高中数学讲义微专题23 恒成立问题——数形结合法

高中数学讲义微专题23 恒成立问题——数形结合法

- 1 - 微专题 23 恒成立问题——数形结合法 一、基础知识： 1、函数的不等关系与图像特征： （1）若 ，均有 的图像始终在 的下方 （2）若 ，均有 的图像始终在 的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数 的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及 的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题： 例 1：已知不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是_________ 思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出 的图像，观察图像可 得 ： 若 要 使 不 等 式 成 立 ， 则 的 图 像 应 在 的上方，所以应为单增的对数函数，即 ， 另一方面，观察图像可得：若要保证在 时不等式成 立 ， 只 需 保 证 在 时 ， 即 可 ，代入 可得： ，综上可得： 答案： 小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小 了参数讨论的取值范围。 x D       f x g x f x   g x x D       f x g x f x   g x  21 logax x   1,2x a  21y x  logay x  21y x  1a   1,2x 2x   21 logax x  2x  1 log 2 2a a   1 2a  1 2a  - 2 - （2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的 ） （3）处理好边界值是否能够取到的问题 例 2：若不等式 对于任意的 都成立，则实数 的取值 范围是___________ 思路：本题选择数形结合，可先作出 在 的图像， 扮演的角色为对数的 底数，决定函数的增减，根据不等关系可得 ，观察图像进一步可得只需 时， ， 即 ， 所 以 答案： 例 3：若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围 思路：恒成立不等式变形为 ，即 的图像在 图像的上方即 可，先作出 的图像，对于 ，可看作 经 过平移得到，而平移的距离与的取值有关。通过观察图像，可 得只需 ，解得： 答案： 小炼有话说：在本题中参数 的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用， 从而在数形结合中找到关于参数的范围要求 例 4：若 ,不等式 恒成立,则 的取值范围是______ 思路：本题中已知 的范围求 的范围，故构造函数时可看作关于 的函数，恒成立不等式 变形为 ,设 ,即关于 的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要 ，只需在端点处函数值均大于 0 2x  log sin 2 ( 0, 1)a x x a a   0, 4x     a sin2y x 0, 4x     a 0 1a  4x  log sin2a x x log sin2 14 4 4a a       ,14a     ,14a     2 1x x c   x R c 2 1x c x   2y x c  1y x  1y x  2y x c  y x c 2 1c  1 2c  1 2c  c | | 2p  2 1 2x px p x    x p x p   22 1 0x p x x          22 1 2 2f x x p x x p        p   0f x  - 3 - 即 可 ， 即 , 解 得 ： 或 答案： 或 小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知， 则以该字母作为自变量构造函数。 （2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线 上所有点均与端点同侧 例 5：已知函数 ，若对任意的 ，都有 成立，则实 数 的取值范围是_____________ 思路：恒成立的不等式为 ，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为 所在区间含参， 的取值将决定分离时不等号 方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。 换一个角度观察到 是开口向上的抛物线， 若要 ，只需端点处函数值小于零即可 （无论对称轴是否在区间内），所以只需 ， 解得 答案： 小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若 ，则 ，而 是开口向     2 0 2 0 f f    1 13 2x   1 13 2x   1 13 2x   1 13 2x     2 1f x x mx    , 1x m m    0f x  m 2 1 0x mx   x m  f x   0f x      2 2 2 2 2 1 0 2 2 31 2 3 0 02 mf m m f m m m m                2 ,02m       2 ,02        0f x   max 0f x   f x m+1m - 4 - 上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以 ，再解出 的范围即可 例 6：已知函数 ，设关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则实数 的取值范围是_____________ 思路：首先理解条件 ，即 时，不等式 恒成立， 可判断出函数 为奇函数，故先作出 的图像， 即 ，参数的符号决定开口方向与对称轴。故 分 类 讨 论 ： 当 时 ， 单 调 递 增 ， 且 为 向左平移 个单位，观察图像可得 不存在满足条件的 ，当 时， 开口 向 下 ， 且 为 向 右 平 移 个 单 位 ，观 察 可 得 只 需 ， ，即可 保 证 ， 的 图 像 始 终 在 的 下 方 。 解得： ；当 时，代入验证不符题意。 答案： 小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响 （3）本题中参数 扮演两个角色：① 二次项系数——决定抛物线开口，② 决定二次 函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。 例 7：已知函数 .当 时，不等式 恒成立，     0 1 0 f m f m    m    1f x x a x  x    f x a f x  A 1 1,2 2 A     a 1 1,2 2 A     1 1,2 2x          f x a f x   f x 0x  2y ax x  a 0a  2y ax x   f x a  f x a a 0a  2y ax x   f x a  f x a 1 1,2 2x x      f x a f x  1 1,2 2x       f x a  f x     1 2 1 2 f a f x f a f x               1 5 02 a   0a  1 5 02 a   a  f x   21 2 ln2f x a x ax x       x   1,+   0f x  - 5 - 则实数 的取值范围是________ 思路：所证不等式可转化为 ，作出 的图像，当 时 的取值决定 的开口，观察可得 ，且 时， 即 可， 当 时，不等式为 ，可证明其成立 答案： 小炼有话说：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均 可进行作图。 例 8：设 ，若 时均有 ，则 _________ 思路：本题如果考虑常规思路，让两个因式同号去解 的值 （或范围），则不可避免较复杂的分类讨论，所以可以考虑利用 图像辅助解决。将两个因式设为函数： ， ，则在图像上要求这两个函数同时在 轴的 上方与下方。这两个函数在图像上有公共定点 ，且 为开口向上的抛物线。所以 的斜率必大于 0 ，即 ，通过观察图像可得： 与 与 轴的交点必须重 合。 ，所以 ，解得： （舍）或 答案： a 21 2 ln2a x ax x       lny x  1 2a  a 21 22y a x ax      1 02a   1x  21 2 ln2a x ax x       1 0 1 12 1 2 22 02 a a a a            1 2a  ln 0x x  1 1,2 2a      a R 0x    21 1 1 0a x x ax          a  a    1 1f x a x     2 1g x x ax   x  0, 1  g x  f x 1a   f x  g x x   10 1f x x a    21 1 10 1 01 1 1g aa a a                  0a  3 2a  3 2a  - 6 - 小炼有话说：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数 形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问 题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的 特点。 （2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直 线），要看是否具备过定点的特征。 例 9 ： (2015 山 东 烟 台 高 三 一 模 ） 已 知 ， 不 等 式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路：本题有两个难点，一是所给区间含参，一个是 与 很难确定其范围，从 而 与 无法化成解析式。但由于所给不 等式可视为两个函数值的大小，且分段函数图像易于作出， 所以考虑作出 图像，看是否存在解题的突破口。通过 图像可以看出虽然 是分段函数，但是图像连续且单调 递减。所以 是 上的减函数。那么无论 与 位 于 哪 个 区 间 ， 由 及 单 调 性 均 可 得 到 ： 只 需 ，所以 ，解得 答案：A 例 10 ： 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当 时 ， ，若 ，则实数 的取值范围 是_____________ 思路： 是奇函数且在 时是分 段函数（以 为界），且形式比较复 杂，恒成立的不等式 较   2 2 4 3, 0 2 3, 0 x x xf x x x x            2f x a f a x    , 1a a  a  , 2   ,0  0,2  2,0  x a  2a x  f x a  2f a x  f x  f x  f x R  x a  2a x    2f x a f a x   2 2x a a x a x        max2 2 1a x a   2a    f x R 0x     2 2 21 2 32f x x a x a a        , 1x R f x f x    a  f x 0x  2 2,2a a    1f x f x  - 7 - 难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法。从数形结合的角度来看，一方面 的图像比较容易作出，另一方面 可看作是 的图像向右平移一个单位所 得，相当于也有具体的图像。所以考虑利用图像寻找 满足的条件。先将 写为分段函数 形式： ，作出正半轴图像后再根据奇函数特点，关于原点对称作 出 负半轴图像。 恒成立，意味着 的图像向右平移一个单位后，其图 像恒在 的下方。通过观察可得在平移一个单位至少要平移 个长度，所以可得： 答案：  f x  1f x   f x a  f x   2 2 2 2 2 2 3 , 2 , 2 ,0 x a x a f x a a x a x x a           x    1f x f x   f x  f x 26a 2 6 66 1 6 6a a     6 6,6 6     