【数学】2019届一轮复习人教A版直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法学案

【数学】2019届一轮复习人教A版直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法学案

‎　　直线与圆、椭圆同时相切问题的初等解法与高等解法　　‎ ‎　　‎ ‎　题目： 如图，设直线与圆()相切于，与椭圆相切于点，当为何值时,取得最大值？并求最大值．‎ ‎　　初等解法：‎ ‎　设直线的方程为，因为直线与圆C：()相切于，‎ 所以 ， 即 ①，‎ 因为与椭圆相切于点，‎ 由得，‎ 即有两个相等的实数解，‎ 则， ‎ 即, ②‎ 由①、②可得 ， ‎ 设，由求根公式得， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 在直角三角形中，，‎ 因为，当且仅当时取等号，所以，‎ 即当时，取得最大值，最大值为1．‎ ‎　高等解法：‎ ‎　上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．现在提供高等数学方法，即导数的方法．‎ 首先利用导数证明下面的常用结论：‎ 定理：在曲线上的任意一点的切线方程为．‎ 证明：在的两边对求导， 得，即，‎ 所以过的切线当有斜率时，斜率为，‎ 切线方程为，即，‎ 又，∴，此切线方程对斜率不存在时也适合．‎ 注意，若从先求出，再求导，则比较麻烦．‎ 利用上面的定理，有下面的高等解法：‎ 设，，‎ 则圆在的切线为，‎ 轨迹在的切线为即，‎ 由题意与应表示同一条直线，‎ 所以，所以，，‎ 又，所以，，‎ 又，所以，即，所以，‎ ‎∴，‎ 在直角三角形中，，‎ 因为，当且仅当时取等号，所以，‎ 即当时，取得最大值，最大值为1．‎ 比两种解法，显然初等方法比较麻烦，而高等方法比较简单．但是对于文科学生，没有学习复合函数求导法则，更没有学习隐函数求导方法，因此考生是很难想到的，除非平时已经对圆锥曲线上任意一点的切线方程作为一个结论已经记住(这个结论很好记忆)．‎ 巩固练习：‎ ‎１、已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点。‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）直线分别切圆（其中）与椭圆于、两点，求 的最大值．‎ 解：（I）设椭圆的方程为，则 ‎ ，，‎ ‎，‎ 椭圆过点 ，解得，‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（II）解：设直线的方程为，因为直线与圆C：()　相切于，所以 ， 即 ①，‎ 因为与椭圆相切，所以 由得 ‎，‎ 则，‎ ‎ 即 ②‎ 由①②可得 ， ‎ 设，由求根公式得，‎ ‎，‎ 在直角三角形中，，‎ 因为，当且仅当时取等号，所以，‎ 即当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎　　高等解法留给读者完成．‎