1)[2017·河南郑州模拟]如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x+y+z=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设=a,=b,=c,‎ 则=-=(+)- ‎=b+c-a,‎ =+=+ ‎=a+ ‎=a+b+c.‎ 又=x+y+z,‎ 所以x=,y=,z=,‎ 因此x+y+z=++=.‎ ‎(2)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B‎1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:‎ ‎①;‎ ‎②+.‎ ‎[解] ①因为P是C1D1的中点,‎ 所以=++ ‎=a++ ‎=a+c+=a+c+b.‎ ‎②因为M是AA1的中点,‎ 所以=+=+ ‎=-a+ ‎=a+b+c.‎ 又=+=+ ‎=+=c+a,‎ 所以+=+ ‎=a+b+c.‎ ‎[点石成金] 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.‎ 考点2 共线、共面向量定理的应用 ‎ ‎ 空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在唯一一个λ∈R,使a=λb.‎ ‎(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.‎ 空间向量理解的误区:共线;共面.‎ 给出下列命题:‎ ‎①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;‎ ‎②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;‎ ‎③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;‎ ‎④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.‎ 其中为真命题的是________. ‎ 答案:④‎ 解析:若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但三个却不一定共面,故②不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③不正确;据向量运算法则可知④正确.‎ ‎[典题2] 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法求证:‎ ‎(1)E,F,G,H四点共面;‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ ‎[证明] (1)连接BG,则=+=+(+)=++=+.‎ 由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.‎ ‎(2)=-=- ‎=(-)=.‎ 因为E,H,B,D四点不共线,所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ ‎[点石成金] 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面 =λ =x+y ‎ 对空间任一点O,=+t 对空间任一点O,=+x+y ‎ 对空间任一点O,=x+(1-x) 对空间任一点O,=x+y+(1-x-y) ‎ 如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B‎1C1,点M,‎ N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).向量是否与向量,共面?‎ 解:∵=k,=k,‎ ‎∴=++ ‎=k++k ‎=k(+)+ ‎=k(+)+ ‎=k+=-k ‎=-k(+)‎ ‎=(1-k)-k,‎ ‎∴由共面向量定理知,向量与向量,共面.‎ 考点3 利用向量证明平行与垂直问题 向量法证明平行与垂直 ‎(1)两个重要向量 ‎①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有________个.‎ ‎②平面的法向量 直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有________个,它们是共线向量.‎ ‎(2)空间位置关系的向量表示 答案:(1)①无数 ②无数 ‎[典题3] [2017·广东汕头模拟]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:‎ ‎(1)CM∥平面PAD;‎ ‎(2)平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎[证明] 以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.‎ ‎∵PC⊥平面ABCD,‎ ‎∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,‎ ‎∴∠PBC=30°.‎ ‎∵PC=2,∴BC=2,PB=4,‎ ‎∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,‎ ‎∴=(0,-1,2),=(2,3,0),‎ =.‎ ‎(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,‎ 则即 令y=2,得n=(-,2,1).‎ ‎∵n·=-×+2×0+1×=0,‎ ‎∴n⊥.‎ 又CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.‎ ‎(2)证法一:由(1)知,=(0,4,0),=(2,0,-2),‎ 设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),‎ 则即 令x0=1,得m=(1,0,).‎ 又∵平面PAD的一个法向量n=(-,2,1),‎ ‎∴m·n=1×(-)+0×2+×1=0,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ 证法二:如图,取AP的中点E,连接BE,‎ 则E(,2,1),=(-,2,1).‎ ‎∵PB=AB,∴BE⊥PA.‎ 又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,‎ ‎∴⊥.∴BE⊥DA.‎ 又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.‎ 又∵BE⊂平面PAB,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎[点石成金] 1.利用向量法证明平行问题的三种方法 ‎(1)证明线线平行:两条直线的方向向量平行.‎ ‎(2)证明线面平行:‎ ‎①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;‎ ‎②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;‎ ‎③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.‎ ‎(3)证明面面平行:两个平面的法向量平行.‎ ‎2.利用向量法证明垂直问题的三种方法 ‎(1)证明线线垂直:两条直线的方向向量的数量积为0.‎ ‎(2)证明线面垂直:直线的方向向量与平面的法向量平行.‎ ‎(3)证明面面垂直:‎ ‎①其中一个平面与另一个平面的法向量平行;‎ ‎②两个平面的法向量垂直.‎ 已知直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B‎1A,C‎1C,BC的中点.求证:‎ ‎(1)DE∥平面ABC;‎ ‎(2)B‎1F⊥平面AEF.‎ 证明:以A为原点,AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,‎ 令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),‎ F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).‎ ‎(1)=(-2,4,0),平面ABC的一个法向量为=(0,0,4),‎ ‎∵·=0,DE⊄平面ABC,‎ ‎∴DE∥平面ABC.‎ ‎(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),‎ ·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,‎ ‎∴⊥,∴B‎1F⊥EF.‎ ·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0,‎ ‎∴⊥,∴B‎1F⊥AF.‎ ‎∵AF∩EF=F,‎ ‎∴B‎1F⊥平面AEF.‎ 考点4 空间向量数量积的应用 ‎ ‎ ‎1.两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律:(λa)·b=λ(a·b);‎ ‎②交换律:a·b=b·a;‎ ‎③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.‎ ‎2.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).‎ 答案:a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0‎ 正确使用空间向量的数量积.‎ ‎(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)·(a-b)的值为________.‎ 答案:-13‎ 解析:a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6),‎ ‎∴(a+b)·(a-b)=-13.‎ ‎(2)已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的余弦值为________.‎ 答案:- 解析:cos〈a,b〉==-.‎ ‎[典题4] 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求BD的长.‎ ‎[解] ∵AB与CD成60°角,‎ ‎∴〈,〉=60°或120°.‎ 又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,‎ ‎∴||== ‎= ‎= ‎=,‎ ‎∴||=2或.∴BD的长为2或.‎ ‎[点石成金] 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.‎ ‎2.利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角.‎ ‎3.可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.‎ 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD 的中点.‎ ‎(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;‎ ‎(2)求MN的长;‎ ‎(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明:设=p,=q,=r.‎ 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°.‎ =-=(+)- ‎=(q+r-p),‎ ‎∴·=(q+r-p)·p ‎=(q·p+r·p-p2)‎ ‎=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0.‎ ‎∴⊥,即MN⊥AB.‎ 同理可证,MN⊥CD.‎ ‎(2)解:由(1)可知,=(q+r-p),‎ ‎∴||2=(q+r-p)2‎ ‎=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]‎ ‎= ‎=×‎2a2=,‎ ‎∴||=a.∴MN的长为a.‎ ‎(3)解:设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵=(+)=(q+r),‎ =-=q-p,‎ ‎∴·=(q+r)· ‎==.‎ 又∵||=||=a,‎ ‎∴·=||||cos θ ‎=a×a×cos θ=,‎ ‎∴cos θ=,‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为,‎ 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.‎ ‎[方法技巧] 1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路 ‎(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.‎ ‎(2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题.‎ ‎2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.‎ ‎[易错防范] 用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ ‎“两向量同向”意义不清致误分析 ‎[典例] 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为________.‎ ‎[错因分析] 将a,b同向和a∥b混淆,没有搞清a∥b的意义:a,b方向相同或相反.‎ ‎[解析] 由题意知,a∥b,‎ 所以==,‎ 即 把①代入②,得 x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,‎ 解得x=-2或x=1.‎ 当x=-2时,y=-6;‎ 当x=1,y=3.‎ 当时,b=(-2,-4,-6)=-‎2a,‎ 两向量a,b反向,不符合题意,所以舍去.‎ 当时,b=(1,2,3)=a,‎ a与b同向,所以 ‎[答案] 1,3‎ 温馨提醒 ‎1.两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况,两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.‎ ‎2.若两向量a,b满足a=λb(b≠0)且λ>0,则a,b同向;在a,b的坐标都是非零的条件下,a,b的坐标对应成比例且比值为正值.‎
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